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摘要：目前，钢筋混凝土双向板在实际结构中被广泛的应用[1]，但是对于钢筋混凝土双向板的挠度计算方法研究却相对滞后，对需要控制变形的构件，不能方便正确地进行变形验算，显然是遗憾的。本文通过论述挠度与曲率的相关性探索混凝土双向板的挠度计算方法。
关键词：钢筋混凝土双向板；挠度；曲率
Abstract: Reinforced concrete two-way slab is widely used in industry and civilian buildings. But for the reinforced concrete two-way slab deflection calculation method is relatively slow, on the need to control the deformation of the component, not easy to correctly by checking deformation, apparently regret. This paper discusses the relationship between deflection and curvature on the calculation method of deflection of reinforced concrete two-way slab.
Key Words: Reinforced concrete two-way slab, deflection, curvature
中图分类号：TU74文献标识码：A 文章编号：
混凝土双向板工作机理比较复杂，其刚度和挠度的一些规律比单向受弯构件时的复杂得多，因此提出准确的双向板挠度计算方法就比较困难。为了建立比较精确比较方便的混凝土双向板挠度计算方法，对混凝土双向板刚度和曲率规律的研究是必要的。就像混凝土单向受弯构件挠度的计算方法提出之前，人们对混凝土单向受弯构件挠曲的性态进行了大量的研究探索一样，不能指望通过一个人几个月的工作就能提出比较精确比较方便的混凝土双向板挠度计算方法，也应该先进行钢筋混凝土双向板挠度和曲率的性态研究。
我国混凝土双向板的研究状况
目前，国内相对于钢筋混凝土双向板的研究比较少，特别是对双向板的挠度问题的研究，没有准确的计算方法在我国的混凝土设计规范中，对板做了正截面强度计算与钢筋构造方面的要求，但对板的挠度方面没有明确的描述，仅作为受弯构件加以统一的说明[2]。因此在实际结构设计时，结构工程师只能根据现有的经验按照跨度选取板厚，这个过程就没有考虑混凝土的强度等级、钢筋级别、钢筋的配筋率、支座约束及荷载性质的影响，而对于一些需要严格控制挠度的结构，由于目前规范没有关于钢筋混凝土双向板挠度的计算方法，一次设计者或采用弹性理论或采用基本不考虑双向板特性而选取单向板来计算双向板的挠度，甚至舍弃挠度的验算，这显然是不合理的。所以用上述方法计算的楼板挠度和弯矩不能准确反映正常使用阶段双向板的挠度和弯矩。因此要进一步完善工程中双向楼板的设计，就必须对双向楼板进行弹塑性变形条件下（即产生裂缝后）的挠度计算理论研究。
二、 双向板挠度变形的研究方法
总体地说，国内外对混凝土双向板挠度计算方法的研究是薄弱的，针对钢筋混凝土双向板挠度计算的研究方法大致可以大致可以分为概括为以下两个方面。
1. 实验和理论分析相结合的研究方法
试验和理论分析相结合的研究方法，也就是从基本的材料性态力学模型及结构模型入手的整体研究方法，是钢筋混凝土结构研究的根本方法，也是主要取得成功的方法，规范中现有的钢筋混凝土梁挠度计算方法就是这种研究方法的成果。就钢筋混凝土双向板的挠度进行的这种研究不多，没有对我们的设计工作产生实际影响。理论分析我们可采用弹性法、数值法和极限分析法。其中弹性法最常用的是克希霍夫与1850年提出的薄板微分方程[3] [5] ，这时混凝土板可简化为小挠度薄板进行计算。
2. 钢筋混凝土双向板的非线性有限元分析方法
钢筋混凝土双向板挠度有限元非线性计算，是钢筋混凝土的有限元非线性分析中的一个部分。作为有限元方法的根本内容，有限元模型至关重要，彻底决定着有限元分析的结果。在钢筋混凝土的有限元非线性分析中，可分为3种有限元模型[4]。一种是整体式模型，其特点是将钢筋弥散于整个单元中，并把单元内视为连续均匀的材料；另一种是分离式模型，在空间上尽可能反映钢筋和混凝土的试际情况，将钢筋和混凝土各自划分为适当小的单元，选择多种不同的单元形式，钢筋单元一般为线条状的，混凝土单元一般为块状的。即使这样，困难和缺点也存在。再一种是组合式模型，可以说这种模型的特点介于整体式模型和分离式模型之间，在空间上没有将钢筋弥散于整个单元中，在混凝土和钢筋之间相互作用这一点上，认为它们之间没有任何相对滑移。譬如有些文献给出的钢筋混凝土板挠度有限元计算，是把钢筋视为板内的一层膜，如图1-1所示，并认为钢筋膜与相邻混凝土之间完全协调没有滑移。显然组合式模型也是对钢筋混凝土的实际性态进行了很大简化的结果。
三、钢筋混凝土双向板挠度与曲率关系
前面介绍的的几种方法是研究混凝土双向板挠度问题的基本方法，应用这几种方法的提示抓住双向板的变形特性，即抓住挠度与曲率的关系具体的研究方法如下：
