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【摘要】分段函数是一类表达形式特殊的函数，是新课程高中数学的一个新概念，它能较深刻地考查函数的概念及性质等知识.分段函数在课本上仅以一个例题出现，并没有作深入的说明，但是在近几年高考中已成为函数中考查的热点.笔者对近几年高考考查分段函数的相关内容进行归纳并整理如下.
【关键词】新课程；高考；分段函数
1分段函数求解析式（或作图）
例1 （2007年安徽卷文7）图中的图像所表示的函数的解析式为（）.
Ay=32|x-1|(0≤x≤2)
By=32-32|x-1|(0≤x≤2)
Cy=32-|x-1|(0≤x≤2)
Dy=1-|x-1|(0≤x≤2)
解析 本题考查了对分段函数图像的认识及分段函数解析式的求法，解题时可直接用待定系数法求解.另外，本题也可用排除法，将x=0代入选项排除A，C，将x=1代入选项排除D，故选B.
例2 已知函数f(x)定义在R上，且周期为2，当x∈［-1,1］时，f(x)=-x2+1，求f(x)在区间［1，3］上的解析式.
解析 设x∈［1,3］，则(x-2)∈［-1,1］.
∵当x∈［-1,1］时，有f(x)=-x2+1，
∴当x∈［1,3］时，有
f(x-2)=-(x-2)2+1=-x2+4x-3.
又 ∵函数f(x)的周期为2，
∴f(x)=f(x-2)=-x2+4x-3，
即f(x)=-x2+4x-3(1≤x≤3).
2分段函数求值
例3 （2010年湖北卷文3）已知函数f(x)=log3x,x>0,2x,x≤0，则ff19等于（）.
A4
B14
C-4
D-14
解析 求分段函数的函数值时，首先应确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应法则求值.本题中，要求ff19，需要先确定f19的取值范围，然后根据19所在的范围代入相应的解析式，逐步求解.故选B.
例4 （2010年陕西卷理5）已知函数f(x)=2x+1,x<1,x2+ax,x≥1，若f(f(0))=4a，则实数a等于（）.
A12
B45
C2
D9
解析 ∵f(0)=20+1=2，
∴f(f(0))=f(2)=22+2a=4+2a=4a，
∴解得a=2.故选C.
例5 （2009年山东卷理10）定义在R上的函数f(x)满足f(x)=log2(1-x),x≤0,f(x-1)-f(x-2),x>0，则f(2009)的值为（）.
A-1
B0
C1
D2
解析 由已知得f(-1)=log22=1，f(0)=0，
f(1)=f(0)-f(-1)=-1，f(2)=f(1)-f(0)=-1，
f(3)=f(2)-f(1)=-1-(-1)=0，
f(4)=f(3)-f(2)=0-(-1)=1，
f(5)=f(4)-f(3)=1，f(6)=f(5)-f(4)=0，
∴函数f(x)的值以6为周期重复性出现.
∴f(2009)=f(5)=1.故选C.
3分段函数的单调性
例6 （2009年天津理8）已知函数f(x)=x2+4x,x≥0,4x-x2,x<0，若f(2-a2)>f(a)，则实数a的取值范围是（）A(-∞,-1)∪(2,+∞)
B(-1,2)
C(-2,1)
D(-∞,-2)∪(1,+∞)
解析 根据f(x)图像可知f(x)在R上是增函数，依题意得2-a2>a，解得-2 例7 （2010年江苏卷文11）已知函数f(x)=x2+1,x≥0,1,x<0，则满足不等式f(1-x2)>f(2x)的x的范围是.
解析 本题考查了分段函数的单调性、数形结合、等价转化的思想.先画出函数f(x)=x2+1,x≥0,1,x<0的图像，由图像知1-x2>0,1-x2>2x,由1-x2>0，解得-12x，即x2+2x-1<0，解得-1-2f(2x)的x的范围是（-1,2-1）.
4分段函数的最值与值域
例8 （2010年天津卷文10）设函数g(x)=x2-2(x∈R)，f(x)=g(x)+x+4,x A-94，0∪(1,+∞)
B［0,+∞)
C-94，+∞
D-94，0∪(2,+∞)
解析 本题考查了求分段函数的值域，将g(x)=x2-2代入f(x)的解析式中，并整理得f(x)=x2+x+2,x<-1或x>2，x2-x-2,-1≤x≤2.画出f(x)的图像，由图像可看出函数f(x)的值域是-94，0∪(2,+∞)，故选D.注意分段函数的最值与值域问题应当分别讨论各段上的最值与值域，然后综合.
5分段函数与方程
例9 （2010年福建卷理4文7）函数f(x)=x2+2x-3,x≤0,-2+lnx,x>0的零点个数为（）.
