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摘要:在高三复习中引导学生探究归纳,整理三次函数与它的导函数的有关结论,对学生解题技巧的形成,解题能力的提高及创新意识的培养都有着积极地促进作用。
关键词:三次函数 数学复习 高考
DOI:10.3969/j.issn.1672-8289.2010.10.021
三次函数是近年来高考题的-个热点问题,也是高三复习中频繁出现的-类题。现行高中数学教材中没有涉及到有关三次函数的-般性结论,学生在解答这类数学题时,显得无从下手,为了减少学生解决这类问题的盲目性,笔者在教学过程中,根据新课程教学要求,引导学生自主探究、归纳概括出三次函数的-般性结论,利用这些结论,有些题的解答就显得方便、简捷的多了。通过长期引导,学生既掌握了必要的数学基础知识,又养成了积极探索,知难而进的好习惯,给数学复习课的课堂增添了活力。
关于三次函数的几个结论:
1、三次函数的-般形式
三次函数的-般形式是:
f(x)=ax3+bx2+cx+d(a 0),其导函数为f'(x)=3ax2+2bx+c,导函数是-个二次函数,其判别式为:
△=4b2-12ac=4(b2-3ac)
2、a>0时
(1)当△≤0,即b2≤3ac时,三次函数的图象如图(1)所示,在R上函数是增函数,图象和x轴有且只有-个交点,即方程f (x)=0有且只有-个实数根。
(2)当△>0,即b2>3ac时.三次函数的图象如图(2)(3)(4)所示,这时三次函数的导函数的方程f'(x)=0有两个不相等的实数根(xl,x2(xl (3)当极小值f(x)min=f(x2)>0时(如图(3)),或极大值f(x)max=f(x1)<0时(如图(4)),三次函数的图象和x轴有且只有-个交点,这时方程f(x)=0有且只有-个实数根。
3、a<0时
(1)当△≤0时,即b2≤3ac时三次函数的
图象如图(5)所示,在R上函数是减函数,图象和x轴有且只有-个交点,即方程f(x)=0有且只有-个实数根。
(2)当△>0,即b2>3ac时,三次函数的图象如图(6)、(7)、(8)所示,这时三次函数的导函数的方程f'(x)=0有两个不相等的实数根,xl,x2(xl (3)当极小值f(x)min=f(x1)>0时(如图(7))或极大值f(x)max=f(x2)<0时(如图(8)),三次函数的图象和x轴有且只有-个交点,这时方程f(x)=0有且只有-个实数根。
利用上述结论,在解答三次函数的题目时,可以省略好些烦琐的计算和判断,只要抓住几个关键环节就行,即:
1、判断最高次项的系数的符号和判别式△的符号。
2、求方程f '(x)=0的根。
3、判断极值f(x1),f(x2)的正负。
这几个关键环节掌握了,学生解答这类题目就容易找准解题的突破点,减少盲目性。
三次函数的应用举例:
例1己知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a.
(1)求f(x)的单调递减区间;
(2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求在该区间上的最小值。
(3)若f(x)的图象和x轴有且只有-个交点,求a的取值范围。
解:先求导函数f'(x)=-3x2+6x+9
再求f'(x)=-3x2+6x+9=0的根,得xl-1,x2=3
由于三次项系数-l小于0,所以图象形状如图(9)所示,所以直接得结论:
(1)单调递减区间为(- ∞ ,-1][3,+∞ )
(2)在区间[-2,2]上的最大值为f(-2)或
f(2),最小值为f(-1)
f(-2)=2+a
f(2)=22+a
最大值为f(2)=22+a=20
a= -2
最小值f(-1)=l+3—9+a= -7
f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7
(3)若f(x)的图象和X轴有且只有-个交点,只需满足f(-1)>0或f(3)<0,即1+3-9+a>0或-27+27+a<0得a>5或a<-27
a的取值范围是a>5或a<-27。
例2:己知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在(- ∞ ,-1),(2,+∞)上单调递增,在(-1,2)上单调递减。
(1)求a、b的值
(2)若函数f(x)的图象与g(x)=bx2-2ax+abc的图象有三个交点,求C的取值范围。
解:(1)f'(x)=3x2+2ax+b
由题知x= -1,x=2是方程f '(x)=0的根,可得方程组:
(2)由(1)知f(x)=x3- x2-6x+c
由题意得方程x3- x2-6x+c= -6x2+3x+9c有三个实数根,即方程x3- x2-6x+8c=0有三个不相等的实数根,令
h(x)=x3+ x2 -6x+8c
h'(x)=3x2+9x-6=0,解方程得:
xl =-4,x2=l
即h(-4)是h(x)的极大值,h(1)是h(x)的极小值,结合前图(2)知,要使方程h(x)=0有三个不相等的实数根,只需满足
解不等式组得:
c的取值范围是
