高中数学函数对称性梳理举隅

• 作 者: 张怀忠
• 出 处: 大观周刊
• 发表日期: 2011年43期
• 关键词: 数学函数 对称性 梳理 高中 数学问题 对称关系 体分析 面具

　　中图分类号：G4 文献标识码：A 文章编号：1008-925X(2011)11-0103-01
　　函数的对称性是函数的一个重要性质，对称关系广泛存在于数学问题之中，利用对称性能更简捷地解决问题。函数的对称包括函数自身的对称性和不同函数之间的对称性。下面具体分析各个方面：
　　一、函数自身的对称
　　定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是：f (x) + f (2a－x) = 2b
　　推论：函数 y = f (x)的图像关于原点的对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0
　　定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是
　　 f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x)
　　推论：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称（实际是偶函数）的充要条件是f (x) = f (－x)
　　定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。
　　 ②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称 （a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。
　　③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。
　　二、不同函数对称性
　　定理4. 函数y = f (x)与y = 2b－f (2a－x)的图像关于点A (a ,b)成中心对称。
　　定理5. ①函数y = f (x)与y = f (2a－x)的图像关于直线x = a成轴对称。
　　②函数y = f (x)与a－x = f (a－y)的图像关于直线x +y = a成轴对称。
　　③函数y = f (x)与x－a = f (y + a)的图像关于直线x－y = a成轴对称。
　　推论：函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称（实际是函数与反函数的问题）。
　　三、函数对称性应用举例
　　例1 定义在R上的非常数函数满足：f(x+10)为偶函数，且f(5-x)=f(5+x)，则f(x)一定是（ ）
　　A. 是偶函数，也是周期函数 B. 是偶函数，但不是周期函数
　　C. 是奇函数，也是周期函数 D. 是奇函数，但不是周期函数例
　　解：因为f(x+10)为偶函数，所以f(10+x)=f(10-x)。所以f(x)有两条对称轴x=5与x=10，因此f(x)是以10为其一个周期的周期函数，所以x＝0即y轴也是f(x)的对称轴，因此f(x)还是一个偶函数。故选（A）。
　　2：设定义域为R的函数y = f (x)、y = g(x)都有反函数，并且f(x－1)和g-1(x－2)函数的图像关于直线y = x对称，若g(5) = 1999，那么f(4)=（ ）。
　　（A） 1999； （B）2000； （C）2001； （D）2002。