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摘 要：“核心素养”下的数学课堂教学引导学生经历数学发现的过程十分重要，这样才能让学生的数学学习具有探究性与挑战性，让他们在获得数学知识的同时，促进数学核心素养的提升。在“生本化”的小学数学课堂上，支撑教学的关键落点在于促进儿童数学素养的“生长”，这一点正是以微观的方式落实于课堂教学中核心素养的重要支撑。基于此背景，对“交换律”一课的教学进行了探究，希望达到一定的借鉴意义。
关键词：数学发现；交换律
波利亚在《数学的发现》一书中指出，学生学习数学的过程应该是一个积极主动的过程，而不应该是被动接受的过程，学好数学最好的途径就是自己去发现它。“核心素养”下的数学课堂教学更应该如此，因为“数学发现”其本身就是数学核心素养的重要构成元素之一。那么，在数学课堂教学中应该如何引导学生经历数学发现的过程呢？以下，结合“加法交换律和乘法交换律”一课的教学来谈一谈。
“加法交换律和乘法交换律”是北师大版小学数学四年级上册第四单元“交换律”中的内容。在教材中，主要分为两部分呈现教学内容：第一部分是“加法交换律”，通过大量的图片素材和算式引导学生概括加法交换律；第二部分是“乘法交换律”，主要通过几个算式引导学生概括，教材在编排上体现了“先扶后放”的思想。教师是课程资源的开发者，对于这一堂课的教学，如果仅仅从教材编排的顺序进行教学，学生能够很顺利地得出相应的数学结论，但是，却会缺少数学发现的过程，因此，对于这一堂课的教学要紧扣“数学发现”进行重组设计。
一、提供“发现素材”，引发数学猜想
数学猜想是数学发现的起点，没有数学猜想就不会有数学发现。在数学课堂教学中，为学生提供数学发现的素材十分重要，这样，才能点燃学生数学猜想的火花，为他们的数学发现做好铺垫。
（一）借助故事素材，引发初步猜想
对于一些小故事小学生是十分喜欢的，教学中，教师要善于运用一些具有数学味的小故事为素材引发他们的初步数学猜想，这样，才能有效地为他们数学课堂上的发现奠定基础。
在“交换律”一课的教学中，课前谈话环节，笔者给学生讲了这样一个小故事：从前，有一位老人养了一只猴子。有一天，老人给猴子送桃子时对猴子说：“我以后每天早上给你三个桃子，晚上给你四个桃子。”猴子一听，不高兴了，急得直摇头。老人这时候对猴子说：“那我以后每天早上给你三个桃子，晚上给你四个桃子。好不好？”猴子一听，高兴地笑了。学生听了这个故事以后，也哈哈大笑。
师：同学们，从数学的角度你有什么话想对猴子说？
生1：猴子呀猴子，“早上给你三个桃子，晚上给你四个桃子”和“早上给你四个桃子，晚上给你三个桃子”是一样的呀。
生2：其实你的主人每天都是给你7个桃子。你真笨呀。
……
这个故事改编于《庄子·齐物论》中的“朝三暮四”，小学生对于这个故事是十分喜歡的。在课前谈话中，通过这个故事对“加法交换律”进行了孕伏，并且能够引发学生的初步数学猜想。
（二）借助图片素材，推进数学猜想
小学生的思维是以形象思维为主。因此，在小学数学课堂上，教师要善于运用一些直观化或者半抽象的图片素材来推进他们的数学猜想。
在“交换律”一课的教学中，导入环节我给学生呈现了以下三幅情境图：
让学生根据这三幅图用算式分别写一写：（1）一共有多少名学生在跳绳？（2）一共有多少头牛？从学校到电影院的距离一共是多少米？然后得出以下三个等式：
28 17=17 28
16 12=12 16
35 42=42 35
在学生写出了这三组等式之后，
师：观察黑板上的这三个式子，有什么共同的特点？
生1：等号两边的两个加数互相换了一下位置。
生2：等号两边两个加数的和是相等的。
生3：把两个加数的位置进行交换，和不变。
……
这样，学生结合这三个等式，就产生了自己的数学猜想，虽然他们的语言表达不相同，也不一定确切，但对“交换两个加数的位置，和不变”这一结论就有了直观化的感知。
二、引导自主探究，发现数学结论