A2
B2
C1
D0
解析 本题主要考查分段函数和函数零点的求解，同时考查分类与整合、数形结合的思想.
解法一 令f(x)=0，则
（1）当x≤0时，x2+2x-3=0，∴x=-3或x=1（舍去）；
（2）当x>0时，-2+lnx=0，∴x=e2.
综上所述，函数f(x)有两个零点.
解法二 作出图像，由图可知函数有两个零点.故选B.
例10 （2010年全国卷理11文12）已知函数f(x)=|lgx|,010，若a，b，c均不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则abc的取值范围是（）.
A（1，10）
B(5，6)
C(10，12)
D(20，24)
解析 本题考查函数与方程的综合应用，以分段函数为背景，涉及对数函数与直线的综合性质.不妨设a 6分段函数与不等式
例11 （2010年天津卷理8）设函数f(x)=log2x,x>0,log12(-x),x<0，若f(a)>f(-a)，则实数a的取值范围是（）.
A(-1,0)∪(0,1)
B(-∞,-1)∪(1,+∞)
C(-1,0)∪(1,+∞)
D(-∞,-1)∪(0,1)
解析 本题主要考查分段函数与对数不等式的解法.
解法一 当a>0时，f(a)=log2a，同时由于-a<0，则f(-a)=log12a，由log2a>log12a，解得a>1；同理当a<0时，则-a>0，由log12(-a)>log2(-a)，并结合函数图像，得0<-a<1，解得-1 解法二 作出函数f(x)的图像，发现函数f(x)为奇函数，且在区间(-∞,0),(0,+∞)上单调递增，且f(1)=f(-1)=0，所以由f(a)>f(-a)，得f(a)>-f(a)，即f(a)>0，解得a>0,a>1或a<0,a>-1，也就是a>1或-1 7分段函数与程序框图
例12 （2010年北京卷文9）已知函数y=log2x,x≥2,2-x,x<2，右图表示的是给定x的值，求其对应的函数值y的程序框图，①处应填写；②处应填写.
解析 本题以分段函数为载体考查对程序框图的认识.
①处填x<2，②处填y=log2x.
8分段函数与极限
例13 （2009年四川卷理2）已知函数f(x)=a+log2x(x≥2),x2-4x-2(x<2)在点x=2处连续，则常数a的值是（）A2
B3
C4
D5
解析 函数f(x)在点x=2处连续，即
limx→2-f(x)=limx→2+f(x)=f(2).
而limx→2-x2-4x-2=limx→2+(x+2)=4，
∴f(2)=a+log22=4，即a=3.故选B.
通过以上归纳，我们可以看到高考对分段函数的考查几乎融入了函数的所有性质，有效地考查了分类讨论、数形结合等数学思想以及学生运用数学知识分析问题、解决问题的能力.因此，我们在教学中应当高度重视分段函数的复习.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
【关键词】新课程；高考；分段函数
1分段函数求解析式（或作图）
例1 （2007年安徽卷文7）图中的图像所表示的函数的解析式为（）.
Ay=32|x-1|(0≤x≤2)
By=32-32|x-1|(0≤x≤2)
Cy=32-|x-1|(0≤x≤2)
Dy=1-|x-1|(0≤x≤2)
解析 本题考查了对分段函数图像的认识及分段函数解析式的求法，解题时可直接用待定系数法求解.另外，本题也可用排除法，将x=0代入选项排除A，C，将x=1代入选项排除D，故选B.
例2 已知函数f(x)定义在R上，且周期为2，当x∈［-1,1］时，f(x)=-x2+1，求f(x)在区间［1，3］上的解析式.
解析 设x∈［1,3］，则(x-2)∈［-1,1］.
∵当x∈［-1,1］时，有f(x)=-x2+1，
∴当x∈［1,3］时，有
f(x-2)=-(x-2)2+1=-x2+4x-3.
又 ∵函数f(x)的周期为2，
∴f(x)=f(x-2)=-x2+4x-3，
即f(x)=-x2+4x-3(1≤x≤3).
2分段函数求值
例3 （2010年湖北卷文3）已知函数f(x)=log3x,x>0,2x,x≤0，则ff19等于（）.
A4
B14
C-4
D-14
解析 求分段函数的函数值时，首先应确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应法则求值.本题中，要求ff19，需要先确定f19的取值范围，然后根据19所在的范围代入相应的解析式，逐步求解.故选B.
例4 （2010年陕西卷理5）已知函数f(x)=2x+1,x<1,x2+ax,x≥1，若f(f(0))=4a，则实数a等于（）.
