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摘 要：课前预设好的教学流程常因为学生的思维“不听话”而被打乱. 如果你有足够的耐心和一个平静的心态，顺着学生的思路走下去，积极引导学生进行探索，让学生在探索过程中学会修正和反思，你会发现学生的思维是多么鲜活、多么可贵！
关键词：圆锥曲线；数学活动；自主探究
在课堂教学中，几乎每一位老师都有这样的经历：课前预设好的教学流程常因为学生的思维“不听话”而被打乱. 如果你有足够的耐心和一个平静的心态，顺着学生的思路走下去，积极引导学生进行探索，让学生在探索过程中学会修正和反思，你会发现学生的思维是多么鲜活、多么可贵！此时，教师不是唯一主角，从某种意义来说，只是“现在直播的导演”，学生成了教学活动的中心和主体. 笔者在一次教学活动中，没有完成计划中的教学任务，而是与学生进行了一次“意外探究之旅”，一起与大家分享，以飨读者.
题目 过抛物线y2=2x的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1，y2，求证：y1·y2=-1.
该题方法自然、思路清晰，学生较快可以完成. 对于这样一个问题学生在解决前脑子里就会产生天生的“好奇心”. 有了这种“好奇心”，教师就可以放手让学生自己去探究他想要知道的这些问题.
学生1：直线虽然过定点，但斜率在变化，两交点坐标自然在变化，那么两交点纵坐标的积怎么会是常数呢？这个常数与抛物线有关系吗？
学生的问题出乎笔者的意料，于是笔者决定放弃原来的教学计划，和学生一起来进行探究. 对学生的问题给予肯定，并让该学生自己推导猜想是否正确.
学生2：我通过计算得到：x1·x2=，但横坐标的和都不是常数. 同时知道这个常数与抛物线是有关系的.
于是，师生可以共同归纳出以下结论：
结论1：过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1，y2，求证：y1·y2=-p2，x1·x2=.
笔者心里暗喜，结论1可以说是意外收获，于是乘胜追击，让学生的思维走上进一步反思的轨道，抛出以下问题.
教师：在结论1中直线是过焦点的，这种特殊性对结论有什么影响？想想还有什么问题值得我们关注与反思？
教师：过x轴上的任一定点（a，0）的直线与抛物线y2=2px交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），y1·y2和x1·x2是否也都为常数呢？
问题一提出，学生都积极动脑，笔者也走下讲台和学生一起讨论. 注意到有个学生的思路比较正确，笔者就将他的解答过程投影，并与大家分享.
学生3：可设过定点（a，0）的直线方程为：x=ty a，
代入y2=2px得，y2-2pty-2pa=0，
可知只要方程存在两解，则有y1·y2=-2pa，也容易得到x1·x2=a2.
笔者很满意学生2的回答，并进行了表扬，这是一个很好的问题.
教师：本质是原题条件与结论的一般化推广，探究的问题结论既正确也优美，于是可得到如下结论.
结论2：过x轴上的任一定点（a，0）的直线与抛物线y2=2px交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），则有y1·y2=-2pa，x1·x2=a2.
为了让这样的良好氛围不被打断，让学生的思考能够得以延续，于是笔者抛出下面的问题.
教师：斜率为定值k0的直线与抛物线y2=2px交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），y1·y2和x1·x2是否也为常数呢？
学生4：设直线方程为y=k0x b，代入y2=2px消x可得：k0y2-2py 2pb=0，
显然y1·y2=与变量b有关，不是常数，但可以发现y1 y2=却是定值.
教师：此时x1 x2与x1·x2会是常数吗？
经历众多的挫折后终于得到了一个好结果，学生喜出望外. 学生很快计算出x1 x2与x1·x2，发现它们也都不是常数. 看来经历这么多反思与探究只有下列结论是成立的.
结论3：斜率为定值k0的直线与抛物线y2=2px交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），则有y1 y2=.
对上述探究的思维基本告一段落，于是笔者引导学生再回头审思结论2.
教师：如果把结论2中的定点（a，0）确定为（2p，0），那么结论将变为：y1·y2= -4p2，x1·x2=4p2，显然这是一对相反数，这意味着什么呢？
一串联想会在学生脑子中生成，这时有学生想到：
学生5：=-1，即kOA·kOB=-1?OA⊥OB.
