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数学活动经验是学生个人经验的重要组成部分，是学生学习数学、提高数学素养的重要基础之一。数学活动经验存在于任一课型、任一教学内容的课堂教学中。笔者通过课堂教学研究发现，数学活动经验的形成是一个循序渐进的过程，是一个由少积多不断提升的过程，有时还需要借助知识的生长点不断优化。
帮助学生积累数学活动经验，教师的作用至关重要。本文尝试通过三个教学片段，立足课堂观察，透过案例分析，探索学生积累基本数学活动经验所必须经历的三个不同阶段。
一、从茫然无序到有效操作，看数学活动经验的激活
案例分析：“三角形三边关系”教学思考。
【课堂点击】
我所教学的两个平行班，四（1）班先上。
师：刚才同学们认识了三角形（指上一环节的教学内容），下面请大家拿出准备好的长度分别为10厘米、6厘米、5厘米、4厘米的小棒，任选其中的三根小棒围一围，看看能否围成三角形，试一试！
（待学生明确操作要求后，我放手让学生四人小组活动，要求边活动边记录操作结果。）
可学生的表现与我预设的全然不同：组内缺少合理的分工，各拼各的，一旦一个同学拼成一个三角形，就兴奋不已，并认为已经完成任务了；不会合理地记录，也没有全局的考虑，鲜有将所有情况一一尝试拼完的；汇报操作结果时，学生的发言是零散的，观察是片面的，结论是不完全的。为使学生较好地理解这一知识，我不得不重新指导操作。
四（2）班后上，我吸取四（1）班的经验教训，调整了活动组织方式。
师：刚才同学们认识了三角形（指上一环节的教学内容），下面请大家拿出准备好的长度分别为10厘米、6厘米、5厘米、4厘米的小棒，任选其中的三根小棒围一围，看看能否围成三角形，同桌合作，一人操作，一人记录。
师：先请同学们拿出10厘米、6厘米、5厘米这三根小棒围围看。（学生操作，发现能够围成一个三角形。）
师：我们可以把这一操作结果记录下来，板书示范——10厘米、6厘米、5厘米√。
师启发：还可以取哪三根围一围？（指名交流，学生列举）
师：下面请同桌继续合作，任选三根小棒围一围，像刚才那样一人操作，一人记录，把你得到的结果一一记录下来。
随后的操作过程，呈现出了与前一节课完全不同的一面：课堂不嘈杂了，学生的操作有秩序了，学会记录了，之后的交流自然全面了，结论也变得清晰了。
【教学感悟】
有感于这两次不同的教学，从茫然无序到有效操作，我觉得数学活动经验的积累是一个循序渐进的过程。就如同本案例中，在此前的学习过程中学生虽然已经经历过一定的操作探索过程，但有经历不一定有经验。
第一次教学之所以失败，就在于我主观地、简单地认为学生已经具备了小组合作的操作探索经验。但事实上是在四年级这样的学龄阶段，学生对小组合作、操作探索的活动形式已经有了一定的接触，但还没真正形成自主地合理分工、有序操作探索的经验。当学生遇到困难或没有头绪时，还需要教师及时地介入和引领，直接放手只会导致活动的盲目。另外，四年级的孩子虽已具备了一定的自控能力，但好奇心还是比较强的，所以当他们拼成一个三角形后，会不由自主地兴奋，并且被这种情绪占据主导地位，渐渐失去了继续操作探究的理性。所以，看似课堂闹腾了，学生在活动中表现得忙碌不已，实则，这样的操作探索是低效甚至无效的。
所以在这样一个学情背景之下，第二次的教学组织才是适合学生发展的。首先在半扶半放中指导学生合作的技巧、操作的步骤、记录的方法，从而激活原来的经验，然后再放手让学生在独立操作的活动过程中运用和强化这一经验。我想在几次这样的带领和指导下，让学生学会合作、学会操作、学会倾听、学会思考，让课堂静下来，让手、脑动起来，那么操作探索才会真实有效起来。也只有在这样的反复刺激下，学生才能真正获得操作探索的基本活动经验。
二、从单一活动到多重体验，看数学活动经验的提升
