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创造性思维是完成创造性劳动，培养创造性人才不可缺少的心理因素。创造性思维的实质就是求新、求异、求变，追求创新、发明，打破框框，不拘一格，具有鲜明的主动性和独创性。集中型思维和发散型思维是构成创造性思维的必要成分，对创造性思维来说，二者缺一不可。但是，在创在性思维的形成和发展中，培养发散型思维尤为重要。
所谓发散型思维，又叫求异思维，就是从某一点出发，运用全部的信息进行发散性联想，朝着不同的方向，去探索多种解决问题的方案的思维过程。发散思维一般是在问题存在多种可能的解决方案，但却不能肯定哪一种是正确的情况下进行的，发散思维开始时往往是在常识范围内进行思索，通过不断摸索尝试，反复变通，找到新的发散方向，产生新型成分。发散型思维方法是向外扩展的，有可能找到更多更好的方案。因此，发散型思维具有多向性、独立性、探索性、运动性等特征，它在创造性思维中占有主导地位。
数学是思维的体操，因此，数学教师在教学中必须研究教材、研究学生、研究教法、研究学法。创设最佳思维情境，激发学生的学习兴趣，有计划、有目的地培养学生的发散思维。牛顿说过：“例子有时比定律更重要”。因此，精选典型习题，鼓励学生一题多解、一题多变，进行归纳、总结，是培养发散思维的重要方法。
求线段的比及比例线段的证明是平面几何重要内容之一，也是学生普遍感到棘手的问题。究其原因有二，其一：不知如何构造相似三角形；其二：不知如何添加平行线，构造平行线分线段成比例。下面结合一个例题谈谈具体做法。
一、一题多解，思维发散
让学生用已学过的知识从不同角度、不同方向，多方位观察，纵横联想，积极探索，大胆猜测，这是寻求解决问题的各种方案的集中表现。一题多解就是这种理论的具体化。因此一题多解对于调动学生学习数学的积极性、主动性，拓宽解题思路，培养学生的探索精神和发散思维能力有着重要的意义。通过各种方法的讨论和比较，可以达到择优弃劣，提高解题速度和质量的目的，有利于学生思维品质的发展。
例：已知，如图（1），B、E分别是DC和AB的中点， 延长DE交于点F，求 的值。
创设思维情境，引发学习动机，教师要精心设疑、激疑，从而转化为强烈的学习要求。求线段的比必须有相似三角形或平行线分线段，但和所在的三角形不相似，怎样添加辅助线，构造成比例线段呢？启发学生回忆：经常过线段的中点作平行线。
解法一：如图（1-1），作 交 于点 ，
是 的中点， ，又 ， ， 。
解法二：如图（1-2），作 交 于点 ， 是 的中点， ， 又 是 的中点， ， 。
解法三：如图（1-3），连 ，过点 作 分别交 于点 ， 是 的中点， 是 的中点，
，又 是 的中点， ， ， 。
解法四：如图（1-4），连 ，作 别交 的延长线于点 ，连
作 别交 于点 ， 是 的中点，
又 是 的中点， ，又易证 ，
， ， ， ，即 。
解法三：如图（1-3），作 交 于点 ， 是 的中点， 是 的中点， ， ， ， 。
解法四：如图（1-4），作 交 于点 ， 是 的中点， ，又 是 的中点， ， ，
展示思维过程，指导学生联想、探索、总结，指导学生在实践的基础上有所发现、有所突破、有所创新，这是发展发散思维的要求。引导学生及时总结这四种解法的共同之处：过线段的中点作平行线，构造出平行线分线段成比例定理的条件，且三角形中位线在每种解法中都发挥着巨大的贡献。如果不过中点，比如过不是中点的分 作平行线是否也能求解呢？
解法五：如图（1-5），作 交 于点 ， ， ， ， ， ， ， ，
解法六：如图（1-6），作 交 于点 ， ， ，又 ， ， ， ， ，
调动学生学习积极性，人人开动脑筋，个个发挥聪明才智，不仅达到提高解题能力的目的，而且把教学推向一个新的台阶。刚才过三个“分点”作平行线有种解决方案，那么过三个“端点”是否也有解决方案呢？引路指津，诱导思维。
解法七：如图（1-7），作 交 的延长线于点 ， 是 的中点， 是 的中点， ， ， ，
解法八：如图（1-8），作 交 的延长线于点 ， 是 的中点， ， ， ，即 ， 解得
解法九：如图（1-9），作 交 的延长线于点 ， 是 的中点， 是 的中点， ， ， ， ，
解法十：如图（1-10），作 交的延长线于点 ， 是 的中点， 是 的中点， ，
解法十一：如图（1-11），作 交 的延长线于点 ， 是 的中点， ，又 ， ， ，
