组合恒等式的证明

• 作 者: 王迎东
• 出 处: 中学生数理化·学习研究
• 发表日期: 2017年8期
• 关键词: 组合恒等式 证明 思维灵活性 二项式定理 能力的培养 排列组合 高中 学生

　　组合恒等式是以高中排列组合、二项式定理为基础，并加以推广和补充而形成的一类问题，它具有一定的难度和特殊的技巧，且灵活性强，对学生的运算能力的培养和思维灵活性的训练都有良好的作用。下面就来谈组合恒等式的证明。
　　例1求证：C1n+2C2n+3C3n+…+nCnn=n·2n-1。
　　证法一：设Sn=0C0n+C1n+2C2n+…+nCnn。
　　则Sn=nCnn+（n-1）Cn-1n-1+…+C1n+C0n
　　两式相加，并结合Ckn=Cn-kn，得：
　　2Sn=nC0n+nC1n+nC2n+…+nCnn
　　=n（C0n+C1n+C2n+…+Cnn）
　　=n·2n。
　　所以，Sn=n·2n-1，
　　即C1n+2C2n+3C3n+…+nCnn=n·2n-1。
　　证法二：由二项式定理得：
　　（1+x）n=C0n+C1nx+C2nx2+…+Cnnxn。
　　两边求导得：
　　n（1+x）n-1=C1n+2C2nx+3C3nx2+…+nCnnxn-1。
　　在上式中，令x=1得：
　　C1n+2C2n+3C3n+…+nCnn=n·2n-1。
　　證法三：因为kCkn=nCk-1n-1，
　　所以C1n+2C2n+3C3n+…+nCnn=n·（C0n-1+C1n-1+…+Cn-1n-1）=n·2n-1。
　　因此，C1n+2C2n+3C3n+…+nCnn=n·2n-1。
　　点评：证法一结合组合数的性质Ckn=Cn-kn，利用数列求和的倒序相加法来证明；证法二利用二项式（1+x）n=C0n+C1nx+C2nx2+…+Cnnxn两边求导后，再由赋值法来证明；证法三利用kCkn=nCk-1n-1变形证明。
　　例2求证：（C0n）2+（C1n）2+（C2n）2+…+（Cnn）2=（2n）！n！·n！
　　证明：由二项式定理可知：
　　（1+x）n=C0n+C1nx+C2nx2+…+Cnnxn；
　　1+1xn=C0n+C1n1x+C2n1x2+…+Cnn1xn。
　　两式展开式右边乘积中常数项恰好是：
　　（C0n）2+（C1n）2+（C2n）2+…+（Cnn）2。
　　而（1+x）n·1+1xn=1xn（1+x）2n，
　　且（1+x）2n中含xn的项是展开式中的第n+1项为Cn2n·xn。
　　所以（1+x）n·1+1xn展开式中的常数项为Cn2n。
　　故（C0n）2+（C1n）2+（C2n）2+…+（Cnn）2=Cn2n=（2n）！n！·n！。
　　点评：解决本题的关键是运用母函数法去构造出二项式求解，技巧性较强。
　　作者单位：江苏省沭阳高级中学