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内容摘要：本文通过一道例题的多种解法，培养学生协作交流和自主探究的创造性思维，从而激发学生的求知欲。使学生做到知识学习和能力培养的协调发展，提高总复习有效性。
关键词：一例多解、复习、求最值
高三数学总复习不仅要进行知识的回顾，还要把所学知识综合起来，串点成线，连线成网，形成有机的整体，有效地综合应用，提高分析和解决问题的能力。笔者认为，在总复习中，应该精选例题，善用一例多解，进行有效复习。让学生从例题中体会到典型性和规律性，反复归纳、类比来拓展思考，并从数学思想方法的高度去分析、探究例题，达到提高总复习目的。
在《基本不等式》复习过程中的例题设计中，可以运用一题多解。例题：设x、y∈(0,+∞),若2x、 、2y成等比数列，则 + 的最小值为多少？
思路1：这是一道“求最值”的易错例题，有很多种解题方法，可先利用基本不等式求解。用基本不等式求解应注意“一正、二定、三相等”，特别是三相等，这是学生最容易出错，应注意检验，从而培养学生思维严密性。
解法1、∵2x、 、2y成等比数列
∴（ ）2=2x2y=2x+y即x+y=1
∴xy≤( 2=
∴ + ≥2 ≥4 (当且仅当x=y= 时等号成立)
即x=y= 时， + 的最小值为4
可见，解法1分析是恰当的，解法是正确的。但在利用基本不等式时，能否再优化解法？由已知条件知，x+y=1,可以尝试采用“1”的代换，将问题转化为“积定和最小”的典型，运用化归与转化思想。
解法2、∵2x、 、2y成等比数列
∴（ ）2=2x2y=2x+y即x+y=1
∴ + = + =2+ +
又∵x、y∈(0,+∞)∴2+ + ≥2+2 =4
当且仅当 = 时等号成立
即x=y= 时， + 的最小值为4
引导学生详细观察题目结论，发现 的结构为调和平均，鼓励学生大胆猜想，应用所学知识进行尝试与判断。能将调和平均转换为几何平均吗？再利用基本不等式求解最值吗？
解法3： 成等比数列， ，
又 （当且仅当x=y时等号成立）
即 ， 。
另外，还可将这种解法进行构造巧思。由已知可得 ，而 + =（ ）（ + ），与柯西不等式（x1x2+y1y2+z1z2）(x12+y12+z12)(x22+y22+z22)的右边相似，是否采用柯西不等式求最值？
解法4、 成等比数列， ，
所以 + =（ ）（ + ） (且仅 时等式成立)，即 ， .
思路2：具体关注题目条件，抓住x、y的多元性, 可尝试用“消元法”来进一步挖掘问题的深层结构，把它化归为函数，实现函数思想的运用。
解法5、∵2x、 、2y成等比数列
∴（ ）2=2x2y=2x+y即x+y=1
则y=1-x
∴ + = = = =
∴当x= 时， + 的最小值为4
思路3：经过分析可知x+y=1，联想到 可尝试进行三角代换，从而培养知识迁移能力。
解法6、 成等比数列， ，令 ，
当 。
思路4：因为（ 、 ） ，所以可构造两个向量，尝试着用向量数量积解题。这样，就可在分析解题思路的过程中，帮助学生建立完整的知识体系。
解法7、 成等比数列，
，
令 ，则
，
又 （当且仅字 与 共线时等式成立）。
所以，
当 与 共线时， 取得最小值4。
解法8：结合排序不等式的结构性，可尝试构造积和结构，因而利用排序不等式求最值。
成等比数列， ，
不妨假设。
即（当且仅字x=y时等式成立）
即 ， .