A12
B45
C2
D9
解析 ∵f(0)=20+1=2，
∴f(f(0))=f(2)=22+2a=4+2a=4a，
∴解得a=2.故选C.
例5 （2009年山东卷理10）定义在R上的函数f(x)满足f(x)=log2(1-x),x≤0,f(x-1)-f(x-2),x>0，则f(2009)的值为（）.
A-1
B0
C1
D2
解析 由已知得f(-1)=log22=1，f(0)=0，
f(1)=f(0)-f(-1)=-1，f(2)=f(1)-f(0)=-1，
f(3)=f(2)-f(1)=-1-(-1)=0，
f(4)=f(3)-f(2)=0-(-1)=1，
f(5)=f(4)-f(3)=1，f(6)=f(5)-f(4)=0，
∴函数f(x)的值以6为周期重复性出现.
∴f(2009)=f(5)=1.故选C.
3分段函数的单调性
例6 （2009年天津理8）已知函数f(x)=x2+4x,x≥0,4x-x2,x<0，若f(2-a2)>f(a)，则实数a的取值范围是（）A(-∞,-1)∪(2,+∞)
B(-1,2)
C(-2,1)
D(-∞,-2)∪(1,+∞)
解析 根据f(x)图像可知f(x)在R上是增函数，依题意得2-a2>a，解得-2
解析 本题考查了分段函数的单调性、数形结合、等价转化的思想.先画出函数f(x)=x2+1,x≥0,1,x<0的图像，由图像知1-x2>0,1-x2>2x,由1-x2>0，解得-1
4分段函数的最值与值域
例8 （2010年天津卷文10）设函数g(x)=x2-2(x∈R)，f(x)=g(x)+x+4,x
B［0,+∞)
C-94，+∞
D-94，0∪(2,+∞)
解析 本题考查了求分段函数的值域，将g(x)=x2-2代入f(x)的解析式中，并整理得f(x)=x2+x+2,x<-1或x>2，x2-x-2,-1≤x≤2.画出f(x)的图像，由图像可看出函数f(x)的值域是-94，0∪(2,+∞)，故选D.注意分段函数的最值与值域问题应当分别讨论各段上的最值与值域，然后综合.
5分段函数与方程
例9 （2010年福建卷理4文7）函数f(x)=x2+2x-3,x≤0,-2+lnx,x>0的零点个数为（）.
A2
B2
C1
D0
解析 本题主要考查分段函数和函数零点的求解，同时考查分类与整合、数形结合的思想.
解法一 令f(x)=0，则
（1）当x≤0时，x2+2x-3=0，∴x=-3或x=1（舍去）；
（2）当x>0时，-2+lnx=0，∴x=e2.
综上所述，函数f(x)有两个零点.
解法二 作出图像，由图可知函数有两个零点.故选B.
例10 （2010年全国卷理11文12）已知函数f(x)=|lgx|,0
A（1，10）
B(5，6)
C(10，12)
D(20，24)
解析 本题考查函数与方程的综合应用，以分段函数为背景，涉及对数函数与直线的综合性质.不妨设a
例11 （2010年天津卷理8）设函数f(x)=log2x,x>0,log12(-x),x<0，若f(a)>f(-a)，则实数a的取值范围是（）.
A(-1,0)∪(0,1)
B(-∞,-1)∪(1,+∞)
C(-1,0)∪(1,+∞)
D(-∞,-1)∪(0,1)
解析 本题主要考查分段函数与对数不等式的解法.
解法一 当a>0时，f(a)=log2a，同时由于-a<0，则f(-a)=log12a，由log2a>log12a，解得a>1；同理当a<0时，则-a>0，由log12(-a)>log2(-a)，并结合函数图像，得0<-a<1，解得-1
例12 （2010年北京卷文9）已知函数y=log2x,x≥2,2-x,x<2，右图表示的是给定x的值，求其对应的函数值y的程序框图，①处应填写；②处应填写.
解析 本题以分段函数为载体考查对程序框图的认识.
①处填x<2，②处填y=log2x.
8分段函数与极限
例13 （2009年四川卷理2）已知函数f(x)=a+log2x(x≥2),x2-4x-2(x<2)在点x=2处连续，则常数a的值是（）A2
B3
C4
D5
解析 函数f(x)在点x=2处连续，即
limx→2-f(x)=limx→2+f(x)=f(2).
而limx→2-x2-4x-2=limx→2+(x+2)=4，
∴f(2)=a+log22=4，即a=3.故选B.
通过以上归纳，我们可以看到高考对分段函数的考查几乎融入了函数的所有性质，有效地考查了分类讨论、数形结合等数学思想以及学生运用数学知识分析问题、解决问题的能力.因此，我们在教学中应当高度重视分段函数的复习.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文