在“发现式”数学教学中，引导学生开展自主化的数学探究活动是核心。在学生有了一定的数学猜想以后，要引导学生通过数学探究活动去验证自己的猜想，在“猜想——验证”的过程中得出数学结论。
（一）借助大量例子，引导数学推理
在小学数学课堂教学中，当学生有了数学猜想以后，引导学生通过大量的例子对自己的数学猜想进行验证是十分重要的，这个过程其实就是学生进行数学推理的过程，通过数学推理他们才会获得数学思维的发展。
当学生产生了“交换两个加数的位置，和不变”这一猜想以后，笔者是这样引导学生经历数学推理的过程的。
师：像这样的式子还有没有？请你在本子上写一写这样的式子，看看还能够写多少个。
（学生开始写，在写的过程中发现这样的式子有很多。）
生1：老师，我写了很多的算式，都是符合这个规律的。
生2：这样的算式应该是写不完的。
师：那么，你们有没有写出不符合这个规律的加法算式来？
生：没有。
师：真的一个都没有吗？
生：真的一个都没有。
师：看来这个规律符合所有的加法算式。
以上片段中，引导学生通过写加法算式对加法交换律进行验证，这个过程就是学生进行数学推理的过程，学生在这个过程中发现没有一个“反例”，这对于培养他们思维的严密性具有很好的作用。
（二）引导数学归纳，得出数学结论 小学生发现数学结论的过程往往要基于数学归纳，通过数学归纳，学生才能够用数学语言或者数学符号来提炼出数学结论，这个过程其实就是对学生的数学学习进行思维提升的过程。
在学生通过大量的例子来证明了加法交换律以后，笔者是这样引导学生进行数学归纳，在数学归纳的过程中获得数学结论的。
师：你能够用一个式子来概括这一个规律吗？
生1：我写了“数1 数2=数2 数1”这个式子，这样，就能够把所有的式子都包括进去了。
生2：可以用“△ □=□ △”来概括。我在这里用“△、□”表示任何数。
生3：我是用“a b=b a”表示的，“a”和“b”表示任何数。
……
师：同学们，你们真了不起，因为你们的发现和数学家一样。数学家就是用“a b=b a”来表示加法交换律的。（板书：加法交换律）
这样，学生在这个过程中就经历了数学归纳与数学符号化的过程，在这个过程中，他们自主得出了加法交换律。
三、总结探究过程，迁移“发现方法”
在中高年级的数学教学中，引导学生对数学探究的过程进行总结十分重要，这样，才能有效地提升他们的数学学习能力与数学探究能力。教师要善于引导学生在学习的过程中对发现数学结论的方法进行迁移运用，以此促进他们数学核心素养的形成。
在学生通过自主探究得出“加法交换律”以后，我是这样引导学生总结探究过程，迁移“发现方法”的。
师：同学们，通过刚才的学习，我们得出了“加法交换律”。在得出“加法交换律”的过程中，还记得我们是怎样进行的吗？
生1：先根据三个算式进行了猜想。
生2：然后写了很多的算式去验证。在寫的时候发现写不完，所以用了“a b=b a”来表示。
师：也就是说我们经历了“先猜想—再验证—得结论”的过程。（板书：先猜想—再验证—得结论）既然有加法交换律，那么还有没有其他交换律呢？
生1：有没有减法交换律？
生2：有没有乘法交换律？
生3：有没有除法交换律？
师：是啊。有没有这一些交换律呢？请你和同桌商量，选择其中的一个猜想进行验证。
（学生同桌合作根据“先猜想—再验证—得结论”的过程对其中一个猜想进行验证。）
生1：我们选择的是验证“减法交换律”。“5-2”和“2-5”肯定是不相等的。因此，“a-b≠b-a”，减法交换律不成立。
生2：我们在验证“除法交换律”的过程中也一样。“8÷4”和“4÷8”不相等，因此没有除法交换律。
生3：我们是验证“乘法交换律”的。我们写出了“3×5=5×3，12×4=4×12，20×10=10×20，…”这些式子。这样的式子也是写不完的，可以用“a×b=b×a”来概括。乘法交换律是成立的，交换两个乘数的位置，积不变。
这样，学生在验证有没有减法交换律、乘法交换律、除法交换律的过程中，对“先猜想—再验证—得结论”的数学探究方法进行了迁移运用。在这个过程中，学生不仅得出了相应的数学结论，更为重要的对数学探究方法进行了内化，收到了“一箭双雕”的教学效果。