（1）在板上关注一个方向的曲率
以图3-1所示三边简支一边夹支的矩形板为例，挠度沿着z轴的方向，挠度分布表示为，若要计算k点的挠度，可以选取过k点的线AB，如果得到了沿着AB线的板曲率，实际上是抓住了AB曲线的形状，如图2-2所示。
（2）得到板上一个方向的曲率后就转化为曲率挠度变换问题
得到沿着AB线的板曲率后，挠度计算就成为纯粹几何问题，也是数学问题，选择使用适当的数学手段，可以求得曲线AB上各点的挠度。
（3）板的曲率与AB线处的两方向弯矩、的关系是关键问题
最关键的环节，是得出板的曲率与AB线处的两方向弯矩、的关系，即挠度分布规律。
（1）在板上关注一个方向的曲率
以图2-1所示三边简支一边夹支的矩形板为例，挠度沿着z轴的方向，挠度分布表示为，若要计算k点的挠度，可以选取过k点的线AB，如果得到了沿着AB线的板曲率，实际上是抓住了AB曲线的形状，如圖2-2所示。
（2）得到板上一个方向的曲率后就转化为曲率挠度变换问题
得到沿着AB线的板曲率后，挠度计算就成为纯粹几何问题，也是数学问题，选择使用适当的数学手段，可以求得曲线AB上各点的挠度。
（3）板的曲率与AB线处的两方向弯矩、的关系是关键问题
最关键的环节，是得出板的曲率与AB线处的两方向弯矩、的关系，即挠度分布规律。
四、结语
钢筋混凝土双向板在建筑结构中的应用十分广泛，其理论的研究和分析取得了长足的发展，但其在挠度和刚度计算方面仍有一些问题尚待深入研究解决。本文仅对双向板挠度的研究方法做了简要概述，要真正得到双向板的挠度计算公式还要做大量的工作。
参考文献
[1] （美）R·派克，W·L·根勃儿，（译）黄国桢，成源华．钢筋混凝土板[M]．上海：同济大学出版社，1992
[2] GB50010一2002混凝土结构设计规范[S].北京：中国建筑工业出版社，2002
[3] 曲庆章，章权，季秋知等.弹性板理论（第一版）[M].北京：科学出版社，2006
[4] Nawy E G. Flexural cracking in two-way concrete slabs reinforced with high strength welded wire fabric[J],ACI,1964, (8): 54-61
[5] Owen, D.R.J, Figueiras, J.A. Finite element analysis of reinforced concrete plate and shell structures. In: First Intemational Conference on Computer Application in Concrete.Singapore.1986: A23-A57
注：文章内所有公式及图表请以PDF形式查看。
关键词：钢筋混凝土双向板；挠度；曲率
Abstract: Reinforced concrete two-way slab is widely used in industry and civilian buildings. But for the reinforced concrete two-way slab deflection calculation method is relatively slow, on the need to control the deformation of the component, not easy to correctly by checking deformation, apparently regret. This paper discusses the relationship between deflection and curvature on the calculation method of deflection of reinforced concrete two-way slab.
Key Words: Reinforced concrete two-way slab, deflection, curvature
中图分类号：TU74文献标识码：A 文章编号：
混凝土双向板工作机理比较复杂，其刚度和挠度的一些规律比单向受弯构件时的复杂得多，因此提出准确的双向板挠度计算方法就比较困难。为了建立比较精确比较方便的混凝土双向板挠度计算方法，对混凝土双向板刚度和曲率规律的研究是必要的。就像混凝土单向受弯构件挠度的计算方法提出之前，人们对混凝土单向受弯构件挠曲的性态进行了大量的研究探索一样，不能指望通过一个人几个月的工作就能提出比较精确比较方便的混凝土双向板挠度计算方法，也应该先进行钢筋混凝土双向板挠度和曲率的性态研究。
我国混凝土双向板的研究状况
目前，国内相对于钢筋混凝土双向板的研究比较少，特别是对双向板的挠度问题的研究，没有准确的计算方法在我国的混凝土设计规范中，对板做了正截面强度计算与钢筋构造方面的要求，但对板的挠度方面没有明确的描述，仅作为受弯构件加以统一的说明[2]。因此在实际结构设计时，结构工程师只能根据现有的经验按照跨度选取板厚，这个过程就没有考虑混凝土的强度等级、钢筋级别、钢筋的配筋率、支座约束及荷载性质的影响，而对于一些需要严格控制挠度的结构，由于目前规范没有关于钢筋混凝土双向板挠度的计算方法，一次设计者或采用弹性理论或采用基本不考虑双向板特性而选取单向板来计算双向板的挠度，甚至舍弃挠度的验算，这显然是不合理的。所以用上述方法计算的楼板挠度和弯矩不能准确反映正常使用阶段双向板的挠度和弯矩。因此要进一步完善工程中双向楼板的设计，就必须对双向楼板进行弹塑性变形条件下（即产生裂缝后）的挠度计算理论研究。
