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垂直与平行位置关系的证明是江苏高考立几解答题的两大主题，证明线面、面面垂直一般都最终转化为线线垂直.而在一些特殊的平面图形中，除了已知的垂直关系外，往往还隐藏了一些垂直关系，如果我们能挖掘出这些隐藏的垂直关系，可迅速理清证明思路．本文选择近几年高考试题来加以阐述．
一、正方形中隐藏的垂直
结论①：正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，则DE⊥AF．
简证：易证△ABF≌△ADE，
得∠BAF=∠ADE，
则∠DAF+∠ADE=90°，即AF⊥DE．
例1：如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，E为BC的中点，在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由.
故在AN上存在点S，满足AS=12AN=22时，有ES⊥平面AMN.
评注：在确定若有ES⊥平面AMN，则S必为AN中点后，由于E为正方形一边BC的中点，自然考虑作AB中点T，以达到将AE⊥DT这一隐藏的垂直条件用起来的目的．
二、边长比为1∶2的矩形中隐藏的垂直
结论②：矩形ABCD中，BC=2AB，E为BC的中点，则AC⊥DE．
简证：ABBC=CEDC=22，得△ABC∽△ECD，∴∠ACB=∠EDC，
所以∠EDC+∠ACD=90°，即AC⊥DE．
例2如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=22，E,F分别是AD,PC的中点.求证：PC⊥平面BEF
解析：连接AC
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥BE，∵PA=AB=2，∴PB=22，
∵BC=22，F为PC中点，∴BF⊥PC
由结论②知AC⊥BE，∴BE⊥平面PAC，∴PC⊥BE，
又BE∩BF=B，∴PC⊥平面BEF
评注：由于PC⊥BE易证，再抓住隐藏的AC⊥BE，简单转化后即得线面垂直．
三、边长比为1∶2的矩形中隐藏的垂直
结论③：矩形ABCD中BC=2AB，E为AD的中点，则BE⊥CE．
简证：BC=2AB，E为AD中点，则AB=AE，DE=DC，
∴∠AEB=∠DEC=45°，即BE⊥EC．
例3如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点.证明：平面ABM⊥平面A1B1M
解析：由ABCD－A1B1C1D1为长方体知A1B1⊥平面B1BCC1，
又BM平面B1BCC1，则BM⊥A1B1.由结论③知BM⊥B1M，
∴BM⊥平面A1B1M，∵BM平面ABM，∴平面ABM⊥平面A1B1M．
评注：要证平面ABM⊥平面A1B1M，由于隐藏BM⊥B1M，自然想到BM⊥平面A1B1M．当然，证明B1M⊥平面ABM也可．
四、上下底与直角腰比为1∶2∶1的直角梯形中隐藏的垂直
结论④：直角梯形ABCD中，AD∥BC且∠ABC=90°， 12BC=AD=AB，则BD⊥DC．
评注：上下底比为1:2的梯形是立几证明中常见的图形，若是直角梯形，常利用隐藏的垂直，若不是直角梯形，常取较长底的中点，构造平行四边形．
由上面的几个例题可以看出：掌握这些隐藏的垂直关系，可以让我们迅速理清证明思路，不需要再为探寻垂直关系而挖空心思，可起到事半功倍的效果．当然这些结论虽有助于我们快速解决问题，但不能作为定理运用，在具体的证明过程中应将这些结论证明过程写出来方可．
巩固练习：
1、（11年辽宁）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=12PD．证明：平面PQC⊥平面DCQ．（提示：底面ADPQ是上下底与直角腰比为1:2:1的直角梯形，则有PQ⊥DQ）
一、正方形中隐藏的垂直
结论①：正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，则DE⊥AF．
简证：易证△ABF≌△ADE，
得∠BAF=∠ADE，
则∠DAF+∠ADE=90°，即AF⊥DE．
例1：如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，E为BC的中点，在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由.
故在AN上存在点S，满足AS=12AN=22时，有ES⊥平面AMN.
评注：在确定若有ES⊥平面AMN，则S必为AN中点后，由于E为正方形一边BC的中点，自然考虑作AB中点T，以达到将AE⊥DT这一隐藏的垂直条件用起来的目的．
二、边长比为1∶2的矩形中隐藏的垂直
结论②：矩形ABCD中，BC=2AB，E为BC的中点，则AC⊥DE．
简证：ABBC=CEDC=22，得△ABC∽△ECD，∴∠ACB=∠EDC，
所以∠EDC+∠ACD=90°，即AC⊥DE．
例2如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=22，E,F分别是AD,PC的中点.求证：PC⊥平面BEF
解析：连接AC
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥BE，∵PA=AB=2，∴PB=22，
∵BC=22，F为PC中点，∴BF⊥PC
由结论②知AC⊥BE，∴BE⊥平面PAC，∴PC⊥BE，
又BE∩BF=B，∴PC⊥平面BEF
评注：由于PC⊥BE易证，再抓住隐藏的AC⊥BE，简单转化后即得线面垂直．
三、边长比为1∶2的矩形中隐藏的垂直
结论③：矩形ABCD中BC=2AB，E为AD的中点，则BE⊥CE．
简证：BC=2AB，E为AD中点，则AB=AE，DE=DC，
∴∠AEB=∠DEC=45°，即BE⊥EC．
例3如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点.证明：平面ABM⊥平面A1B1M
解析：由ABCD－A1B1C1D1为长方体知A1B1⊥平面B1BCC1，
又BM平面B1BCC1，则BM⊥A1B1.由结论③知BM⊥B1M，
∴BM⊥平面A1B1M，∵BM平面ABM，∴平面ABM⊥平面A1B1M．
评注：要证平面ABM⊥平面A1B1M，由于隐藏BM⊥B1M，自然想到BM⊥平面A1B1M．当然，证明B1M⊥平面ABM也可．
四、上下底与直角腰比为1∶2∶1的直角梯形中隐藏的垂直
结论④：直角梯形ABCD中，AD∥BC且∠ABC=90°， 12BC=AD=AB，则BD⊥DC．
评注：上下底比为1:2的梯形是立几证明中常见的图形，若是直角梯形，常利用隐藏的垂直，若不是直角梯形，常取较长底的中点，构造平行四边形．
由上面的几个例题可以看出：掌握这些隐藏的垂直关系，可以让我们迅速理清证明思路，不需要再为探寻垂直关系而挖空心思，可起到事半功倍的效果．当然这些结论虽有助于我们快速解决问题，但不能作为定理运用，在具体的证明过程中应将这些结论证明过程写出来方可．
巩固练习：
1、（11年辽宁）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=12PD．证明：平面PQC⊥平面DCQ．（提示：底面ADPQ是上下底与直角腰比为1:2:1的直角梯形，则有PQ⊥DQ）