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【摘 要】随着九年义务教育数学新课程的实施，要求培养学生的阅读、分析和解决问题的能力。应用不等式（组）、方程（组）、函数等数学知识进行方案设计与决策。有利于培养学生的数学应用意识、决策意识和新意识，有利于培养创新型人才。
【关键词】初中数学；方案设计与决策；思考
数学知识与我们的日常生活、社会生产、市场经济的联系越来越紧密。随着九年义务教育数学新课程标准的实施，着重培养学生分析问题、解决问题的能力。近几年，中考也越来越重视对方案的设计与决策的考查。方案设计问题常常以现实生活问题为背景，蕴涵着许多重要的数学思想，如分类讨论思想、数形结合思想、转化思想、数学建模思想等，蕴涵着解决问题的方法、技巧和策略，学生要认真阅读分析才能将其转化成数学问题。初中数学常见的方案设计问题，我在教学中思考有以下几点。
一、以建立不等式（组）建模的方案设计
以家电下乡为背景，以建立不等式（组）模型为载体的方案设计问题，通过确定未知量取值范围，进而提出进货方案，再根据进货方案得到国家财政的钱数确定其中补贴最多的钱数。解决这类问题的关键是根据题意找出未知量的不等关系，确定未知量的取值范围，再通过对条件（特别是隐含条件）的分析，确定设计方案。
例：某家电商场计划用32400元购进“家电下乡”指定产品中的电视机、冰箱、洗衣机共15台，三种家电的进价和售价如下表所示：
种类 价格 进价（元/台） 售价（元/台）
电视机 2000 2100
冰箱 2400 2500
洗衣机 1600 1700
（1）在不超过现有资金的前提下，若购进电视机的数量和冰箱的数量相同，洗衣机数量不大于电视机数量的一半，商场有哪几种进货方案？
（2）国家规定：农民购买家电后，可根据商场售价的13%领取补贴。在（1）的条件下，如果这15台家电全部销售给农民，国家财政最多需补贴农民多少元？
解：（1）设购进电视机和冰箱各x台，则购进洗衣机（15-2x）台，根据题意得：
X≥15-2X
2000X+2400X+1600（15-2X）≤32400
解得6≤x≤7，因为x为正整数，所以x=6或7。
方案1：购进电视机和冰箱各6台，洗衣机3台；
方案2：购进电视机和冰箱各7台，洗衣机1台。
（2）方案1需补贴（6×2100+6×2500+3×1700）×13%=4251（元）；
方案2需补贴（7×2100+7×2500+1×1700）×13%=4407（元）。
所以国家财政最多补贴农民4407元。
二、建立以二元一次方程组建模方案设计
以招聘工人为背景的方案设计问题，通过建立二元一次方程组模型解决简单的实际问题，利用不定方程及隐含条件求出整数解，确定设计方案。解这类问题的关键是将实际问题转化为数学问题后，必须找到满足条件的等量关系建立方程（组），隐含条件有时会成为问题的盲区，特别要注意挖掘。
例：某制造厂开发了一款电动车，计划一年生产安装240辆。由于抽调不出足够的熟练工来完成电动车的安装，工厂决定招聘一些新工人，他们经过培训后上岗，也能独立进行电动车的安装。生产开始后，调研部门发现，一名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动车。
（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动车？
（2）如果工厂招聘n（0 （3）在（2）的条件下，工厂给安装电动车的每名熟练工每月发2000元的工资，给新工人每月发1200元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额w（元）尽可能的少？
解：（1）设每名熟练工每月可安装x辆，每名新工人每月可安装y辆，则：
x+2y=8 ； x=4
解得
2x+3y=14. y=2
答：每名熟练工每月可安装4辆，每名新工人每月可安装2辆。
（2）设抽调的熟练工为m名，m为正整数。由（1）可知2n×12+4m×12=240，即n+2m=10，所以m=？，因为m为正整数，所以m=2，4，6或8，所以有4种招聘方案：
①当n=2时，m=4，招聘2名新工人，抽调4名熟练工；
②当n=4时，m=3，招聘4名新工人，抽调3名熟练工；
③当n=6时，m=2，招聘6名新工人，抽调2名熟练工；
④当n=8时，m=1，招聘8名新工人，抽调1名熟练工。
（3）由题意得：
