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一、案例背景
“超级画板”是一款知识性与智能性相结合的、多功能的教学软件，目前的版本特别适合数学的教学与学习的需要。自从笔者把“超级画板”引进了课堂,每次使用都使整个课堂充满了活力,学生学习的主观能动性得到了充分发挥。本节课从生活中的问题引入,通过动手操作,让学生初步了解和掌握“转化”思想,并通过自主学习、合作探究和操作实验,感受数学之美,提高学习兴趣,培养创新能力。下面笔者以《三角形中位线》为例，谈谈“超级画板”给我们教学带来的好处。
二、教学过程
学生在机房里，两人一台计算机（有利于互相讨论合作）。
1. 创设情境，引出课题
显示问题：刘老伯去世了，留下一块三角形的地（如图①所示），他有四个儿子，现要平均分这块地，你有什么方法帮他们解决？
（要求每组学生在超级画板软件中画出自己的方法，并用超级画板的测量功能验证自己的结论。）
（两分钟后）生1：我做来了，我们是把BC四等分，如图②所示，这四个三角形的面积相同。
生2：我们是这样做的，如图③。
生3：如图④。
……
师：你们做得都很好，理由呢？
生齐答：同底等高面积相等。
师：还有其他方法吗？
生：如图⑤所示，取三边中点连接就成。
师：好，这四个三角形面积相等。这节课我们来研究这三个点：D、E、H任两点所连的线，如DE这条线，即三角形的中位线。
说明：三角形中位线的引入符合过程性原则，从“让学生解决问题”导入，揭示了数学知识在生产、生活中的广泛应用，强化了学生的学习动机,变“要我学”为“我要学”。
2. 探究新知
（1）三角形中位线的定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
（让学生画三角形的中位线，要区别于三角形的中线。）
师：三角形的中位线具有什么性质？
（先猜想，再用超级画板验证自己的猜想。）
显示如图⑥。
生1：我得到BC=2DE。
生2：还有DE∥BC，不管图形如何变,可测得∠ADE=∠B。
师:太棒了,我们能证明这两个结论吗?
（要求学生写出已知,求证。）
（2）定理的证明。师提示：
①本题与以前学过的哪些知识、方法有关?是什么关系?△ADE与△ABC有何关系?
（学生进行联想，回答。）
②怎样证一条线段等于另一条的一半?
学生回答:截(把长的平分)与补(把短的加倍)。
（让学生独立完成和同学之间讨论交流完成，教师对个别差生辅导，等大部分学生证明好后，让学生上台板演。）
生1证明：延长DE到F，使EF=DE，连结CF如图⑦，可证四边形BCFD是一个平行四边形,再可得DE∥BC,DE=DF=BC。
生2证明:我是把△AED旋转180°，可得△CEF,而且这两个三角形全等,可证得BD∥CF，BD=CF，可证四边形BCFD是一个平行四边形,再可得DE∥BC,DE=DF=BC。
师：还有吗？
（学生经过几分钟讨论，又有学生发言。）
生3：过点C作AB的平行线DE的延长线于F，如图⑧,可证得△AED≌△CFE,接着可证得BCFD是一个平行四边形，可得要证的结论。
生4:我不用添辅助线也行，
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴==，
又∠A=∠A，
∴△AED～△ABC，
===，
∠ADE=∠ABC，
∴DE∥BC。
师:太棒了,还有其他方法吗?若取BC中点F(连EF),或过E点作AB的平行线,可以证吗?如图⑨。
（学生讨论,并在电脑上操作。）
一部分学生认为两种都不行,有些学生认为过E点作平行线是可以的,但到底行不行?
（教师针对这些问题，又让学生讨论,引起争鸣。）
说明:定理的证明,不拿现成的方法给学生,而是创设思维情境,启导学生“联想”到学过的有关知识和方法,使新旧知识得到顺利同化,并引导学生展开讨论,大大激发了学生的求知兴趣，学生的数学思维能力在这一过程中得到了有效的发展。
3. 应用新知，尝试成功
（1）引导学生观察图⑩，D、E、H分别是DC、AC、AB的中点，你可得到哪些结论？
（让学生抢答。）
结论有：3个平行四边形;4个小三角形全等；小三角形的周长为原三角形的一半, 面积为原三角形的四分之一。
（2）这个问题能否进行推广?
