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【摘要】类比推理就是根据两个或两类对象在某些关系或性质上相同或相似，通常这些另外的关系或性质为类比的对象之一所具有，而在另一类比对象那儿尚未发现。运用类比推理来启发所要研究的对象具有某种关系或属性的方法称为类比法。通过类比，可以大胆猜想结论，进而可以去证明。
【关键词】准圆 准线 切线 垂直
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）09-0146-02
圆、椭圆、双曲线和抛物线为什么叫圆锥曲线而不叫圆柱曲线呢？这是因为这三种曲线是由圆锥被不同位置的平面所截得到的。既然是同根生，它们应该具有相同的或相似的性质，抛物线和准线有密切的关系，那么椭圆、双曲线和准圆应该有怎样的密切关系呢？
【猜想1】给定椭圆C：+=1（a>b>0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”，点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，求证：l1⊥l2.
证明：①当l1，l2中有一条无斜率时，不妨设l1无斜率，因为l1与椭圆只有一个公共点，则其方程为x=a或x=-a。当l1方程为x=a时，此时l1与准圆交于点（a，b），（a，-b）此时经过点（a，b）（或（a，-b））且与椭圆只有一个公共点的直线是y=b（或y=-b），即l2为y=b（或y=-b），显然直线l1，l2垂直;同理可证l1方程为x=-a时，直线l1，l2垂直。
②当l1，l2都有斜率时，设点P（x0，y0），其中x+y=a2+b2，设经过点P（x0，y0），与椭圆只有一个公共点的直线为y=kx+m，其中m=y0-kx0联立y=kx+m+=1消去y得到（a2k2+b2）x2+2a2mkx+a2（m2-b2）=0，△4a4m2k2-4a2（a2k2+b2）（m2-b2）=0.经过化简得到：a2k2+b2-m2=0， 把m=y0-kx0代入得，（a2-x）k2+2x0y0k+b2-y02=0. 设l1，l2的斜率分别为k1，k2，因为l1，l2与椭圆都只有一个公共点，所以k1，k2满足上述方程， 所以k1k2===-1，即l1⊥l2.
【总结】猜想1证明的思路是①设点P的坐标和切线直线方程②联立消元③利用判别式△=0得到关于斜率k的一元二次方程④利用韦达定理整体求出k1k2，再利用点P在准圆上消去一个坐标得到结论。但如果设切线方程时用直线的点斜式，这样在后面的联立消元和计算判别式时计算量很大，很多学生不堪忍受如此复杂的计算，所以可以先设切线方程的斜截式y=kx+m，其中m=y0-kx0，计算判别式得到a2k2+b2-m2=0后再把m=y0-kx0代入，这样做计算量很小，这一技巧值得关注。其次，是以椭圆焦点在x轴上时，过准圆上任一点P作椭圆的两条切线，则两切线相互垂直;当椭圆焦点在y轴上时，同理可证这一性质也成立，于是有下面的结论1。
【结论1】过椭圆的“准圆”上任一点P作椭圆的两条切线，则两切线相互垂直。
那么作为有心二次曲线的双曲线是否也有“准圆”呢？如果有，是否也有相应的漂亮性质呢？
【猜想2】给定双曲线C：-=1（a>b>0），称圆心在原点O，半径为的圆是双曲线C的“准圆”，点P是双曲线C的“准圆”上的一个动点，过点P作双曲线C的两条切线l1，l2，求证：l1⊥l2
【证明】①当l1，l2中有一条无斜率时，不妨设l1无斜率，因为l1与双曲线相切，则其方程为x=a或x=-a。当l1方程为x=a时，此时l1与准圆无交点;当l1方程为x=-a时，此时l1与准圆无交点。
②当l1，l2都有斜率时，设点P（x0，y0），其中x+y=a2-b2，设经过点P（x0，y0），与双曲线相切的直线为y=kx+m，其中m=y0-kx0则y=kx+m+=1，消去y得到（b2-a2k2）x2-2a2mkx-a2（m2+b2）=0，△=4a4m2k2+4a2（b2-a2k2）（m2+b2）=0，化简得：b2+m2-a2k2=0， 把m=y0-kx0代入得，（x-a2）k2-2x0y0k+b2+y02=0设l1，l2的斜率分别为k1，k2，因为l1，l2与双曲线都只有一个公共点，所以k1，k2满足上述方程， 所以k1k2===-1，即l1⊥l2.