案例分析：“相遇问题”教学思考。
【课堂点击】
教师出示问题：小明和小芳同时从家里出发走向学校，经过4分钟后两人在校门口相遇。他们两家相距多少米？
1.演一演。
（学生读题后）师：谁愿意来给大家表演一下两位同学是怎么走的？
请两名学生上前演一演，一人扮演小明，一人扮演小芳，其余同学指挥，指示他们各自的站立地点（分别站在教室的两头）、站立方向（面对面站立）、怎么行走（同时向讲台走去）、何时停下（两人碰到的时候）。
2.圈一圈。
师：通过刚才的演示，请学生们圈出题目中能够反映表演过程的重点字词。（交流并圈出：同时、从家里出发、走向学校、相遇。）
师指导提炼出如下词语，并板书：同时、两地、相向而行、相遇。
3.比划比划。
师：你能用手势比划出这样的行走过程吗？
教师和学生一起伸出双手在身前比划：两手分开（两地）→掌心相对（相向）→同时向中间移动靠拢（同时相向而行）→最后掌心相碰合在一起（相遇）。如此反复多次，并在完成每一次动作后说说这一动作所代表的题意。
4.画一画。
师：小明和小芳经过几分钟在校门口相遇了？（4分钟）你是怎么理解这个4分钟的？（小明从家到学校走了4分钟，小芳从家到学校也走了4分钟。）
师：根据我们刚才的演示和分析，你会画图表示出题目的已有条件和问题吗？
学生尝试作图后，展示学生的作品，并结合课件演示进一步指导画线段图的方法和步骤，形成下图。
5.算一算。
方法一：70×4 60×4
=280 240
=520（米） 方法二：（70 60）×4
=130×4
=520（米）
对照线段图说说这两种解题思路，并对比两个算式的联系（符合乘法分配律），提炼两种解题思路。方法一：小明4分钟走的路程 小芳4分钟走的路程=总路程，方法二：（速度和）×时间=总路程。
【教学感悟】
四年级下册“解决问题的策略”第二课时，主要教学用画图的策略整理相遇问题的条件，发现内在联系，理解数量关系，形成解决问题的方法。在此之前学生已有了一定的关于行程问题的解题经验，知道了速度、时间和路程之间的关系，但“相遇问题”更为特殊更为复杂，参与对象由一个变为两个，不同的运动方式还会产生不同的解决问题的方法。因此，要将简单行程问题的解题经验提升为相遇问题的解题经验，如果单就教材意图，直接引导学生画图整理条件，这样的活动过程我个人觉得略显单薄，不利于学生形成对相遇问题的深刻认识。
所以我尝试组织了多重体验活动，期待等到学生在解决上述（或变式）问题时，具有丰富的相关经验积淀，综合分析问题和解题问题的能力更强。通过“演一演”让学生直观地感知小明和小芳的行走方式，把读题过程变成快乐活动的过程。通过“圈一圈”呼应之前的表演过程，提炼相遇问题中经常出现的专有名词，则是数学化的学习过程，为学生精练、准确地表达数学问题情境打下基础。通过“比划比划”，让每个学生都参与进来，亲身体会这一运动过程，将提炼出的运动名词简洁、直观地呈现出来，进一步加深对相遇问题运动方式的理解。这三次活动，为学生积累了有关运动方式的丰富的感性经验，但要想简化一些非数学成分，同时表示出运动中的速度和时间，线段图则是最合适的方法。随后结合线段图呈现的信息，分析解题思路，形成解题方法，让学生在“算一算”“比一比”的活动中感受策略价值：画图解决问题的策略能简要地呈现题中的各种信息，是遇到陌生问题“再分析、再创造”的有效途径。
充分的数学活动，促进学生的认识从模糊趋向清晰，从形象趋向抽象，从单一趋向多元，以此提升数学活动经验。在这样的多重体验下，学生原有的解题经验得以综合与提升，即使下次换一种运动方式，学生也能主动提取相关经验，触类旁通地解决问题。
三、从相同模式到认知突破，看数学活动经验的优化
案例分析：“乘法分配律”教学思考。
【课堂点击】