在总复习中，通过精选例题，巧用一题多解，加深学生对各章节基础知识的理解，开拓学生解题的思路，有效地培养学生的解题能力，提高学生的数学素质，从而提高整体教学效果。可归纳为以下几点：
一、围绕教学环节的衔接，转折延伸，创设能引起学生思考和情绪激动的教学情境，让学生展开联想，诱发学生的求知欲，唤醒长期记忆中有关的知识、经验或表象，为掌握新知识创造一个最佳的心理和认知环境，使学生乐学。在复习利用《基本不等式》求最值时，抛出此例题，并告诉学生：此题有八种解法，你们能找到几种？激发学生的求知欲和兴趣。
二、充分发挥学生自主探究的能动性。皮亚杰指出：数学是人的计算活动和空间度量活动的反身抽象，离开人的活动是没有数学，也学不懂数学，所以学习数学的一个很重要的环节是了解数学背景，获得数学经验。而让学生自主探究，获得求解最值的方法是学生获得数学经验的重要途径。而学生在主动探求相关知识后，完成了任务，获得了知识，培养了创造力，提高了数学素养。
三、让全体学生积极参与，协作交流。因为学生的个体差异，他们在探求知识、接受知识时也存在很大差异，而差异本身就是一种学习资源。因而在复习中提倡小组协作交流方式。在复习利用《基本不等式》求最值时，把全班学生分成八个学习小组，当各学习小组完成探究任务后，组织各学习小组交流探究结果，归纳总结求解最值问题的常用方法。这样，一节课下列，学生的思维处于高度运转状态，知识便在教师指导下，通过交流反馈，学生自己主动建构而获得。
四、激发学生创造性思维，充分发掘学生的天资和潜能，培养学生的创新精神，提高了综合应用数学知识解决实际问题的能力。在复习利用《基本不等式》求最值时，一部分学生不满足于总结出常见前面4种解法，他们还总结出利用向量、构造三角函数、结合柯西不等式特征等不同解法。这样，学生从数学探究活动中不仅学到了知识，重要的是培养了能力，使学生做到知识学习和能力培养的协调发展。
五、促进教师的专业成长。现在的数学教学，教师不只是知识的传播者，而应是教学情境的设计者，教学活动的组织者，学生数学活动的指导者和数学思维的促进者。因此，教师就必须努力学习，积极探索，不断提高自己的教学水平和科研能力，有力地促进教师的专业成长。在复习利用《基本不等式》求最值时，通过阅读课外书籍、与其他老师交流探讨，找到第八种解法，就是利用排序不等式。
通过这样设计，它能帮助数学会求最值问题的常用方法，也能帮助学生从横、纵多方向多角度的思考数学问题，并尝试排除思考过程中的思维迂回，探求多样解法和最优解法，从而达到自然而然对解题过程的分析，自然而然形成一题多解，提高了复习效率。
参考文献：
[1] 周灵.网络环境下探究性数学课堂教学模式的构建与实践[J].福建中学数学,2010,5.
[2] 徐祖德.一道2009年高考题的几种不同解法[J].福建中学数学,2010,3.
[3] 李巧尔.例题教学的设计与反思初探[J].福建中学数学,2010,4.
关键词：一例多解、复习、求最值
高三数学总复习不仅要进行知识的回顾，还要把所学知识综合起来，串点成线，连线成网，形成有机的整体，有效地综合应用，提高分析和解决问题的能力。笔者认为，在总复习中，应该精选例题，善用一例多解，进行有效复习。让学生从例题中体会到典型性和规律性，反复归纳、类比来拓展思考，并从数学思想方法的高度去分析、探究例题，达到提高总复习目的。
在《基本不等式》复习过程中的例题设计中，可以运用一题多解。例题：设x、y∈(0,+∞),若2x、 、2y成等比数列，则 + 的最小值为多少？
思路1：这是一道“求最值”的易错例题，有很多种解题方法，可先利用基本不等式求解。用基本不等式求解应注意“一正、二定、三相等”，特别是三相等，这是学生最容易出错，应注意检验，从而培养学生思维严密性。
解法1、∵2x、 、2y成等比数列
∴（ ）2=2x2y=2x+y即x+y=1
∴xy≤( 2=
∴ + ≥2 ≥4 (当且仅当x=y= 时等号成立)
即x=y= 时， + 的最小值为4
可见，解法1分析是恰当的，解法是正确的。但在利用基本不等式时，能否再优化解法？由已知条件知，x+y=1,可以尝试采用“1”的代换，将问题转化为“积定和最小”的典型，运用化归与转化思想。
解法2、∵2x、 、2y成等比数列
∴（ ）2=2x2y=2x+y即x+y=1
∴ + = + =2+ +
又∵x、y∈(0,+∞)∴2+ + ≥2+2 =4
当且仅当 = 时等号成立
即x=y= 时， + 的最小值为4
引导学生详细观察题目结论，发现 的结构为调和平均，鼓励学生大胆猜想，应用所学知识进行尝试与判断。能将调和平均转换为几何平均吗？再利用基本不等式求解最值吗？
解法3： 成等比数列， ，
又 （当且仅当x=y时等号成立）
即 ， 。
另外，还可将这种解法进行构造巧思。由已知可得 ，而 + =（ ）（ + ），与柯西不等式（x1x2+y1y2+z1z2）(x12+y12+z12)(x22+y22+z22)的右边相似，是否采用柯西不等式求最值？
解法4、 成等比数列， ，
所以 + =（ ）（ + ） (且仅 时等式成立)，即 ， .