二、 双向板挠度变形的研究方法
总体地说，国内外对混凝土双向板挠度计算方法的研究是薄弱的，针对钢筋混凝土双向板挠度计算的研究方法大致可以大致可以分为概括为以下两个方面。
1. 实验和理论分析相结合的研究方法
试验和理论分析相结合的研究方法，也就是从基本的材料性态力学模型及结构模型入手的整体研究方法，是钢筋混凝土结构研究的根本方法，也是主要取得成功的方法，规范中现有的钢筋混凝土梁挠度计算方法就是这种研究方法的成果。就钢筋混凝土双向板的挠度进行的这种研究不多，没有对我们的设计工作产生实际影响。理论分析我们可采用弹性法、数值法和极限分析法。其中弹性法最常用的是克希霍夫与1850年提出的薄板微分方程[3] [5] ，这时混凝土板可简化为小挠度薄板进行计算。
2. 钢筋混凝土双向板的非线性有限元分析方法
钢筋混凝土双向板挠度有限元非线性计算，是钢筋混凝土的有限元非线性分析中的一个部分。作为有限元方法的根本内容，有限元模型至关重要，彻底决定着有限元分析的结果。在钢筋混凝土的有限元非线性分析中，可分为3种有限元模型[4]。一种是整体式模型，其特点是将钢筋弥散于整个单元中，并把单元内视为连续均匀的材料；另一种是分离式模型，在空间上尽可能反映钢筋和混凝土的试际情况，将钢筋和混凝土各自划分为适当小的单元，选择多种不同的单元形式，钢筋单元一般为线条状的，混凝土单元一般为块状的。即使这样，困难和缺点也存在。再一种是组合式模型，可以说这种模型的特点介于整体式模型和分离式模型之间，在空间上没有将钢筋弥散于整个单元中，在混凝土和钢筋之间相互作用这一点上，认为它们之间没有任何相对滑移。譬如有些文献给出的钢筋混凝土板挠度有限元计算，是把钢筋视为板内的一层膜，如图1-1所示，并认为钢筋膜与相邻混凝土之间完全协调没有滑移。显然组合式模型也是对钢筋混凝土的实际性态进行了很大简化的结果。
三、钢筋混凝土双向板挠度与曲率关系
前面介绍的的几种方法是研究混凝土双向板挠度问题的基本方法，应用这几种方法的提示抓住双向板的变形特性，即抓住挠度与曲率的关系具体的研究方法如下：
（1）在板上关注一个方向的曲率
以图3-1所示三边简支一边夹支的矩形板为例，挠度沿着z轴的方向，挠度分布表示为，若要计算k点的挠度，可以选取过k点的线AB，如果得到了沿着AB线的板曲率，实际上是抓住了AB曲线的形状，如图2-2所示。
（2）得到板上一个方向的曲率后就转化为曲率挠度变换问题
得到沿着AB线的板曲率后，挠度计算就成为纯粹几何问题，也是数学问题，选择使用适当的数学手段，可以求得曲线AB上各点的挠度。
（3）板的曲率与AB线处的两方向弯矩、的关系是关键问题
最关键的环节，是得出板的曲率与AB线处的两方向弯矩、的关系，即挠度分布规律。
（1）在板上关注一个方向的曲率
以图2-1所示三边简支一边夹支的矩形板为例，挠度沿着z轴的方向，挠度分布表示为，若要计算k点的挠度，可以选取过k点的线AB，如果得到了沿着AB线的板曲率，实际上是抓住了AB曲线的形状，如圖2-2所示。
（2）得到板上一个方向的曲率后就转化为曲率挠度变换问题
得到沿着AB线的板曲率后，挠度计算就成为纯粹几何问题，也是数学问题，选择使用适当的数学手段，可以求得曲线AB上各点的挠度。
（3）板的曲率与AB线处的两方向弯矩、的关系是关键问题
最关键的环节，是得出板的曲率与AB线处的两方向弯矩、的关系，即挠度分布规律。
四、结语
钢筋混凝土双向板在建筑结构中的应用十分广泛，其理论的研究和分析取得了长足的发展，但其在挠度和刚度计算方面仍有一些问题尚待深入研究解决。本文仅对双向板挠度的研究方法做了简要概述，要真正得到双向板的挠度计算公式还要做大量的工作。
参考文献
[1] （美）R·派克，W·L·根勃儿，（译）黄国桢，成源华．钢筋混凝土板[M]．上海：同济大学出版社，1992
[2] GB50010一2002混凝土结构设计规范[S].北京：中国建筑工业出版社，2002
[3] 曲庆章，章权，季秋知等.弹性板理论（第一版）[M].北京：科学出版社，2006
[4] Nawy E G. Flexural cracking in two-way concrete slabs reinforced with high strength welded wire fabric[J],ACI,1964, (8): 54-61
[5] Owen, D.R.J, Figueiras, J.A. Finite element analysis of reinforced concrete plate and shell structures. In: First Intemational Conference on Computer Application in Concrete.Singapore.1986: A23-A57
注：文章内所有公式及图表请以PDF形式查看。