一个漂亮的结论就此形成：
结论4：过x轴上的任一定点（2p，0）的直线与抛物线y2=2px交于A，B两点，则有OA⊥OB. （其实这就是课本选修2-1第73页习题6的一般性结论）
显然，学生的激情已经被点燃，思维不断被打开，如果笔者不继续将这个问题深化下去，就错过了一个提高学生思维的最佳契机，笔者又追问一个问题：“还可否有一般性的猜想？能否证明？”话音刚落，就有学生举手了.
学生6：如果过原点O任作两直线交抛物线y2=2px于A，B两点，且OA⊥OB，则直线AB是否过定点P（2p，0）？
学生7：如果过抛物线y2=2px上任一点M作两直线交抛物线于A，B两点，且MA⊥MB，则直线AB是否过定点P（2p，0）？
学生8：已知椭圆 =1（a>b>0）的右顶点M，点A，B是椭圆上不同于M的两点，如果MA⊥MB，则直线AB是否过x轴定点？
课堂上学生还提出了其他不同的猜想，笔者一方面要鼓励学生大胆猜想，另一方面要防止学生不做探究妄下结论，要告诫学生切忌想当然，以此培养学生实事求是的科学态度，避免想当然的思维方式. 事实上，反思猜想1容易证明是正确的，但反思猜想2是不正确的，证明如下： 设A
，y1
，B
，y2
，M
，y0
，
则=
，y1-y0
，=
，y2-y0
，
由·=0得：y1y2 y0（y1 y2） y 4p2=0， ①
设AB的方程为：x=ty a，代入y2=2px得y2-2pty-2pa=0，
所以y1 y2=2pt，y1y2=-2pa，代入①式可得-a ty0 x0 2p=0，
即：x0 2p=n（-y0） a，
所以AB过定点（x0 2p，-y0）.
于是有下列结论成立：
结论5：过原点O任作两直线交抛物线y2=2px于A，B两点，且OA⊥OB，则直线AB过定点P（2p，0）.
结论6：过抛物线y2=2px上任一点M作两直线交抛物线于A，B两点，且MA⊥MB，则直线AB过定点（x0 2p，-y0）.
通过探究却发现结论6不像我们预想的那么美好. 可能这时学生的情绪会从一开始想到反思问题时的兴致高涨一下子跌到了低谷，思想上所承受的打击肯定是很大的，这时教师要给学生以鼓励，并告诫学生在科学探究道路上这种情况是经常发生的，我们要经得起打击，受得起挫折. 此时，笔者引导学生回到学生8的猜想，这是一个很好的思维迁移.
教师：同学们，在椭圆中是否有类似的结论呢？猜想3是否成立？
学生又恢复了激情，埋头计算起来，由于有一定的难度，故最后师生共同探究完成.
探究分析：设直线AB的方程为：x=my t，
联立x=my t，
=1，消去x可得（a2 m2b2）y2 2mtb2y b2（t2-a2）=0.
设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理知，y1 y2=-，y1y2=.
由题意有，·=0，即x1x2-a（x1 x2） a2 y1y2=0. （*）
又x1 x2=m（y1 y2） 2t，x1x2=（my1 t）·（my2 t）=m2y1y2 mt（y1 y2） t2，
分别代入（*）化简得，b2t ab2 a2t-a3=0，解得t=，
所以，直线AB恒过定点P
，0
.
于是，教师在黑板上写出了如下结论.
结论7：已知椭圆 =1（a>b>0）的右顶点M，点A，B是椭圆上不同于M的两点，如果MA⊥MB，则直线AB过定点P
，0
.
教师：其实，根据上面的推导过程易知双曲线也有类似的结论，同学们可以课后证明如下结论.
结论8：已知双曲线-=1（a，b>0）的右顶点M，点A，B是双曲线上不同于M的两点，如果MA⊥MB，则直线AB过定点P
，0
.
[?] 结束语
笔者有理由相信，经历了这种探究教学的整个过程，经历了成功与失望之后，学生在获得知识的同时，得到更多的是在数学问题的探究解决过程中提高了自身提出问题的意识、发现问题的能力. 科学的推理能力和决策能力，这才是探究性教学的价值所在. 与此同时，笔者也在这节课中收获颇丰，深深体会到今后要积极转变教学方式，从传统的知识传授者转向适应学生发展的促进者，转向学生学习的组织者、引导者、参与者、指导者和欣赏者，从而把传统文本主义的教学变成活动式教学，变学生被动参与为主动参与，变静态课堂为动态课堂.