按方案②，工厂每月支出的工资总额为4×1200+3×2000=10800元；
按方案③，工厂每月支出的工资总额为6×1200+2×2000=11200元；
按方案④，工厂每月支出的工资总额为8×1200+1×2000=11600元。
所以招聘4名新工人和抽调3名熟练工，每月支出的工资总额最少，为10800元。
三、建立函数建模的方案设计
函数思想是一种重要的数学思想，是确定最优化方案的重要依据。解题时需要建立实际问题中变量之间的函数关系，然后利用函数的图像性质等知识求解。
例：某镇组织20辆汽车装运完a、b、c三种苹果共100吨到外地销售。按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种苹果，且必须装满。根据下表提供的信息解答以下问题：
苹果品种 a b c
每辆汽车运载量（吨） 6 5 4
每吨苹果获利（百元） 12 16 10
（1）设装运a种苹果的车辆数为x，装运b种苹果的车辆数为y，求y与x之间的函数关系式；
（2）如果装运每种苹果的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种每种安排方案；
（3）若要使此次销售获利最大，应采取哪种安排方案？并求出最大利润。
解：（1）根据题意得，装运c种苹果的车辆数为（20-x-y），则6x + 5y + 4（20-x-y）=100，所以 y=-2x+20；
（2）由（1）知装运a、b、c三种苹果的车辆数分别为x，-2x+20，x，由题意得：
x≥4
-2x+20≥4
解得，4≤x≤8，因为x为整数，所以x=4、5、6、7或8，所以有5种方案：
①装运a苹果4车，b苹果12车，c苹果4车；
②装运a苹果5车，b苹果10车，c苹果5车；
③装运a苹果6车，b苹果8车，c苹果6车；
④装运a苹果7车，b苹果6车，c苹果7车；
⑤装运a苹果8车，b苹果4车，c苹果8车。
（3）设利润为w（百元），则w=6x×12 + 5（-2x+20）×16+4x×10=-48x+1600。
因为-48<0，所以w的值随x的增大而减小，
故取x=4，w最大，w最大值=-48×4+1600=1408（百元）。
即当装运a种苹果4车，b种苹果12车，c种苹果4车时，获利最大，最大利润为14.08万元。
以上几点不难看出，方案设计问题对于考查学生的能力要求比较高，重视对方案设计问题的教学，有利于培养学生的阅读、分析和解决问题的能力，有利于培养学生的数学应用意识、决策意识和创新意识，有利于培养创新型人才。
【关键词】初中数学；方案设计与决策；思考
数学知识与我们的日常生活、社会生产、市场经济的联系越来越紧密。随着九年义务教育数学新课程标准的实施，着重培养学生分析问题、解决问题的能力。近几年，中考也越来越重视对方案的设计与决策的考查。方案设计问题常常以现实生活问题为背景，蕴涵着许多重要的数学思想，如分类讨论思想、数形结合思想、转化思想、数学建模思想等，蕴涵着解决问题的方法、技巧和策略，学生要认真阅读分析才能将其转化成数学问题。初中数学常见的方案设计问题，我在教学中思考有以下几点。
一、以建立不等式（组）建模的方案设计
以家电下乡为背景，以建立不等式（组）模型为载体的方案设计问题，通过确定未知量取值范围，进而提出进货方案，再根据进货方案得到国家财政的钱数确定其中补贴最多的钱数。解决这类问题的关键是根据题意找出未知量的不等关系，确定未知量的取值范围，再通过对条件（特别是隐含条件）的分析，确定设计方案。
例：某家电商场计划用32400元购进“家电下乡”指定产品中的电视机、冰箱、洗衣机共15台，三种家电的进价和售价如下表所示：
种类 价格 进价（元/台） 售价（元/台）
电视机 2000 2100
冰箱 2400 2500
洗衣机 1600 1700
（1）在不超过现有资金的前提下，若购进电视机的数量和冰箱的数量相同，洗衣机数量不大于电视机数量的一半，商场有哪几种进货方案？
（2）国家规定：农民购买家电后，可根据商场售价的13%领取补贴。在（1）的条件下，如果这15台家电全部销售给农民，国家财政最多需补贴农民多少元？
解：（1）设购进电视机和冰箱各x台，则购进洗衣机（15-2x）台，根据题意得：
X≥15-2X
2000X+2400X+1600（15-2X）≤32400
解得6≤x≤7，因为x为正整数，所以x=6或7。
方案1：购进电视机和冰箱各6台，洗衣机3台；
方案2：购进电视机和冰箱各7台，洗衣机1台。