若把△ABC改为四边形ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、DC、AD的中点，你又得到哪些结论？
（让学生自己在电脑上画出四边形，并用“超级画板”验证猜想。）
生1：四边形EFGH为平行四边形；EG与EH互相平分；四边形 EFGH的面积为四边形ABCD的一半。
生2：不对，我们得到四边形EFGH为矩形，EG与EH互相平分且相等。
生3：我们得到四边形EFGH为菱形，EG与EH互相平分且垂直。
生4：四边形EFGH为正方形，EG与EH互相平分且相等、垂直。
师：为什么会有这么多不同的结论，你们不同的原因在哪里？
（让学生讨论。）
生1：我们画的四边形ABCD是平行四边形。
生2：我们画的四边形ABCD是菱形。
生3：我们画的四边形ABCD是矩形。
生4：我们画的四边形ABCD是正方形。
师：若ABCD是一般四边形，你们的结论又是如何？怎样去证明你们的结论？得到这个四边形与什么有关？
（学生思考如何证明四边形EFGH为平行四边形。）
教师补充总结：作任意四边形ABCD,首先设置对角线AC=BD(AC⊥BD或AC=BD且AC⊥BD)，再让对角线BD运动起来,在运动的过程中BD与AC始终保持上述关系，学生通过观察不断变化的四边形后，一目了然地看出对角线相等(垂直或相等且垂直)的四边形是任意的四边形，甚至还可以是凹凸四边形和空间四边形。
说明：这道题实际上是一个多中点问题。在几何中，多中点问题一般用三角形中位线来解决，这是一个很重要的思维方法，这个问题一般有两个方面：“有连结中点的线段但没有三角形，需要完善三角形；有三角形中点没有中位线，需作中位线。解答这个问题时：①先让学生根据自己的认知水平画图，写出已知、求证。②把它们改编成开放性问题，让学生有更广阔的思维空间。③再次体验研究数学的思想方法。
4. 课堂小结(以问题形式进行)
①什么叫三角形的中位线?一个三角形有几条中位线?它和三角形的中线有什么区别和联系?②三角形中位线定理的条件是什么?结论是什么?结论有几个?③三角形中位线性质定理的证明方法有哪些？
三、教学反思
1. 变被动接受为主动探索
建构主义理论认为:知识不是被动接受的,而是由认知主体建构的。数学学习是学生在已有数学认知结构的基础上的建构活动,而不是对数学知识的直接翻版。这就要求我们在教学中，应遵循让学生观察理解、探索研究、发现问题的规律,给学生一个建构的过程,一个思维活动的空间,让学生参与包括发现、探索在内的获得知识的全过程。在课堂教学中，借助于“超级画板”很容易达到这一教学要求。
2. 变静态为动态
在传统几何教学中，使用粉笔和黑板给出的图形都只能是静态的,无法将图形的任意位置展示给学生,教师往往在给出一个或有限的几个图形之后,就将一些重要的几何规律简单地介绍给了学生。而学生在做题时,由于图形位置变化,或位置关系复杂,就变得茫然不知所措了。“超级画板”能使静态的图形运动起来,在图形不停的变化中让学生发现其内在的几何规律。
3. 加大信息量,提高课堂效率
本节课从三角形中位线概念的引入，到性质定理的多种证法，以至例题及例题的变式训练和补充练习,图形较多,难以想像教师如何用粉笔加尺子在黑板这个有限的平面上画出这么多的几何图形,而在“超级画板”中，教师能够按需所画,并可利用“编辑”菜单里的“按钮”选项,选择“隐藏/显示”,将事先预备好的图形隐藏起来,需要时只要双击显示即可。此外“超级画板”还有许多其他非常方便的功能。所有这些都极大地减轻了教师的工作量,加大了教学内容的密度,提高了学生信息的吸收率。
4．围绕主题
本案例始终围绕百花齐放、百家争鸣这条主线，从引入到性质定理的引出、以及证明性质定理到例题变式，让学生对本节课所学内容自己去讨论、去猜测、去验证，对自我构建的知识体系进行必要的修正和补充，同时教师对学生难以掌握的内容，以及容易发生错误的知识点进行强调和点拨，引导学生运用这节课所学的知识和方法，解决一些更具探究价值的问题，由此可更好地激发学生的学习热情。[e]
(浙江省乐清市蒲岐中学 325609)