总之，随着新课程改革的不断推进，在小学数学教学中，提升学生的数学素养成了重要的教学目标。在“核心素养”背景下，引导学生经历数学发现的过程很重要，这样，才能让学生的数学学习富有挑战性，才能让他们在获得数学知识的同时，提升他们的数学核心素养。
关键词：数学发现；交换律
波利亚在《数学的发现》一书中指出，学生学习数学的过程应该是一个积极主动的过程，而不应该是被动接受的过程，学好数学最好的途径就是自己去发现它。“核心素养”下的数学课堂教学更应该如此，因为“数学发现”其本身就是数学核心素养的重要构成元素之一。那么，在数学课堂教学中应该如何引导学生经历数学发现的过程呢？以下，结合“加法交换律和乘法交换律”一课的教学来谈一谈。
“加法交换律和乘法交换律”是北师大版小学数学四年级上册第四单元“交换律”中的内容。在教材中，主要分为两部分呈现教学内容：第一部分是“加法交换律”，通过大量的图片素材和算式引导学生概括加法交换律；第二部分是“乘法交换律”，主要通过几个算式引导学生概括，教材在编排上体现了“先扶后放”的思想。教师是课程资源的开发者，对于这一堂课的教学，如果仅仅从教材编排的顺序进行教学，学生能够很顺利地得出相应的数学结论，但是，却会缺少数学发现的过程，因此，对于这一堂课的教学要紧扣“数学发现”进行重组设计。
一、提供“发现素材”，引发数学猜想
数学猜想是数学发现的起点，没有数学猜想就不会有数学发现。在数学课堂教学中，为学生提供数学发现的素材十分重要，这样，才能点燃学生数学猜想的火花，为他们的数学发现做好铺垫。
（一）借助故事素材，引发初步猜想
对于一些小故事小学生是十分喜欢的，教学中，教师要善于运用一些具有数学味的小故事为素材引发他们的初步数学猜想，这样，才能有效地为他们数学课堂上的发现奠定基础。
在“交换律”一课的教学中，课前谈话环节，笔者给学生讲了这样一个小故事：从前，有一位老人养了一只猴子。有一天，老人给猴子送桃子时对猴子说：“我以后每天早上给你三个桃子，晚上给你四个桃子。”猴子一听，不高兴了，急得直摇头。老人这时候对猴子说：“那我以后每天早上给你三个桃子，晚上给你四个桃子。好不好？”猴子一听，高兴地笑了。学生听了这个故事以后，也哈哈大笑。
师：同学们，从数学的角度你有什么话想对猴子说？
生1：猴子呀猴子，“早上给你三个桃子，晚上给你四个桃子”和“早上给你四个桃子，晚上给你三个桃子”是一样的呀。
生2：其实你的主人每天都是给你7个桃子。你真笨呀。
……
这个故事改编于《庄子·齐物论》中的“朝三暮四”，小学生对于这个故事是十分喜歡的。在课前谈话中，通过这个故事对“加法交换律”进行了孕伏，并且能够引发学生的初步数学猜想。
（二）借助图片素材，推进数学猜想
小学生的思维是以形象思维为主。因此，在小学数学课堂上，教师要善于运用一些直观化或者半抽象的图片素材来推进他们的数学猜想。
在“交换律”一课的教学中，导入环节我给学生呈现了以下三幅情境图：
让学生根据这三幅图用算式分别写一写：（1）一共有多少名学生在跳绳？（2）一共有多少头牛？从学校到电影院的距离一共是多少米？然后得出以下三个等式：
28 17=17 28
16 12=12 16
35 42=42 35
在学生写出了这三组等式之后，
师：观察黑板上的这三个式子，有什么共同的特点？
生1：等号两边的两个加数互相换了一下位置。
生2：等号两边两个加数的和是相等的。
生3：把两个加数的位置进行交换，和不变。
……
这样，学生结合这三个等式，就产生了自己的数学猜想，虽然他们的语言表达不相同，也不一定确切，但对“交换两个加数的位置，和不变”这一结论就有了直观化的感知。
二、引导自主探究，发现数学结论
在“发现式”数学教学中，引导学生开展自主化的数学探究活动是核心。在学生有了一定的数学猜想以后，要引导学生通过数学探究活动去验证自己的猜想，在“猜想——验证”的过程中得出数学结论。
（一）借助大量例子，引导数学推理
在小学数学课堂教学中，当学生有了数学猜想以后，引导学生通过大量的例子对自己的数学猜想进行验证是十分重要的，这个过程其实就是学生进行数学推理的过程，通过数学推理他们才会获得数学思维的发展。
