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[摘要]在通过折叠拼成平角验证三角形的内角和的验证方法的教学实验中得到：折叠锐角三角形纸片比折叠其他形状的三角形纸片容易;展示折叠结果或折叠过程及结果对学生有帮助，比起展示锐角三角形，展示直角或钝角三角形的折叠结果或折叠过程及结果对学生的帮助更大;而折叠带有折叠线的三角形纸片，除个别学生外都能折叠成功，失去了探究的意义。针对以上现象，对验证方法的完善给出了相应的建议。
[关键词]三角形;内角和;猜想;验证
[中图分类号]G623.5
[文献标识码]A
[文章编号]1007-9068（2020）32-0012-05
一、问题的提出
研究（二）对教材中设计的“三角形内角和等于180°”的探究活动做了分析。文中指出，通过折叠将三个角拼成平角的验证方法，如在三角形纸上不画出折叠的虚线，则具有较强的技巧性和较高的难度，易让学生对数学产生畏惧心理;若画出折叠的虚线，则又变成了机械式的操作活动，失去了探究的意义。其实，这些结论不仅来源于分析，更重要的是来自笔者的教学实验。本文就对教学实验及结果做逐一分析。
二、实验方法
1.样本的选择与分布
以青岛西海岸新区某学校两位教师所教四年级4个班（1班、2班、3班、4班）的学生作为研究对象。在升入四年级前的暑假，该校根据学生三年级的成绩重新分班，故各班情况没有明显的差异;另外，对四年级上学期期末四个班的数学成绩进行数学统计检验后发现，各班之间也没有显著性差异。因此，所选样本具有较强的代表性。再者，为便于比较研究和提高课堂效率，各班均按学生学号最后两位数除以3，余数相同的归为一个小组，各组分别抽取不同形状的三角形纸片，根据三角形纸片的形状，将三组简记为：锐角组、直角组、钝角组（各班各组人数分布见表1）。
2.实验的实施
教学按正常的教学计划，于2019年4月23日在四个班进行。为避免学生课堂上看教材或个别学生提前预习教材影响实验结果，在2019年4月19日放学时就把学生的教材收了上来，发给学生学案，以代替教材。当课堂上提出“三角形的内角和等于180°”的猜想后，紧随其后的是以下折叠操作验证（下面简称“测试”）。
测试1：给各组学生每人发一张对应形状的三角形纸片，即锐角、直角、钝角组分别发图1、图2、图3所示的三角形纸片，让学生进行折叠。
测试2：给各组学生按测试1的要求每人发一张对应形状的三角形纸片，让学生进行折叠，并据研究需要进行展示：
（1）在多媒体屏幕上展示锐角三角形的拼成结果图（图4）;
（2）在多媒体屏幕上展示直角三角形的拼成结果图（图5）。
测试3：按测试1的要求，给各组学生每人发一张对应形状的三角形纸片，让学生进行折叠，并据研究需要进行展示：
（1）在多媒体屏幕上展示锐角三角形的折叠过程及拼成結果图（图6）;
（2）在多媒体屏幕上展示钝角三角形的折叠过程及拼成结果图（图7）。
测试4：给测试班各组学生每人发一张带一条折叠线的对应形状的三角形纸片（图8），让学生进行折叠。
测试5：给测试班各组学生每人发一张带三条折叠线的对应形状的三角形纸片（图9），让学生进行折叠。
说明：（1）测试要求学生把三角形纸片通过折叠（不准撕，也不准剪）将三角形三个内角拼在一起，看能不能拼成平角;
（2）为了提高课堂效率，尽可能通过测试比较发现影响折叠成功与否的因素，也为避免不同班间的差异，将题目搭配成四组（每组3题），再让四个班与四组题进行对应（测试题分布见表2）。
（3）每个学生都折叠3次，每次折叠时间6分钟，教师及时收集学生的折叠结果，然后发放下一次折叠的材料，整个过程大约20分钟。
三、实验结果
为叙述方便，学生折叠后能拼成平角称为成功（简称“成”）;拼不成则称为“失败”（简称“败”）。
1.测试1的实验结果
测试1给出的三角形纸片不画线，也不展示结果，一方面是看学生在没有提示的情况下到底能不能折叠成功，以及有多大比率的学生能折叠成功;另一方面也是为了考察四个班及不同组间的差异情况（学生折叠成败情况见表3）。
由表3可以看出，四个班学生折叠锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的总成功率分别为35.53%、18.42%、20.83%;不区分三角形形状，总的成功率为25%，只有四分之一的学生能折叠成功。这说明如果不展示拼成结果，也不画出折叠的线，只提供三角形的纸片让学生折叠，能折成平角还是难度比较大的;也说明折叠锐角三角形纸片比折叠其他形状的纸片容易。那是否存在显著性差异呢？我们进行了统计检验。