师生通过解决三个问题，得到了三组等式：（32 18）×5=32×5 18×5，（9 5）×8=9×8 5×8，（4 6）×3=4×3 6×3。
师：请同学们仔细观察这些算式，有什么相同和不同的地方？
生：我发现左边的算式都是加小括号的，右边的都是没有加小括号的。
师：这真是一个重要的发现。（顺势引导）加小括号是什么意思呀？
生：加小括号就是先算小括号里的。
师引导全班交流：那你们能说清等式左右两边算式的运算顺序吗？
生：左边的算式都是先算小括号里的加法，再算括号外面的乘法；右边的算式都是先算两个乘法，再算加法。
生：这两个式子左右两边虽然形式不同，但结果都是相等的。
师（肯定）：对，这些都是等式！
生：两边的数都是一样的，像第一个算式里左边有32、18、5这些数，右边也是这些数。
师（启发）：那这些数是怎样进行运算的？
生：都是把括号里的数分别去乘了括号外面的数。
师投以赞许的目光。
生：两边的符号也都是一样的，左边都是 ×，右边都是× ×。（再次说说不同的符号说明的运算顺序）
师：同学们的表现真不错，发现了这些算式中的这么多规律。那具有这些特点的式子你还能写吗？是不是所有符合这样特点的式子计算结果都相等呢？（学生举出类似的等式，验证刚才的发现。）
师：这样的式子能写完吗？（不能）写不完怎么办？（添上省略号）
师：如果要用一个式子概括出所有具有这样特征的式子，你有什么办法？（用字母表示）
学生交流。
师：我们用a、b、c三个字母表示三个数，（a b）×c=a×c b×c。看着这个字母式子，你能再说说这类算式的特点吗？
学生反思、交流，逐步概括出：两个数的和乘第三个数等于这两个数分别与第三个数相乘，再把它们的积相加。
【教学感悟】
课堂链接：教学“加法交换律”。
师生通过一系列教学环节得到了如下算式：8 7=7 8，19 5=5 19，21 36=36 21。
师：请同学们仔细观察这些等式，你发现这些算式有什么共同的特点吗？
生：把相加的两个数交换之后，它们的结果相等。
师：交换了什么？加法中的结果可以说成——和。谁来再说一下？
生：交换加数的位置，它们的和不变。
师：说得真好，两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。具有这样规律的等式你们还能写吗？能写出多少个？
生：能写，可以写无数个。（生举例验证刚才的发现）
师：既然这样的等式有无数个，就需要用一些简便的符号、图画或字母等来表示这种规律。能用自己喜欢的方法表示出这一发现吗？（指名不同学生板演）
揭示一般表示方法：a b=b a。
我们看到：学生在学习乘法分配律之前，已经通过学习加法交换律和结合律、乘法交换律和结合律，积累了一定的探索、观察、发现、概括规律的经验。虽然两个学习内容以不同的数学情境为载体，但探究这些规律具有相同的思维模式，探究过程是那样的相似：问题解决—得到等式—观察发现—验证规律—得出结论。
学生对乘法分配律意义的认识和概括，是类似探究经验的再现。但又由于乘法分配律含有乘加两级运算，变化形式更为复杂，原有的认知经验已不足以支撑现在的学习，需观察得更为细致，探究得更为深入，需新思想、新发现的植入。而且乘法分配律这类算式的特点，一向是学生表达叙述的难点，要让学生清晰、完整地理解乘法分配律的意义，需要学生群体的智慧。只有通过组织学生开展充分的交流活动，抓住新旧知识的生长点，巧妙地引领学生以发现启示发现，以思维启迪思维，才能达到新知的突破，实现原有探究经验的优化。正是看到了这一点，我在引导学生交流时，反复强调“左右两边算式的运算顺序”，以此作为学生观察发现的突破口、概括总结的着力点、新知学习的生长点，使学生的原认知经验在被多次调用、反思后，得以改造和优化，从而顺利地概括出乘法分配律的意义，抽象出乘法分配律的数学模型，完成数学活动经验更高层次的生长。