当学生产生了“交换两个加数的位置，和不变”这一猜想以后，笔者是这样引导学生经历数学推理的过程的。
师：像这样的式子还有没有？请你在本子上写一写这样的式子，看看还能够写多少个。
（学生开始写，在写的过程中发现这样的式子有很多。）
生1：老师，我写了很多的算式，都是符合这个规律的。
生2：这样的算式应该是写不完的。
师：那么，你们有没有写出不符合这个规律的加法算式来？
生：没有。
师：真的一个都没有吗？
生：真的一个都没有。
师：看来这个规律符合所有的加法算式。
以上片段中，引导学生通过写加法算式对加法交换律进行验证，这个过程就是学生进行数学推理的过程，学生在这个过程中发现没有一个“反例”，这对于培养他们思维的严密性具有很好的作用。
（二）引导数学归纳，得出数学结论 小学生发现数学结论的过程往往要基于数学归纳，通过数学归纳，学生才能够用数学语言或者数学符号来提炼出数学结论，这个过程其实就是对学生的数学学习进行思维提升的过程。
在学生通过大量的例子来证明了加法交换律以后，笔者是这样引导学生进行数学归纳，在数学归纳的过程中获得数学结论的。
师：你能够用一个式子来概括这一个规律吗？
生1：我写了“数1 数2=数2 数1”这个式子，这样，就能够把所有的式子都包括进去了。
生2：可以用“△ □=□ △”来概括。我在这里用“△、□”表示任何数。
生3：我是用“a b=b a”表示的，“a”和“b”表示任何数。
……
师：同学们，你们真了不起，因为你们的发现和数学家一样。数学家就是用“a b=b a”来表示加法交换律的。（板书：加法交换律）
这样，学生在这个过程中就经历了数学归纳与数学符号化的过程，在这个过程中，他们自主得出了加法交换律。
三、总结探究过程，迁移“发现方法”
在中高年级的数学教学中，引导学生对数学探究的过程进行总结十分重要，这样，才能有效地提升他们的数学学习能力与数学探究能力。教师要善于引导学生在学习的过程中对发现数学结论的方法进行迁移运用，以此促进他们数学核心素养的形成。
在学生通过自主探究得出“加法交换律”以后，我是这样引导学生总结探究过程，迁移“发现方法”的。
师：同学们，通过刚才的学习，我们得出了“加法交换律”。在得出“加法交换律”的过程中，还记得我们是怎样进行的吗？
生1：先根据三个算式进行了猜想。
生2：然后写了很多的算式去验证。在寫的时候发现写不完，所以用了“a b=b a”来表示。
师：也就是说我们经历了“先猜想—再验证—得结论”的过程。（板书：先猜想—再验证—得结论）既然有加法交换律，那么还有没有其他交换律呢？
生1：有没有减法交换律？
生2：有没有乘法交换律？
生3：有没有除法交换律？
师：是啊。有没有这一些交换律呢？请你和同桌商量，选择其中的一个猜想进行验证。
（学生同桌合作根据“先猜想—再验证—得结论”的过程对其中一个猜想进行验证。）
生1：我们选择的是验证“减法交换律”。“5-2”和“2-5”肯定是不相等的。因此，“a-b≠b-a”，减法交换律不成立。
生2：我们在验证“除法交换律”的过程中也一样。“8÷4”和“4÷8”不相等，因此没有除法交换律。
生3：我们是验证“乘法交换律”的。我们写出了“3×5=5×3，12×4=4×12，20×10=10×20，…”这些式子。这样的式子也是写不完的，可以用“a×b=b×a”来概括。乘法交换律是成立的，交换两个乘数的位置，积不变。
这样，学生在验证有没有减法交换律、乘法交换律、除法交换律的过程中，对“先猜想—再验证—得结论”的数学探究方法进行了迁移运用。在这个过程中，学生不仅得出了相应的数学结论，更为重要的对数学探究方法进行了内化，收到了“一箭双雕”的教学效果。
总之，随着新课程改革的不断推进，在小学数学教学中，提升学生的数学素养成了重要的教学目标。在“核心素养”背景下，引导学生经历数学发现的过程很重要，这样，才能让学生的数学学习富有挑战性，才能让他们在获得数学知识的同时，提升他们的数学核心素养。