思路2：具体关注题目条件，抓住x、y的多元性, 可尝试用“消元法”来进一步挖掘问题的深层结构，把它化归为函数，实现函数思想的运用。
解法5、∵2x、 、2y成等比数列
∴（ ）2=2x2y=2x+y即x+y=1
则y=1-x
∴ + = = = =
∴当x= 时， + 的最小值为4
思路3：经过分析可知x+y=1，联想到 可尝试进行三角代换，从而培养知识迁移能力。
解法6、 成等比数列， ，令 ，
当 。
思路4：因为（ 、 ） ，所以可构造两个向量，尝试着用向量数量积解题。这样，就可在分析解题思路的过程中，帮助学生建立完整的知识体系。
解法7、 成等比数列，
，
令 ，则
，
又 （当且仅字 与 共线时等式成立）。
所以，
当 与 共线时， 取得最小值4。
解法8：结合排序不等式的结构性，可尝试构造积和结构，因而利用排序不等式求最值。
成等比数列， ，
不妨假设。
即（当且仅字x=y时等式成立）
即 ， .
在总复习中，通过精选例题，巧用一题多解，加深学生对各章节基础知识的理解，开拓学生解题的思路，有效地培养学生的解题能力，提高学生的数学素质，从而提高整体教学效果。可归纳为以下几点：
一、围绕教学环节的衔接，转折延伸，创设能引起学生思考和情绪激动的教学情境，让学生展开联想，诱发学生的求知欲，唤醒长期记忆中有关的知识、经验或表象，为掌握新知识创造一个最佳的心理和认知环境，使学生乐学。在复习利用《基本不等式》求最值时，抛出此例题，并告诉学生：此题有八种解法，你们能找到几种？激发学生的求知欲和兴趣。
二、充分发挥学生自主探究的能动性。皮亚杰指出：数学是人的计算活动和空间度量活动的反身抽象，离开人的活动是没有数学，也学不懂数学，所以学习数学的一个很重要的环节是了解数学背景，获得数学经验。而让学生自主探究，获得求解最值的方法是学生获得数学经验的重要途径。而学生在主动探求相关知识后，完成了任务，获得了知识，培养了创造力，提高了数学素养。
三、让全体学生积极参与，协作交流。因为学生的个体差异，他们在探求知识、接受知识时也存在很大差异，而差异本身就是一种学习资源。因而在复习中提倡小组协作交流方式。在复习利用《基本不等式》求最值时，把全班学生分成八个学习小组，当各学习小组完成探究任务后，组织各学习小组交流探究结果，归纳总结求解最值问题的常用方法。这样，一节课下列，学生的思维处于高度运转状态，知识便在教师指导下，通过交流反馈，学生自己主动建构而获得。
四、激发学生创造性思维，充分发掘学生的天资和潜能，培养学生的创新精神，提高了综合应用数学知识解决实际问题的能力。在复习利用《基本不等式》求最值时，一部分学生不满足于总结出常见前面4种解法，他们还总结出利用向量、构造三角函数、结合柯西不等式特征等不同解法。这样，学生从数学探究活动中不仅学到了知识，重要的是培养了能力，使学生做到知识学习和能力培养的协调发展。
五、促进教师的专业成长。现在的数学教学，教师不只是知识的传播者，而应是教学情境的设计者，教学活动的组织者，学生数学活动的指导者和数学思维的促进者。因此，教师就必须努力学习，积极探索，不断提高自己的教学水平和科研能力，有力地促进教师的专业成长。在复习利用《基本不等式》求最值时，通过阅读课外书籍、与其他老师交流探讨，找到第八种解法，就是利用排序不等式。
通过这样设计，它能帮助数学会求最值问题的常用方法，也能帮助学生从横、纵多方向多角度的思考数学问题，并尝试排除思考过程中的思维迂回，探求多样解法和最优解法，从而达到自然而然对解题过程的分析，自然而然形成一题多解，提高了复习效率。
参考文献：
[1] 周灵.网络环境下探究性数学课堂教学模式的构建与实践[J].福建中学数学,2010,5.
[2] 徐祖德.一道2009年高考题的几种不同解法[J].福建中学数学,2010,3.
[3] 李巧尔.例题教学的设计与反思初探[J].福建中学数学,2010,4.