教学实践表明，数学活动经验一方面在于积累，另一方面也需要提升和优化，只有这样，数学活动经验才能成为学习的内在支撑。教师要通过研读教材，设计有效的数学活动，让学生在亲历中体验，在体验中积累，让经验的“根”长得更深。
帮助学生积累数学活动经验，教师的作用至关重要。本文尝试通过三个教学片段，立足课堂观察，透过案例分析，探索学生积累基本数学活动经验所必须经历的三个不同阶段。
一、从茫然无序到有效操作，看数学活动经验的激活
案例分析：“三角形三边关系”教学思考。
【课堂点击】
我所教学的两个平行班，四（1）班先上。
师：刚才同学们认识了三角形（指上一环节的教学内容），下面请大家拿出准备好的长度分别为10厘米、6厘米、5厘米、4厘米的小棒，任选其中的三根小棒围一围，看看能否围成三角形，试一试！
（待学生明确操作要求后，我放手让学生四人小组活动，要求边活动边记录操作结果。）
可学生的表现与我预设的全然不同：组内缺少合理的分工，各拼各的，一旦一个同学拼成一个三角形，就兴奋不已，并认为已经完成任务了；不会合理地记录，也没有全局的考虑，鲜有将所有情况一一尝试拼完的；汇报操作结果时，学生的发言是零散的，观察是片面的，结论是不完全的。为使学生较好地理解这一知识，我不得不重新指导操作。
四（2）班后上，我吸取四（1）班的经验教训，调整了活动组织方式。
师：刚才同学们认识了三角形（指上一环节的教学内容），下面请大家拿出准备好的长度分别为10厘米、6厘米、5厘米、4厘米的小棒，任选其中的三根小棒围一围，看看能否围成三角形，同桌合作，一人操作，一人记录。
师：先请同学们拿出10厘米、6厘米、5厘米这三根小棒围围看。（学生操作，发现能够围成一个三角形。）
师：我们可以把这一操作结果记录下来，板书示范——10厘米、6厘米、5厘米√。
师启发：还可以取哪三根围一围？（指名交流，学生列举）
师：下面请同桌继续合作，任选三根小棒围一围，像刚才那样一人操作，一人记录，把你得到的结果一一记录下来。
随后的操作过程，呈现出了与前一节课完全不同的一面：课堂不嘈杂了，学生的操作有秩序了，学会记录了，之后的交流自然全面了，结论也变得清晰了。
【教学感悟】
有感于这两次不同的教学，从茫然无序到有效操作，我觉得数学活动经验的积累是一个循序渐进的过程。就如同本案例中，在此前的学习过程中学生虽然已经经历过一定的操作探索过程，但有经历不一定有经验。
第一次教学之所以失败，就在于我主观地、简单地认为学生已经具备了小组合作的操作探索经验。但事实上是在四年级这样的学龄阶段，学生对小组合作、操作探索的活动形式已经有了一定的接触，但还没真正形成自主地合理分工、有序操作探索的经验。当学生遇到困难或没有头绪时，还需要教师及时地介入和引领，直接放手只会导致活动的盲目。另外，四年级的孩子虽已具备了一定的自控能力，但好奇心还是比较强的，所以当他们拼成一个三角形后，会不由自主地兴奋，并且被这种情绪占据主导地位，渐渐失去了继续操作探究的理性。所以，看似课堂闹腾了，学生在活动中表现得忙碌不已，实则，这样的操作探索是低效甚至无效的。
所以在这样一个学情背景之下，第二次的教学组织才是适合学生发展的。首先在半扶半放中指导学生合作的技巧、操作的步骤、记录的方法，从而激活原来的经验，然后再放手让学生在独立操作的活动过程中运用和强化这一经验。我想在几次这样的带领和指导下，让学生学会合作、学会操作、学会倾听、学会思考，让课堂静下来，让手、脑动起来，那么操作探索才会真实有效起来。也只有在这样的反复刺激下，学生才能真正获得操作探索的基本活动经验。
二、从单一活动到多重体验，看数学活动经验的提升
案例分析：“相遇问题”教学思考。
【课堂点击】
教师出示问题：小明和小芳同时从家里出发走向学校，经过4分钟后两人在校门口相遇。他们两家相距多少米？
1.演一演。