关键词：圆锥曲线；数学活动；自主探究
在课堂教学中，几乎每一位老师都有这样的经历：课前预设好的教学流程常因为学生的思维“不听话”而被打乱. 如果你有足够的耐心和一个平静的心态，顺着学生的思路走下去，积极引导学生进行探索，让学生在探索过程中学会修正和反思，你会发现学生的思维是多么鲜活、多么可贵！此时，教师不是唯一主角，从某种意义来说，只是“现在直播的导演”，学生成了教学活动的中心和主体. 笔者在一次教学活动中，没有完成计划中的教学任务，而是与学生进行了一次“意外探究之旅”，一起与大家分享，以飨读者.
题目 过抛物线y2=2x的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1，y2，求证：y1·y2=-1.
该题方法自然、思路清晰，学生较快可以完成. 对于这样一个问题学生在解决前脑子里就会产生天生的“好奇心”. 有了这种“好奇心”，教师就可以放手让学生自己去探究他想要知道的这些问题.
学生1：直线虽然过定点，但斜率在变化，两交点坐标自然在变化，那么两交点纵坐标的积怎么会是常数呢？这个常数与抛物线有关系吗？
学生的问题出乎笔者的意料，于是笔者决定放弃原来的教学计划，和学生一起来进行探究. 对学生的问题给予肯定，并让该学生自己推导猜想是否正确.
学生2：我通过计算得到：x1·x2=，但横坐标的和都不是常数. 同时知道这个常数与抛物线是有关系的.
于是，师生可以共同归纳出以下结论：
结论1：过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1，y2，求证：y1·y2=-p2，x1·x2=.
笔者心里暗喜，结论1可以说是意外收获，于是乘胜追击，让学生的思维走上进一步反思的轨道，抛出以下问题.
教师：在结论1中直线是过焦点的，这种特殊性对结论有什么影响？想想还有什么问题值得我们关注与反思？
教师：过x轴上的任一定点（a，0）的直线与抛物线y2=2px交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），y1·y2和x1·x2是否也都为常数呢？
问题一提出，学生都积极动脑，笔者也走下讲台和学生一起讨论. 注意到有个学生的思路比较正确，笔者就将他的解答过程投影，并与大家分享.
学生3：可设过定点（a，0）的直线方程为：x=ty a，
代入y2=2px得，y2-2pty-2pa=0，
可知只要方程存在两解，则有y1·y2=-2pa，也容易得到x1·x2=a2.
笔者很满意学生2的回答，并进行了表扬，这是一个很好的问题.
教师：本质是原题条件与结论的一般化推广，探究的问题结论既正确也优美，于是可得到如下结论.
结论2：过x轴上的任一定点（a，0）的直线与抛物线y2=2px交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），则有y1·y2=-2pa，x1·x2=a2.
为了让这样的良好氛围不被打断，让学生的思考能够得以延续，于是笔者抛出下面的问题.
教师：斜率为定值k0的直线与抛物线y2=2px交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），y1·y2和x1·x2是否也为常数呢？
学生4：设直线方程为y=k0x b，代入y2=2px消x可得：k0y2-2py 2pb=0，
显然y1·y2=与变量b有关，不是常数，但可以发现y1 y2=却是定值.
教师：此时x1 x2与x1·x2会是常数吗？
经历众多的挫折后终于得到了一个好结果，学生喜出望外. 学生很快计算出x1 x2与x1·x2，发现它们也都不是常数. 看来经历这么多反思与探究只有下列结论是成立的.
结论3：斜率为定值k0的直线与抛物线y2=2px交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），则有y1 y2=.
对上述探究的思维基本告一段落，于是笔者引导学生再回头审思结论2.
教师：如果把结论2中的定点（a，0）确定为（2p，0），那么结论将变为：y1·y2= -4p2，x1·x2=4p2，显然这是一对相反数，这意味着什么呢？
一串联想会在学生脑子中生成，这时有学生想到：
学生5：=-1，即kOA·kOB=-1?OA⊥OB.