三次函数是利用导数求函数单调区间,极值及判断函数与X轴交点个数中最常见,最普通的函数类型,也是高考中考察学生利用导数解决实际问题能力的必考题目,因此,在高三复习中引导学生探究归纳,整理三次函数与它的导函数的有关结论,对学生解题技巧的形成,解题能力的提高及创新意识的培养都有着积极地促进作用。
作者简介: 唐晓燕,女,高级讲师职称,从事数学教学的研究,现在甘肃省庆阳七中任教(原庆阳师范)。
关键词:三次函数 数学复习 高考
DOI:10.3969/j.issn.1672-8289.2010.10.021
三次函数是近年来高考题的-个热点问题,也是高三复习中频繁出现的-类题。现行高中数学教材中没有涉及到有关三次函数的-般性结论,学生在解答这类数学题时,显得无从下手,为了减少学生解决这类问题的盲目性,笔者在教学过程中,根据新课程教学要求,引导学生自主探究、归纳概括出三次函数的-般性结论,利用这些结论,有些题的解答就显得方便、简捷的多了。通过长期引导,学生既掌握了必要的数学基础知识,又养成了积极探索,知难而进的好习惯,给数学复习课的课堂增添了活力。
关于三次函数的几个结论:
1、三次函数的-般形式
三次函数的-般形式是:
f(x)=ax3+bx2+cx+d(a 0),其导函数为f'(x)=3ax2+2bx+c,导函数是-个二次函数,其判别式为:
△=4b2-12ac=4(b2-3ac)
2、a>0时
(1)当△≤0,即b2≤3ac时,三次函数的图象如图(1)所示,在R上函数是增函数,图象和x轴有且只有-个交点,即方程f (x)=0有且只有-个实数根。
(2)当△>0,即b2>3ac时.三次函数的图象如图(2)(3)(4)所示,这时三次函数的导函数的方程f'(x)=0有两个不相等的实数根(xl,x2(xl
3、a<0时
(1)当△≤0时,即b2≤3ac时三次函数的
图象如图(5)所示,在R上函数是减函数,图象和x轴有且只有-个交点,即方程f(x)=0有且只有-个实数根。
(2)当△>0,即b2>3ac时,三次函数的图象如图(6)、(7)、(8)所示,这时三次函数的导函数的方程f'(x)=0有两个不相等的实数根,xl,x2(xl
利用上述结论,在解答三次函数的题目时,可以省略好些烦琐的计算和判断,只要抓住几个关键环节就行,即:
1、判断最高次项的系数的符号和判别式△的符号。
2、求方程f '(x)=0的根。
3、判断极值f(x1),f(x2)的正负。
这几个关键环节掌握了,学生解答这类题目就容易找准解题的突破点,减少盲目性。
三次函数的应用举例:
例1己知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a.
(1)求f(x)的单调递减区间;
(2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求在该区间上的最小值。
(3)若f(x)的图象和x轴有且只有-个交点,求a的取值范围。
解:先求导函数f'(x)=-3x2+6x+9
再求f'(x)=-3x2+6x+9=0的根,得xl-1,x2=3
由于三次项系数-l小于0,所以图象形状如图(9)所示,所以直接得结论:
(1)单调递减区间为(- ∞ ,-1][3,+∞ )
(2)在区间[-2,2]上的最大值为f(-2)或
f(2),最小值为f(-1)
f(-2)=2+a
f(2)=22+a
最大值为f(2)=22+a=20
a= -2
最小值f(-1)=l+3—9+a= -7
f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7
(3)若f(x)的图象和X轴有且只有-个交点,只需满足f(-1)>0或f(3)<0,即1+3-9+a>0或-27+27+a<0得a>5或a<-27
a的取值范围是a>5或a<-27。
例2:己知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在(- ∞ ,-1),(2,+∞)上单调递增,在(-1,2)上单调递减。
(1)求a、b的值
(2)若函数f(x)的图象与g(x)=bx2-2ax+abc的图象有三个交点,求C的取值范围。
解:(1)f'(x)=3x2+2ax+b
由题知x= -1,x=2是方程f '(x)=0的根,可得方程组:
(2)由(1)知f(x)=x3- x2-6x+c
由题意得方程x3- x2-6x+c= -6x2+3x+9c有三个实数根,即方程x3- x2-6x+8c=0有三个不相等的实数根,令
h(x)=x3+ x2 -6x+8c
h'(x)=3x2+9x-6=0,解方程得:
xl =-4,x2=l
即h(-4)是h(x)的极大值,h(1)是h(x)的极小值,结合前图(2)知,要使方程h(x)=0有三个不相等的实数根,只需满足
解不等式组得:
c的取值范围是
三次函数是利用导数求函数单调区间,极值及判断函数与X轴交点个数中最常见,最普通的函数类型,也是高考中考察学生利用导数解决实际问题能力的必考题目,因此,在高三复习中引导学生探究归纳,整理三次函数与它的导函数的有关结论,对学生解题技巧的形成,解题能力的提高及创新意识的培养都有着积极地促进作用。
作者简介: 唐晓燕,女,高级讲师职称,从事数学教学的研究,现在甘肃省庆阳七中任教(原庆阳师范)。