（学生读题后）师：谁愿意来给大家表演一下两位同学是怎么走的？
请两名学生上前演一演，一人扮演小明，一人扮演小芳，其余同学指挥，指示他们各自的站立地点（分别站在教室的两头）、站立方向（面对面站立）、怎么行走（同时向讲台走去）、何时停下（两人碰到的时候）。
2.圈一圈。
师：通过刚才的演示，请学生们圈出题目中能够反映表演过程的重点字词。（交流并圈出：同时、从家里出发、走向学校、相遇。）
师指导提炼出如下词语，并板书：同时、两地、相向而行、相遇。
3.比划比划。
师：你能用手势比划出这样的行走过程吗？
教师和学生一起伸出双手在身前比划：两手分开（两地）→掌心相对（相向）→同时向中间移动靠拢（同时相向而行）→最后掌心相碰合在一起（相遇）。如此反复多次，并在完成每一次动作后说说这一动作所代表的题意。
4.画一画。
师：小明和小芳经过几分钟在校门口相遇了？（4分钟）你是怎么理解这个4分钟的？（小明从家到学校走了4分钟，小芳从家到学校也走了4分钟。）
师：根据我们刚才的演示和分析，你会画图表示出题目的已有条件和问题吗？
学生尝试作图后，展示学生的作品，并结合课件演示进一步指导画线段图的方法和步骤，形成下图。
5.算一算。
方法一：70×4 60×4
=280 240
=520（米） 方法二：（70 60）×4
=130×4
=520（米）
对照线段图说说这两种解题思路，并对比两个算式的联系（符合乘法分配律），提炼两种解题思路。方法一：小明4分钟走的路程 小芳4分钟走的路程=总路程，方法二：（速度和）×时间=总路程。
【教学感悟】
四年级下册“解决问题的策略”第二课时，主要教学用画图的策略整理相遇问题的条件，发现内在联系，理解数量关系，形成解决问题的方法。在此之前学生已有了一定的关于行程问题的解题经验，知道了速度、时间和路程之间的关系，但“相遇问题”更为特殊更为复杂，参与对象由一个变为两个，不同的运动方式还会产生不同的解决问题的方法。因此，要将简单行程问题的解题经验提升为相遇问题的解题经验，如果单就教材意图，直接引导学生画图整理条件，这样的活动过程我个人觉得略显单薄，不利于学生形成对相遇问题的深刻认识。
所以我尝试组织了多重体验活动，期待等到学生在解决上述（或变式）问题时，具有丰富的相关经验积淀，综合分析问题和解题问题的能力更强。通过“演一演”让学生直观地感知小明和小芳的行走方式，把读题过程变成快乐活动的过程。通过“圈一圈”呼应之前的表演过程，提炼相遇问题中经常出现的专有名词，则是数学化的学习过程，为学生精练、准确地表达数学问题情境打下基础。通过“比划比划”，让每个学生都参与进来，亲身体会这一运动过程，将提炼出的运动名词简洁、直观地呈现出来，进一步加深对相遇问题运动方式的理解。这三次活动，为学生积累了有关运动方式的丰富的感性经验，但要想简化一些非数学成分，同时表示出运动中的速度和时间，线段图则是最合适的方法。随后结合线段图呈现的信息，分析解题思路，形成解题方法，让学生在“算一算”“比一比”的活动中感受策略价值：画图解决问题的策略能简要地呈现题中的各种信息，是遇到陌生问题“再分析、再创造”的有效途径。
充分的数学活动，促进学生的认识从模糊趋向清晰，从形象趋向抽象，从单一趋向多元，以此提升数学活动经验。在这样的多重体验下，学生原有的解题经验得以综合与提升，即使下次换一种运动方式，学生也能主动提取相关经验，触类旁通地解决问题。
三、从相同模式到认知突破，看数学活动经验的优化
案例分析：“乘法分配律”教学思考。
【课堂点击】
师生通过解决三个问题，得到了三组等式：（32 18）×5=32×5 18×5，（9 5）×8=9×8 5×8，（4 6）×3=4×3 6×3。
师：请同学们仔细观察这些算式，有什么相同和不同的地方？
生：我发现左边的算式都是加小括号的，右边的都是没有加小括号的。