“超级画板”是一款知识性与智能性相结合的、多功能的教学软件，目前的版本特别适合数学的教学与学习的需要。自从笔者把“超级画板”引进了课堂,每次使用都使整个课堂充满了活力,学生学习的主观能动性得到了充分发挥。本节课从生活中的问题引入,通过动手操作,让学生初步了解和掌握“转化”思想,并通过自主学习、合作探究和操作实验,感受数学之美,提高学习兴趣,培养创新能力。下面笔者以《三角形中位线》为例，谈谈“超级画板”给我们教学带来的好处。
二、教学过程
学生在机房里，两人一台计算机（有利于互相讨论合作）。
1. 创设情境，引出课题
显示问题：刘老伯去世了，留下一块三角形的地（如图①所示），他有四个儿子，现要平均分这块地，你有什么方法帮他们解决？
（要求每组学生在超级画板软件中画出自己的方法，并用超级画板的测量功能验证自己的结论。）
（两分钟后）生1：我做来了，我们是把BC四等分，如图②所示，这四个三角形的面积相同。
生2：我们是这样做的，如图③。
生3：如图④。
……
师：你们做得都很好，理由呢？
生齐答：同底等高面积相等。
师：还有其他方法吗？
生：如图⑤所示，取三边中点连接就成。
师：好，这四个三角形面积相等。这节课我们来研究这三个点：D、E、H任两点所连的线，如DE这条线，即三角形的中位线。
说明：三角形中位线的引入符合过程性原则，从“让学生解决问题”导入，揭示了数学知识在生产、生活中的广泛应用，强化了学生的学习动机,变“要我学”为“我要学”。
2. 探究新知
（1）三角形中位线的定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
（让学生画三角形的中位线，要区别于三角形的中线。）
师：三角形的中位线具有什么性质？
（先猜想，再用超级画板验证自己的猜想。）
显示如图⑥。
生1：我得到BC=2DE。
生2：还有DE∥BC，不管图形如何变,可测得∠ADE=∠B。
师:太棒了,我们能证明这两个结论吗?
（要求学生写出已知,求证。）
（2）定理的证明。师提示：
①本题与以前学过的哪些知识、方法有关?是什么关系?△ADE与△ABC有何关系?
（学生进行联想，回答。）
②怎样证一条线段等于另一条的一半?
学生回答:截(把长的平分)与补(把短的加倍)。
（让学生独立完成和同学之间讨论交流完成，教师对个别差生辅导，等大部分学生证明好后，让学生上台板演。）
生1证明：延长DE到F，使EF=DE，连结CF如图⑦，可证四边形BCFD是一个平行四边形,再可得DE∥BC,DE=DF=BC。
生2证明:我是把△AED旋转180°，可得△CEF,而且这两个三角形全等,可证得BD∥CF，BD=CF，可证四边形BCFD是一个平行四边形,再可得DE∥BC,DE=DF=BC。
师：还有吗？
（学生经过几分钟讨论，又有学生发言。）
生3：过点C作AB的平行线DE的延长线于F，如图⑧,可证得△AED≌△CFE,接着可证得BCFD是一个平行四边形，可得要证的结论。
生4:我不用添辅助线也行，
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴==，
又∠A=∠A，
∴△AED～△ABC，
===，
∠ADE=∠ABC，
∴DE∥BC。
师:太棒了,还有其他方法吗?若取BC中点F(连EF),或过E点作AB的平行线,可以证吗?如图⑨。
（学生讨论,并在电脑上操作。）
一部分学生认为两种都不行,有些学生认为过E点作平行线是可以的,但到底行不行?
（教师针对这些问题，又让学生讨论,引起争鸣。）
说明:定理的证明,不拿现成的方法给学生,而是创设思维情境,启导学生“联想”到学过的有关知识和方法,使新旧知识得到顺利同化,并引导学生展开讨论,大大激发了学生的求知兴趣，学生的数学思维能力在这一过程中得到了有效的发展。
3. 应用新知，尝试成功
（1）引导学生观察图⑩，D、E、H分别是DC、AC、AB的中点，你可得到哪些结论？
（让学生抢答。）
结论有：3个平行四边形;4个小三角形全等；小三角形的周长为原三角形的一半, 面积为原三角形的四分之一。
（2）这个问题能否进行推广?