【结论2】过双曲线的“准圆”上任一点P作双曲线的两条切线，则两切线相互垂直。
特别注意：椭圆C的“准圆”半径为，双曲线C的“准圆”半径为;双曲线C：-=1中对a，b 的限制是a>b>0而非a>0，b>0.椭圆和双曲线的“准圆”相当于抛物线的准线，那么抛物线的准线是否也有相应的性质呢？
【猜想3】给定抛物线C：y2=2px（p>0， 点P是抛物线C的准线l：x=-上的一个动点，过点P作抛物线C的两条切线l1，l2，求证：l1⊥l2.
证明：由题意知两条切线l1，l2的斜率均存在且不为0，设经过点P（x0，y0）（其中x0=-）与抛物线C的相切的直线为y=kx+m，其中m=y0-kx0，联立y=kx+my2=2px，消去y得到k2x2+2（mk-p）x+m2=0，△=4（mk-p）2-4m2k2=0，经过化简得到：2mk-p=0， 把 m=y0-kx0代入得2x0k2-2y0k+p=0.设l1，l2的斜率分别为k1，k2，因为l1，l2与抛物线相切，所以k1，k2满足上述方程，所以k1k2===-1，即l1⊥l2.
【结论3】过抛物线的准线上任一点P作抛物线的两条切线，则两切线相互垂直。
行文至此，我们完成了对三类圆锥曲线横向的类比，而且证明了圆锥曲线准圆（线）的一个漂亮性质：过准圆（对于椭圆和双曲线而言）或准线（对于抛物线而言）上任意一点作相应圆锥曲线的两条切线，则两切线垂直。
【关键词】准圆 准线 切线 垂直
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）09-0146-02
圆、椭圆、双曲线和抛物线为什么叫圆锥曲线而不叫圆柱曲线呢？这是因为这三种曲线是由圆锥被不同位置的平面所截得到的。既然是同根生，它们应该具有相同的或相似的性质，抛物线和准线有密切的关系，那么椭圆、双曲线和准圆应该有怎样的密切关系呢？
【猜想1】给定椭圆C：+=1（a>b>0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”，点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，求证：l1⊥l2.
证明：①当l1，l2中有一条无斜率时，不妨设l1无斜率，因为l1与椭圆只有一个公共点，则其方程为x=a或x=-a。当l1方程为x=a时，此时l1与准圆交于点（a，b），（a，-b）此时经过点（a，b）（或（a，-b））且与椭圆只有一个公共点的直线是y=b（或y=-b），即l2为y=b（或y=-b），显然直线l1，l2垂直;同理可证l1方程为x=-a时，直线l1，l2垂直。
②当l1，l2都有斜率时，设点P（x0，y0），其中x+y=a2+b2，设经过点P（x0，y0），与椭圆只有一个公共点的直线为y=kx+m，其中m=y0-kx0联立y=kx+m+=1消去y得到（a2k2+b2）x2+2a2mkx+a2（m2-b2）=0，△4a4m2k2-4a2（a2k2+b2）（m2-b2）=0.经过化简得到：a2k2+b2-m2=0， 把m=y0-kx0代入得，（a2-x）k2+2x0y0k+b2-y02=0. 设l1，l2的斜率分别为k1，k2，因为l1，l2与椭圆都只有一个公共点，所以k1，k2满足上述方程， 所以k1k2===-1，即l1⊥l2.