师：这真是一个重要的发现。（顺势引导）加小括号是什么意思呀？
生：加小括号就是先算小括号里的。
师引导全班交流：那你们能说清等式左右两边算式的运算顺序吗？
生：左边的算式都是先算小括号里的加法，再算括号外面的乘法；右边的算式都是先算两个乘法，再算加法。
生：这两个式子左右两边虽然形式不同，但结果都是相等的。
师（肯定）：对，这些都是等式！
生：两边的数都是一样的，像第一个算式里左边有32、18、5这些数，右边也是这些数。
师（启发）：那这些数是怎样进行运算的？
生：都是把括号里的数分别去乘了括号外面的数。
师投以赞许的目光。
生：两边的符号也都是一样的，左边都是 ×，右边都是× ×。（再次说说不同的符号说明的运算顺序）
师：同学们的表现真不错，发现了这些算式中的这么多规律。那具有这些特点的式子你还能写吗？是不是所有符合这样特点的式子计算结果都相等呢？（学生举出类似的等式，验证刚才的发现。）
师：这样的式子能写完吗？（不能）写不完怎么办？（添上省略号）
师：如果要用一个式子概括出所有具有这样特征的式子，你有什么办法？（用字母表示）
学生交流。
师：我们用a、b、c三个字母表示三个数，（a b）×c=a×c b×c。看着这个字母式子，你能再说说这类算式的特点吗？
学生反思、交流，逐步概括出：两个数的和乘第三个数等于这两个数分别与第三个数相乘，再把它们的积相加。
【教学感悟】
课堂链接：教学“加法交换律”。
师生通过一系列教学环节得到了如下算式：8 7=7 8，19 5=5 19，21 36=36 21。
师：请同学们仔细观察这些等式，你发现这些算式有什么共同的特点吗？
生：把相加的两个数交换之后，它们的结果相等。
师：交换了什么？加法中的结果可以说成——和。谁来再说一下？
生：交换加数的位置，它们的和不变。
师：说得真好，两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。具有这样规律的等式你们还能写吗？能写出多少个？
生：能写，可以写无数个。（生举例验证刚才的发现）
师：既然这样的等式有无数个，就需要用一些简便的符号、图画或字母等来表示这种规律。能用自己喜欢的方法表示出这一发现吗？（指名不同学生板演）
揭示一般表示方法：a b=b a。
我们看到：学生在学习乘法分配律之前，已经通过学习加法交换律和结合律、乘法交换律和结合律，积累了一定的探索、观察、发现、概括规律的经验。虽然两个学习内容以不同的数学情境为载体，但探究这些规律具有相同的思维模式，探究过程是那样的相似：问题解决—得到等式—观察发现—验证规律—得出结论。
学生对乘法分配律意义的认识和概括，是类似探究经验的再现。但又由于乘法分配律含有乘加两级运算，变化形式更为复杂，原有的认知经验已不足以支撑现在的学习，需观察得更为细致，探究得更为深入，需新思想、新发现的植入。而且乘法分配律这类算式的特点，一向是学生表达叙述的难点，要让学生清晰、完整地理解乘法分配律的意义，需要学生群体的智慧。只有通过组织学生开展充分的交流活动，抓住新旧知识的生长点，巧妙地引领学生以发现启示发现，以思维启迪思维，才能达到新知的突破，实现原有探究经验的优化。正是看到了这一点，我在引导学生交流时，反复强调“左右两边算式的运算顺序”，以此作为学生观察发现的突破口、概括总结的着力点、新知学习的生长点，使学生的原认知经验在被多次调用、反思后，得以改造和优化，从而顺利地概括出乘法分配律的意义，抽象出乘法分配律的数学模型，完成数学活动经验更高层次的生长。
教学实践表明，数学活动经验一方面在于积累，另一方面也需要提升和优化，只有这样，数学活动经验才能成为学习的内在支撑。教师要通过研读教材，设计有效的数学活动，让学生在亲历中体验，在体验中积累，让经验的“根”长得更深。