首先，四个班折叠同形状三角形小组之间进行比较检验，锐角组之间、直角组之间、钝角组之间的x2值分别为0.6255、0.9076、0.2853;四个班不区分性状总体之间比较，x2=0.1912。这些值均小于临界值X0.05[df=3]=7.815，故不管是同种形状之间还是总体之间，四个班不存在显著性差异。
其次，四个班折叠不同形状三角形的小组之间进行比较。四个班总体上锐角组与直角组、锐角组与钝角组之间的X2值分别为6.1263、4.1804，均大于临界值X0.05[df=1]=3.841，说明折叠锐角三角形纸片的成功率显著高于折叠其他三角形纸片。而比较折叠直角三角形与钝角三角形，X2=0.1366，小于临界值，说明折叠直角三角形与钝角三角形纸片的难度没有显著性差异。
由上可见，在不展示折叠结果及过程，也不画出折叠线的情况下，学生折叠锐角三角形纸片的成功率显著高于折叠其他形状的三角形纸片;学生折叠同形状的三角形纸片之间及总体成功率之间均不存在显著性差异（这也为我们分班进行测试和分析提供了依据），但能折叠成功的学生仅占四分之一，多数学生不能折叠成功。 2.测试2的实验结果
测试2的结果见表4。
由表4可以看出，1、3两个班折叠锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的总成功率分别为50%、39.47%、41.67%;若不区分形状，总的成功率为43.75%，还不到人数的一半。还可看出，1班的成功率高于3班;两个班及总的成功率也都高于测试1。那是否有显著性差异呢？我们进行下面的比较检验。
（1）两个班折叠同种形状三角形纸片间的比较分析
两个班的锐角组之间、直角组之间、钝角组之间分别进行比较检验，X2值分别为0.1056、1.0231、1.0625，均小于临界值X0.05[df=1]=3.841，说明两个班折叠同种形状的对应小组之间无显著性差异。两个班不区分形状的总体成功率经比较检验，X2=0.9149，也不存在显著性差异。因此，虽然1班折叠直角、钝角三角形纸片的成功率比3班高不少，看起来展示直角三角形纸片的折叠结果（1班）比展示锐角三角形纸片的折叠结果（3班）的帮助大，但整体上并没导致显著性差异。
（2）两个班测试1与测试2的比较分析
总体上，学生折叠锐角三角形、钝角三角形纸片与测试1比较，X2值分别为1.3206、2.7153，均小于临界值X0.05[df=1]=3.841，说明展示结果后，折叠这两种形状纸片的成功率没有明显提高;折叠直角三角形纸片的成功率与测试1比较，X2=5.0313
[关键词]三角形;内角和;猜想;验证
[中图分类号]G623.5
[文献标识码]A
[文章编号]1007-9068（2020）32-0012-05
一、问题的提出
研究（二）对教材中设计的“三角形内角和等于180°”的探究活动做了分析。文中指出，通过折叠将三个角拼成平角的验证方法，如在三角形纸上不画出折叠的虚线，则具有较强的技巧性和较高的难度，易让学生对数学产生畏惧心理;若画出折叠的虚线，则又变成了机械式的操作活动，失去了探究的意义。其实，这些结论不仅来源于分析，更重要的是来自笔者的教学实验。本文就对教学实验及结果做逐一分析。
二、实验方法
1.样本的选择与分布
以青岛西海岸新区某学校两位教师所教四年级4个班（1班、2班、3班、4班）的学生作为研究对象。在升入四年级前的暑假，该校根据学生三年级的成绩重新分班，故各班情况没有明显的差异;另外，对四年级上学期期末四个班的数学成绩进行数学统计检验后发现，各班之间也没有显著性差异。因此，所选样本具有较强的代表性。再者，为便于比较研究和提高课堂效率，各班均按学生学号最后两位数除以3，余数相同的归为一个小组，各组分别抽取不同形状的三角形纸片，根据三角形纸片的形状，将三组简记为：锐角组、直角组、钝角组（各班各组人数分布见表1）。
2.实验的实施
教学按正常的教学计划，于2019年4月23日在四个班进行。为避免学生课堂上看教材或个别学生提前预习教材影响实验结果，在2019年4月19日放学时就把学生的教材收了上来，发给学生学案，以代替教材。当课堂上提出“三角形的内角和等于180°”的猜想后，紧随其后的是以下折叠操作验证（下面简称“测试”）。
测试1：给各组学生每人发一张对应形状的三角形纸片，即锐角、直角、钝角组分别发图1、图2、图3所示的三角形纸片，让学生进行折叠。
测试2：给各组学生按测试1的要求每人发一张对应形状的三角形纸片，让学生进行折叠，并据研究需要进行展示：
（1）在多媒体屏幕上展示锐角三角形的拼成结果图（图4）;