解法十二：如图（1-12），作 交 的延长线于点 ， 是 的中点， ，又 是 的中点， ， ， ， 。
如此一题多解，不仅开阔了学生的视野，提高了学习的兴趣，使学生的知识更灵活、更牢固，而且使学生的发散思维能力得到锻炼和培养。
二、一题多变，巩固发散
美国著名数学家G·波利亚曾说过：“一种想法使用过一次是一个技巧，经过多次使用，就可以成为一种方法”。一题多变即变式练习是数学中训练思维的常用手段之一，数学题目往往能进行改造、变换。如题目的多种叙述方式、交换条件和结论、削弱条件或加强条件等。因此，在例题的选讲中，不能仅仅满足于就题论题，应注意多角度、多途径、全方位地对例题进行分析和挖掘，对例题进行“一题多变”，探索例题的解法和解题规律。这样不但能以点串线、举一反三，有利于调动学生向学习的兴趣和积极性，从而将知识深化，而且能较好地培养学生的发散思维能力，防止思维僵化，提高解题能力。
变式1：例题中 、 、 它们各自被分割的两条线段之比现在都知道了，那么 与 的比值是多少？能求出了吗？
变式2：如果将例题中“ 为 的中点”改为 与 的比值是2，能否还有办法求得 与 的比值吗？
变式3：已知，如图（2）， ，求 的值。
上面变式1和变式2中的图形没变，只是比值变动而已；变式3的图形几乎一样，只是此处仅一个中点。下面的两个习题表面上看图形变化很大，研究后发现可以去掉图形中的某线段，解法就一样了。
变式4：已知，如图（3），△ 中， 为 上一点， ， 是 的中点，求 的值。
变式5：已知，如图（4），△ 中， ， 是 边上的高， 是 的中点， 的延长线交 于 ，求证
上面的五个题目都有十二种解法，由于篇幅所限，不再一一赘述。如此借题发挥，一题多变，以点串线，对培养学生由表及里、由此及彼的思维方法起到了触类旁通的效果，同时又巩固了发散思维。
通过上述各题的练习，让学生体会数学的奥妙，勤于思考，多做、多总结，就会发现许多问题都有多种解法，同时许多问题的解法又是类似的，只要做个有心人，必定会事半功倍。作为数学教师，要深入钻研教材，精心设计教法，充分利用典型例题的延展性、开拓性，引导学生积极联想，激发学生的学习兴趣和求知欲望，培养学生的发散型思维。以上只是笔者在教学中的一点粗浅的体会，不足之处有待于今后不断探讨、求索。
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收稿日期：2014-09-29
所谓发散型思维，又叫求异思维，就是从某一点出发，运用全部的信息进行发散性联想，朝着不同的方向，去探索多种解决问题的方案的思维过程。发散思维一般是在问题存在多种可能的解决方案，但却不能肯定哪一种是正确的情况下进行的，发散思维开始时往往是在常识范围内进行思索，通过不断摸索尝试，反复变通，找到新的发散方向，产生新型成分。发散型思维方法是向外扩展的，有可能找到更多更好的方案。因此，发散型思维具有多向性、独立性、探索性、运动性等特征，它在创造性思维中占有主导地位。
数学是思维的体操，因此，数学教师在教学中必须研究教材、研究学生、研究教法、研究学法。创设最佳思维情境，激发学生的学习兴趣，有计划、有目的地培养学生的发散思维。牛顿说过：“例子有时比定律更重要”。因此，精选典型习题，鼓励学生一题多解、一题多变，进行归纳、总结，是培养发散思维的重要方法。
求线段的比及比例线段的证明是平面几何重要内容之一，也是学生普遍感到棘手的问题。究其原因有二，其一：不知如何构造相似三角形；其二：不知如何添加平行线，构造平行线分线段成比例。下面结合一个例题谈谈具体做法。
一、一题多解，思维发散
让学生用已学过的知识从不同角度、不同方向，多方位观察，纵横联想，积极探索，大胆猜测，这是寻求解决问题的各种方案的集中表现。一题多解就是这种理论的具体化。因此一题多解对于调动学生学习数学的积极性、主动性，拓宽解题思路，培养学生的探索精神和发散思维能力有着重要的意义。通过各种方法的讨论和比较，可以达到择优弃劣，提高解题速度和质量的目的，有利于学生思维品质的发展。
例：已知，如图（1），B、E分别是DC和AB的中点， 延长DE交于点F，求 的值。
创设思维情境，引发学习动机，教师要精心设疑、激疑，从而转化为强烈的学习要求。求线段的比必须有相似三角形或平行线分线段，但和所在的三角形不相似，怎样添加辅助线，构造成比例线段呢？启发学生回忆：经常过线段的中点作平行线。
解法一：如图（1-1），作 交 于点 ，