若把△ABC改为四边形ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、DC、AD的中点，你又得到哪些结论？
（让学生自己在电脑上画出四边形，并用“超级画板”验证猜想。）
生1：四边形EFGH为平行四边形；EG与EH互相平分；四边形 EFGH的面积为四边形ABCD的一半。
生2：不对，我们得到四边形EFGH为矩形，EG与EH互相平分且相等。
生3：我们得到四边形EFGH为菱形，EG与EH互相平分且垂直。
生4：四边形EFGH为正方形，EG与EH互相平分且相等、垂直。
师：为什么会有这么多不同的结论，你们不同的原因在哪里？
（让学生讨论。）
生1：我们画的四边形ABCD是平行四边形。
生2：我们画的四边形ABCD是菱形。
生3：我们画的四边形ABCD是矩形。
生4：我们画的四边形ABCD是正方形。
师：若ABCD是一般四边形，你们的结论又是如何？怎样去证明你们的结论？得到这个四边形与什么有关？
（学生思考如何证明四边形EFGH为平行四边形。）
教师补充总结：作任意四边形ABCD,首先设置对角线AC=BD(AC⊥BD或AC=BD且AC⊥BD)，再让对角线BD运动起来,在运动的过程中BD与AC始终保持上述关系，学生通过观察不断变化的四边形后，一目了然地看出对角线相等(垂直或相等且垂直)的四边形是任意的四边形，甚至还可以是凹凸四边形和空间四边形。
说明：这道题实际上是一个多中点问题。在几何中，多中点问题一般用三角形中位线来解决，这是一个很重要的思维方法，这个问题一般有两个方面：“有连结中点的线段但没有三角形，需要完善三角形；有三角形中点没有中位线，需作中位线。解答这个问题时：①先让学生根据自己的认知水平画图，写出已知、求证。②把它们改编成开放性问题，让学生有更广阔的思维空间。③再次体验研究数学的思想方法。
4. 课堂小结(以问题形式进行)
①什么叫三角形的中位线?一个三角形有几条中位线?它和三角形的中线有什么区别和联系?②三角形中位线定理的条件是什么?结论是什么?结论有几个?③三角形中位线性质定理的证明方法有哪些？
三、教学反思
1. 变被动接受为主动探索
建构主义理论认为:知识不是被动接受的,而是由认知主体建构的。数学学习是学生在已有数学认知结构的基础上的建构活动,而不是对数学知识的直接翻版。这就要求我们在教学中，应遵循让学生观察理解、探索研究、发现问题的规律,给学生一个建构的过程,一个思维活动的空间,让学生参与包括发现、探索在内的获得知识的全过程。在课堂教学中，借助于“超级画板”很容易达到这一教学要求。
2. 变静态为动态
在传统几何教学中，使用粉笔和黑板给出的图形都只能是静态的,无法将图形的任意位置展示给学生,教师往往在给出一个或有限的几个图形之后,就将一些重要的几何规律简单地介绍给了学生。而学生在做题时,由于图形位置变化,或位置关系复杂,就变得茫然不知所措了。“超级画板”能使静态的图形运动起来,在图形不停的变化中让学生发现其内在的几何规律。
3. 加大信息量,提高课堂效率
本节课从三角形中位线概念的引入，到性质定理的多种证法，以至例题及例题的变式训练和补充练习,图形较多,难以想像教师如何用粉笔加尺子在黑板这个有限的平面上画出这么多的几何图形,而在“超级画板”中，教师能够按需所画,并可利用“编辑”菜单里的“按钮”选项,选择“隐藏/显示”,将事先预备好的图形隐藏起来,需要时只要双击显示即可。此外“超级画板”还有许多其他非常方便的功能。所有这些都极大地减轻了教师的工作量,加大了教学内容的密度,提高了学生信息的吸收率。
4．围绕主题
本案例始终围绕百花齐放、百家争鸣这条主线，从引入到性质定理的引出、以及证明性质定理到例题变式，让学生对本节课所学内容自己去讨论、去猜测、去验证，对自我构建的知识体系进行必要的修正和补充，同时教师对学生难以掌握的内容，以及容易发生错误的知识点进行强调和点拨，引导学生运用这节课所学的知识和方法，解决一些更具探究价值的问题，由此可更好地激发学生的学习热情。[e]
(浙江省乐清市蒲岐中学 325609)