（2）在多媒体屏幕上展示直角三角形的拼成结果图（图5）。
测试3：按测试1的要求，给各组学生每人发一张对应形状的三角形纸片，让学生进行折叠，并据研究需要进行展示：
（1）在多媒体屏幕上展示锐角三角形的折叠过程及拼成結果图（图6）;
（2）在多媒体屏幕上展示钝角三角形的折叠过程及拼成结果图（图7）。
测试4：给测试班各组学生每人发一张带一条折叠线的对应形状的三角形纸片（图8），让学生进行折叠。
测试5：给测试班各组学生每人发一张带三条折叠线的对应形状的三角形纸片（图9），让学生进行折叠。
说明：（1）测试要求学生把三角形纸片通过折叠（不准撕，也不准剪）将三角形三个内角拼在一起，看能不能拼成平角;
（2）为了提高课堂效率，尽可能通过测试比较发现影响折叠成功与否的因素，也为避免不同班间的差异，将题目搭配成四组（每组3题），再让四个班与四组题进行对应（测试题分布见表2）。
（3）每个学生都折叠3次，每次折叠时间6分钟，教师及时收集学生的折叠结果，然后发放下一次折叠的材料，整个过程大约20分钟。
三、实验结果
为叙述方便，学生折叠后能拼成平角称为成功（简称“成”）;拼不成则称为“失败”（简称“败”）。
1.测试1的实验结果
测试1给出的三角形纸片不画线，也不展示结果，一方面是看学生在没有提示的情况下到底能不能折叠成功，以及有多大比率的学生能折叠成功;另一方面也是为了考察四个班及不同组间的差异情况（学生折叠成败情况见表3）。
由表3可以看出，四个班学生折叠锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的总成功率分别为35.53%、18.42%、20.83%;不区分三角形形状，总的成功率为25%，只有四分之一的学生能折叠成功。这说明如果不展示拼成结果，也不画出折叠的线，只提供三角形的纸片让学生折叠，能折成平角还是难度比较大的;也说明折叠锐角三角形纸片比折叠其他形状的纸片容易。那是否存在显著性差异呢？我们进行了统计检验。
首先，四个班折叠同形状三角形小组之间进行比较检验，锐角组之间、直角组之间、钝角组之间的x2值分别为0.6255、0.9076、0.2853;四个班不区分性状总体之间比较，x2=0.1912。这些值均小于临界值X0.05[df=3]=7.815，故不管是同种形状之间还是总体之间，四个班不存在显著性差异。
其次，四个班折叠不同形状三角形的小组之间进行比较。四个班总体上锐角组与直角组、锐角组与钝角组之间的X2值分别为6.1263、4.1804，均大于临界值X0.05[df=1]=3.841，说明折叠锐角三角形纸片的成功率显著高于折叠其他三角形纸片。而比较折叠直角三角形与钝角三角形，X2=0.1366，小于临界值，说明折叠直角三角形与钝角三角形纸片的难度没有显著性差异。
由上可见，在不展示折叠结果及过程，也不画出折叠线的情况下，学生折叠锐角三角形纸片的成功率显著高于折叠其他形状的三角形纸片;学生折叠同形状的三角形纸片之间及总体成功率之间均不存在显著性差异（这也为我们分班进行测试和分析提供了依据），但能折叠成功的学生仅占四分之一，多数学生不能折叠成功。 2.测试2的实验结果
测试2的结果见表4。
由表4可以看出，1、3两个班折叠锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的总成功率分别为50%、39.47%、41.67%;若不区分形状，总的成功率为43.75%，还不到人数的一半。还可看出，1班的成功率高于3班;两个班及总的成功率也都高于测试1。那是否有显著性差异呢？我们进行下面的比较检验。
（1）两个班折叠同种形状三角形纸片间的比较分析
两个班的锐角组之间、直角组之间、钝角组之间分别进行比较检验，X2值分别为0.1056、1.0231、1.0625，均小于临界值X0.05[df=1]=3.841，说明两个班折叠同种形状的对应小组之间无显著性差异。两个班不区分形状的总体成功率经比较检验，X2=0.9149，也不存在显著性差异。因此，虽然1班折叠直角、钝角三角形纸片的成功率比3班高不少，看起来展示直角三角形纸片的折叠结果（1班）比展示锐角三角形纸片的折叠结果（3班）的帮助大，但整体上并没导致显著性差异。
（2）两个班测试1与测试2的比较分析
总体上，学生折叠锐角三角形、钝角三角形纸片与测试1比较，X2值分别为1.3206、2.7153，均小于临界值X0.05[df=1]=3.841，说明展示结果后，折叠这两种形状纸片的成功率没有明显提高;折叠直角三角形纸片的成功率与测试1比较，X2=5.0313