【总结】猜想1证明的思路是①设点P的坐标和切线直线方程②联立消元③利用判别式△=0得到关于斜率k的一元二次方程④利用韦达定理整体求出k1k2，再利用点P在准圆上消去一个坐标得到结论。但如果设切线方程时用直线的点斜式，这样在后面的联立消元和计算判别式时计算量很大，很多学生不堪忍受如此复杂的计算，所以可以先设切线方程的斜截式y=kx+m，其中m=y0-kx0，计算判别式得到a2k2+b2-m2=0后再把m=y0-kx0代入，这样做计算量很小，这一技巧值得关注。其次，是以椭圆焦点在x轴上时，过准圆上任一点P作椭圆的两条切线，则两切线相互垂直;当椭圆焦点在y轴上时，同理可证这一性质也成立，于是有下面的结论1。
【结论1】过椭圆的“准圆”上任一点P作椭圆的两条切线，则两切线相互垂直。
那么作为有心二次曲线的双曲线是否也有“准圆”呢？如果有，是否也有相应的漂亮性质呢？
【猜想2】给定双曲线C：-=1（a>b>0），称圆心在原点O，半径为的圆是双曲线C的“准圆”，点P是双曲线C的“准圆”上的一个动点，过点P作双曲线C的两条切线l1，l2，求证：l1⊥l2
【证明】①当l1，l2中有一条无斜率时，不妨设l1无斜率，因为l1与双曲线相切，则其方程为x=a或x=-a。当l1方程为x=a时，此时l1与准圆无交点;当l1方程为x=-a时，此时l1与准圆无交点。
②当l1，l2都有斜率时，设点P（x0，y0），其中x+y=a2-b2，设经过点P（x0，y0），与双曲线相切的直线为y=kx+m，其中m=y0-kx0则y=kx+m+=1，消去y得到（b2-a2k2）x2-2a2mkx-a2（m2+b2）=0，△=4a4m2k2+4a2（b2-a2k2）（m2+b2）=0，化简得：b2+m2-a2k2=0， 把m=y0-kx0代入得，（x-a2）k2-2x0y0k+b2+y02=0设l1，l2的斜率分别为k1，k2，因为l1，l2与双曲线都只有一个公共点，所以k1，k2满足上述方程， 所以k1k2===-1，即l1⊥l2.
【结论2】过双曲线的“准圆”上任一点P作双曲线的两条切线，则两切线相互垂直。
特别注意：椭圆C的“准圆”半径为，双曲线C的“准圆”半径为;双曲线C：-=1中对a，b 的限制是a>b>0而非a>0，b>0.椭圆和双曲线的“准圆”相当于抛物线的准线，那么抛物线的准线是否也有相应的性质呢？
【猜想3】给定抛物线C：y2=2px（p>0， 点P是抛物线C的准线l：x=-上的一个动点，过点P作抛物线C的两条切线l1，l2，求证：l1⊥l2.
证明：由题意知两条切线l1，l2的斜率均存在且不为0，设经过点P（x0，y0）（其中x0=-）与抛物线C的相切的直线为y=kx+m，其中m=y0-kx0，联立y=kx+my2=2px，消去y得到k2x2+2（mk-p）x+m2=0，△=4（mk-p）2-4m2k2=0，经过化简得到：2mk-p=0， 把 m=y0-kx0代入得2x0k2-2y0k+p=0.设l1，l2的斜率分别为k1，k2，因为l1，l2与抛物线相切，所以k1，k2满足上述方程，所以k1k2===-1，即l1⊥l2.
【结论3】过抛物线的准线上任一点P作抛物线的两条切线，则两切线相互垂直。
行文至此，我们完成了对三类圆锥曲线横向的类比，而且证明了圆锥曲线准圆（线）的一个漂亮性质：过准圆（对于椭圆和双曲线而言）或准线（对于抛物线而言）上任意一点作相应圆锥曲线的两条切线，则两切线垂直。