是 的中点， ，又 ， ， 。
解法二：如图（1-2），作 交 于点 ， 是 的中点， ， 又 是 的中点， ， 。
解法三：如图（1-3），连 ，过点 作 分别交 于点 ， 是 的中点， 是 的中点，
，又 是 的中点， ， ， 。
解法四：如图（1-4），连 ，作 别交 的延长线于点 ，连
作 别交 于点 ， 是 的中点，
又 是 的中点， ，又易证 ，
， ， ， ，即 。
解法三：如图（1-3），作 交 于点 ， 是 的中点， 是 的中点， ， ， ， 。
解法四：如图（1-4），作 交 于点 ， 是 的中点， ，又 是 的中点， ， ，
展示思维过程，指导学生联想、探索、总结，指导学生在实践的基础上有所发现、有所突破、有所创新，这是发展发散思维的要求。引导学生及时总结这四种解法的共同之处：过线段的中点作平行线，构造出平行线分线段成比例定理的条件，且三角形中位线在每种解法中都发挥着巨大的贡献。如果不过中点，比如过不是中点的分 作平行线是否也能求解呢？
解法五：如图（1-5），作 交 于点 ， ， ， ， ， ， ， ，
解法六：如图（1-6），作 交 于点 ， ， ，又 ， ， ， ， ，
调动学生学习积极性，人人开动脑筋，个个发挥聪明才智，不仅达到提高解题能力的目的，而且把教学推向一个新的台阶。刚才过三个“分点”作平行线有种解决方案，那么过三个“端点”是否也有解决方案呢？引路指津，诱导思维。
解法七：如图（1-7），作 交 的延长线于点 ， 是 的中点， 是 的中点， ， ， ，
解法八：如图（1-8），作 交 的延长线于点 ， 是 的中点， ， ， ，即 ， 解得
解法九：如图（1-9），作 交 的延长线于点 ， 是 的中点， 是 的中点， ， ， ， ，
解法十：如图（1-10），作 交的延长线于点 ， 是 的中点， 是 的中点， ，
解法十一：如图（1-11），作 交 的延长线于点 ， 是 的中点， ，又 ， ， ，
解法十二：如图（1-12），作 交 的延长线于点 ， 是 的中点， ，又 是 的中点， ， ， ， 。
如此一题多解，不仅开阔了学生的视野，提高了学习的兴趣，使学生的知识更灵活、更牢固，而且使学生的发散思维能力得到锻炼和培养。
二、一题多变，巩固发散
美国著名数学家G·波利亚曾说过：“一种想法使用过一次是一个技巧，经过多次使用，就可以成为一种方法”。一题多变即变式练习是数学中训练思维的常用手段之一，数学题目往往能进行改造、变换。如题目的多种叙述方式、交换条件和结论、削弱条件或加强条件等。因此，在例题的选讲中，不能仅仅满足于就题论题，应注意多角度、多途径、全方位地对例题进行分析和挖掘，对例题进行“一题多变”，探索例题的解法和解题规律。这样不但能以点串线、举一反三，有利于调动学生向学习的兴趣和积极性，从而将知识深化，而且能较好地培养学生的发散思维能力，防止思维僵化，提高解题能力。
变式1：例题中 、 、 它们各自被分割的两条线段之比现在都知道了，那么 与 的比值是多少？能求出了吗？
变式2：如果将例题中“ 为 的中点”改为 与 的比值是2，能否还有办法求得 与 的比值吗？
变式3：已知，如图（2）， ，求 的值。
上面变式1和变式2中的图形没变，只是比值变动而已；变式3的图形几乎一样，只是此处仅一个中点。下面的两个习题表面上看图形变化很大，研究后发现可以去掉图形中的某线段，解法就一样了。
变式4：已知，如图（3），△ 中， 为 上一点， ， 是 的中点，求 的值。
变式5：已知，如图（4），△ 中， ， 是 边上的高， 是 的中点， 的延长线交 于 ，求证
上面的五个题目都有十二种解法，由于篇幅所限，不再一一赘述。如此借题发挥，一题多变，以点串线，对培养学生由表及里、由此及彼的思维方法起到了触类旁通的效果，同时又巩固了发散思维。
通过上述各题的练习，让学生体会数学的奥妙，勤于思考，多做、多总结，就会发现许多问题都有多种解法，同时许多问题的解法又是类似的，只要做个有心人，必定会事半功倍。作为数学教师，要深入钻研教材，精心设计教法，充分利用典型例题的延展性、开拓性，引导学生积极联想，激发学生的学习兴趣和求知欲望，培养学生的发散型思维。以上只是笔者在教学中的一点粗浅的体会，不足之处有待于今后不断探讨、求索。
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收稿日期：2014-09-29