（2）方案1需补贴（6×2100+6×2500+3×1700）×13%=4251（元）；
方案2需补贴（7×2100+7×2500+1×1700）×13%=4407（元）。
所以国家财政最多补贴农民4407元。
二、建立以二元一次方程组建模方案设计
以招聘工人为背景的方案设计问题，通过建立二元一次方程组模型解决简单的实际问题，利用不定方程及隐含条件求出整数解，确定设计方案。解这类问题的关键是将实际问题转化为数学问题后，必须找到满足条件的等量关系建立方程（组），隐含条件有时会成为问题的盲区，特别要注意挖掘。
例：某制造厂开发了一款电动车，计划一年生产安装240辆。由于抽调不出足够的熟练工来完成电动车的安装，工厂决定招聘一些新工人，他们经过培训后上岗，也能独立进行电动车的安装。生产开始后，调研部门发现，一名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动车。
（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动车？
（2）如果工厂招聘n（0
解：（1）设每名熟练工每月可安装x辆，每名新工人每月可安装y辆，则：
x+2y=8 ； x=4
解得
2x+3y=14. y=2
答：每名熟练工每月可安装4辆，每名新工人每月可安装2辆。
（2）设抽调的熟练工为m名，m为正整数。由（1）可知2n×12+4m×12=240，即n+2m=10，所以m=？，因为m为正整数，所以m=2，4，6或8，所以有4种招聘方案：
①当n=2时，m=4，招聘2名新工人，抽调4名熟练工；
②当n=4时，m=3，招聘4名新工人，抽调3名熟练工；
③当n=6时，m=2，招聘6名新工人，抽调2名熟练工；
④当n=8时，m=1，招聘8名新工人，抽调1名熟练工。
（3）由题意得：
按方案②，工厂每月支出的工资总额为4×1200+3×2000=10800元；
按方案③，工厂每月支出的工资总额为6×1200+2×2000=11200元；
按方案④，工厂每月支出的工资总额为8×1200+1×2000=11600元。
所以招聘4名新工人和抽调3名熟练工，每月支出的工资总额最少，为10800元。
三、建立函数建模的方案设计
函数思想是一种重要的数学思想，是确定最优化方案的重要依据。解题时需要建立实际问题中变量之间的函数关系，然后利用函数的图像性质等知识求解。
例：某镇组织20辆汽车装运完a、b、c三种苹果共100吨到外地销售。按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种苹果，且必须装满。根据下表提供的信息解答以下问题：
苹果品种 a b c
每辆汽车运载量（吨） 6 5 4
每吨苹果获利（百元） 12 16 10
（1）设装运a种苹果的车辆数为x，装运b种苹果的车辆数为y，求y与x之间的函数关系式；
（2）如果装运每种苹果的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种每种安排方案；
（3）若要使此次销售获利最大，应采取哪种安排方案？并求出最大利润。
解：（1）根据题意得，装运c种苹果的车辆数为（20-x-y），则6x + 5y + 4（20-x-y）=100，所以 y=-2x+20；
（2）由（1）知装运a、b、c三种苹果的车辆数分别为x，-2x+20，x，由题意得：
x≥4
-2x+20≥4
解得，4≤x≤8，因为x为整数，所以x=4、5、6、7或8，所以有5种方案：
①装运a苹果4车，b苹果12车，c苹果4车；
②装运a苹果5车，b苹果10车，c苹果5车；
③装运a苹果6车，b苹果8车，c苹果6车；
④装运a苹果7车，b苹果6车，c苹果7车；
⑤装运a苹果8车，b苹果4车，c苹果8车。
（3）设利润为w（百元），则w=6x×12 + 5（-2x+20）×16+4x×10=-48x+1600。
因为-48<0，所以w的值随x的增大而减小，
故取x=4，w最大，w最大值=-48×4+1600=1408（百元）。
即当装运a种苹果4车，b种苹果12车，c种苹果4车时，获利最大，最大利润为14.08万元。
以上几点不难看出，方案设计问题对于考查学生的能力要求比较高，重视对方案设计问题的教学，有利于培养学生的阅读、分析和解决问题的能力，有利于培养学生的数学应用意识、决策意识和创新意识，有利于培养创新型人才。