一个漂亮的结论就此形成：
结论4：过x轴上的任一定点（2p，0）的直线与抛物线y2=2px交于A，B两点，则有OA⊥OB. （其实这就是课本选修2-1第73页习题6的一般性结论）
显然，学生的激情已经被点燃，思维不断被打开，如果笔者不继续将这个问题深化下去，就错过了一个提高学生思维的最佳契机，笔者又追问一个问题：“还可否有一般性的猜想？能否证明？”话音刚落，就有学生举手了.
学生6：如果过原点O任作两直线交抛物线y2=2px于A，B两点，且OA⊥OB，则直线AB是否过定点P（2p，0）？
学生7：如果过抛物线y2=2px上任一点M作两直线交抛物线于A，B两点，且MA⊥MB，则直线AB是否过定点P（2p，0）？
学生8：已知椭圆 =1（a>b>0）的右顶点M，点A，B是椭圆上不同于M的两点，如果MA⊥MB，则直线AB是否过x轴定点？
课堂上学生还提出了其他不同的猜想，笔者一方面要鼓励学生大胆猜想，另一方面要防止学生不做探究妄下结论，要告诫学生切忌想当然，以此培养学生实事求是的科学态度，避免想当然的思维方式. 事实上，反思猜想1容易证明是正确的，但反思猜想2是不正确的，证明如下： 设A
，y1
，B
，y2
，M
，y0
，
则=
，y1-y0
，=
，y2-y0
，
由·=0得：y1y2 y0（y1 y2） y 4p2=0， ①
设AB的方程为：x=ty a，代入y2=2px得y2-2pty-2pa=0，
所以y1 y2=2pt，y1y2=-2pa，代入①式可得-a ty0 x0 2p=0，
即：x0 2p=n（-y0） a，
所以AB过定点（x0 2p，-y0）.
于是有下列结论成立：
结论5：过原点O任作两直线交抛物线y2=2px于A，B两点，且OA⊥OB，则直线AB过定点P（2p，0）.
结论6：过抛物线y2=2px上任一点M作两直线交抛物线于A，B两点，且MA⊥MB，则直线AB过定点（x0 2p，-y0）.
通过探究却发现结论6不像我们预想的那么美好. 可能这时学生的情绪会从一开始想到反思问题时的兴致高涨一下子跌到了低谷，思想上所承受的打击肯定是很大的，这时教师要给学生以鼓励，并告诫学生在科学探究道路上这种情况是经常发生的，我们要经得起打击，受得起挫折. 此时，笔者引导学生回到学生8的猜想，这是一个很好的思维迁移.
教师：同学们，在椭圆中是否有类似的结论呢？猜想3是否成立？
学生又恢复了激情，埋头计算起来，由于有一定的难度，故最后师生共同探究完成.
探究分析：设直线AB的方程为：x=my t，
联立x=my t，
=1，消去x可得（a2 m2b2）y2 2mtb2y b2（t2-a2）=0.
设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理知，y1 y2=-，y1y2=.
由题意有，·=0，即x1x2-a（x1 x2） a2 y1y2=0. （*）
又x1 x2=m（y1 y2） 2t，x1x2=（my1 t）·（my2 t）=m2y1y2 mt（y1 y2） t2，
分别代入（*）化简得，b2t ab2 a2t-a3=0，解得t=，
所以，直线AB恒过定点P
，0
.
于是，教师在黑板上写出了如下结论.
结论7：已知椭圆 =1（a>b>0）的右顶点M，点A，B是椭圆上不同于M的两点，如果MA⊥MB，则直线AB过定点P
，0
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教师：其实，根据上面的推导过程易知双曲线也有类似的结论，同学们可以课后证明如下结论.
结论8：已知双曲线-=1（a，b>0）的右顶点M，点A，B是双曲线上不同于M的两点，如果MA⊥MB，则直线AB过定点P
，0
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[?] 结束语
笔者有理由相信，经历了这种探究教学的整个过程，经历了成功与失望之后，学生在获得知识的同时，得到更多的是在数学问题的探究解决过程中提高了自身提出问题的意识、发现问题的能力. 科学的推理能力和决策能力，这才是探究性教学的价值所在. 与此同时，笔者也在这节课中收获颇丰，深深体会到今后要积极转变教学方式，从传统的知识传授者转向适应学生发展的促进者，转向学生学习的组织者、引导者、参与者、指导者和欣赏者，从而把传统文本主义的教学变成活动式教学，变学生被动参与为主动参与，变静态课堂为动态课堂.