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摘要：APOS理论是关于数学概念学习的基本模型，在小学数学概念教学中，教师可以根据操作或活动阶段、过程阶段、对象阶段和图式阶段教学，从而有效提高小学数学概念教学效果。教师应该根据小学数学的基本概念，结合教材的知识内容，引入丰富的生活资源，合理设计相关活动，落实APOS理论，更好地提高小学数学概念教学效果。本文主要以青岛版“三角形的认识”为例，探究这一教学方法。
关键词：APOS理论;小学数学;概念教学;三角形;活动
数学概念是数学最为基础的内容。数学概念的基本内涵，是人们在感性认识的基础上，对客观世界和事物等进行观察、比较、分析、概括、判断、综合和抽象得出的理论，是在思维活动中逐步认识到世界和事物的本质形成的。所以这就导致了数学概念具有高度的抽象性，不利于小学生理解和学习。因此，在小学数学教学中，为了让学生更好地理解各类数学概念，教师常常会引入与概念相关的各类资源信息，包括文本、图片、动画和视频等，而结合这些资源运用APOS理论教学，则能够提升数学概念教学效果。
一、小学数学概念教学之APOS理论的活动阶段
在小学数学概念教学中，运用APOS理论教学能够更好地展现数学概念的形成流程，能够引导学生个体通过自主探究掌握数学概念形成的全过程，更好地让学生理解数学概念的本质，从而更好地在数学概念的基础上理解各类数学运算法则、基本规则等。在小学数学“三角形的认识”实际教学中，为了更好地落实APOS理论、提高概念教学效果，教师既要结合教材内容进行教学，也应该根据实际需要打乱顺序、改变和拓展知识内容等。对于这节课的教学，教师应该在认真分析本课内容的基础上，主要探究与三角形相关的概念，比如三角形的“顶点、对边、垂线、垂足、高、底”等概念。要如何让学生理解呢？
基于APOS理论，在活动阶段，教师可以指导学生观察、回顾、思考、想象和判断，引导学生通过实际操作、实验和探究等更好地理解和掌握三角形的基础概念，从而有效提升概念教学效果。例如，在三角形的基本定义概念教学中，教师可以先利用多媒体引入金字塔、斜拉桥、自行车结构等与三角形相关的图片，让学生指出其中的三角形，之后让学生回顾生活中还有哪些东西是三角形。教师再让学生利用工具自己动手画一个三角形，让学生思考和判断什么样的图形才是三角形，怎样才能画出规范的三角形。最后教师用大屏幕展示各类图形，让学生指出哪些是三角形。在有关三角形的底和高的概念教学中，教师可以先提出以下问题：回顾平行四边形和长方形的基本特征，三角形也有底和高吗？怎样确定三角形的底和高？你能在刚才自己画的三角形中画出高吗？接着用动画展示三角形的高的形成示意图，让学生上讲台，利用工具动手画出锐角三角形的高;接着教师再展示不同形态的三角形，指导学生通过不同顶点画出这些三角形的高。
二、小学数学概念教学之APOS理论的过程阶段
为了将外在的活动内化为学生的思维过程，将学生头脑中的思维直观地展示出来，从而引导学生思考、分析和反思思维过程，抽象出概念的本质特征，教师可以继续落实APOS理论的过程阶段。在前面活动的基’础上，学生对数学基础概念有了一般性认识，对数学概念的本质有了更深层次的认识（认知），从最初的感性认识提升到理性认识，对于理解数学概念具有重要作用。
教师在落实过程阶段中，为了让学生更好地理解三角形的基本定义、三角形的底和高，可以分别指导学生描述出三角形的画作过程，描述出什么样的图形才是三角形，辨别出三角形的底和高。在指导学生描述出三角形的画作过程中，教师可以指导学生两两合作，一人描述画三角形的流程和要求，一人根据流程和要求画出对应的三角形。比如，某些学生要求按照正向/逆向顺序画，根据一条线段和线段外一点画出等。在指导学生描述出什么样的图形才是三角形的过程中，教师可以先让学生说出自己认为的三角形的特点，再举出反例，在不断修改和求证中将学生的思维直观地展现出来，让学生更好地理解三角形的定义。教师需要引导学生从说出“有三条边的图形就是三角形”到说出“三角形是三个角、三条边和三个顶点的组合图形”，并画出三角形。在辨别三角形的底和高的过程中，教师同样可以运用以上类似方法指导学生认知这些概念。
三、小学数学概念教学之APOS理论的对象阶段
这个阶段是一个内在的思维活动过程。在对象阶段，教师应该将学生概念形成的动态活动过程引导转变为结构关系，从而更好地帮助学生深入理解数学概念，对数学概念的本质内涵进行整体掌握。在“三角形的认识”概念教学中，在以上教学的基础上，教师可以展示一个锐角三角形、一个直角三角形、一个钝角三角形，让学生试着说出每个三角形各部位的名称，试着画出这些三角形的高。教师可以让学生结合锐角三角形三条高的画法，思考直角和钝角三角形三条高的画法，指导学生结合“底和高的对应关系”理论以及三边和三顶点画出。教师在指导学生运用所学概念解决实际问题的过程中，更好地促进学生内化和巩固三角形的基本概念。
四、小学数学概念教学之APOS理论的图式阶段
這个阶段是学生对数学概念进行更高层次、更深度的思维整合和加工的过程，有利于促进学生进一步深化理解数学概念。教师可以根据具体的概念内容提出一些启发性、探究性的问题，让学生结合已学知识和经验进行独立思考、合作探究等。比如，我们经过以上学习，认知到了三角形定义、基本特征、底和高等概念。那么它们之间有什么联系吗？教师根据学生的回答进行总结：三条边确定每个三角形都由三条边组成，而每两条边组成一个角，每个角又有一个顶点，有了边、角、顶点才能确定三角形。综上所述，基于APOS理论视角下的小学数学概念教学，教师应该在分析APOS理论的基本内涵基础上，结合这一概念和基本的数学课程知识，引入与数学概念相关的图片、动画和视频等资源，运用多媒体课件和微视频等进行教学。教师根据APOS理论中的活动阶段、过程阶段、对象阶段、图式阶段教学，从而提升小学数学概念的教学效果。
关键词：APOS理论;小学数学;概念教学;三角形;活动
数学概念是数学最为基础的内容。数学概念的基本内涵，是人们在感性认识的基础上，对客观世界和事物等进行观察、比较、分析、概括、判断、综合和抽象得出的理论，是在思维活动中逐步认识到世界和事物的本质形成的。所以这就导致了数学概念具有高度的抽象性，不利于小学生理解和学习。因此，在小学数学教学中，为了让学生更好地理解各类数学概念，教师常常会引入与概念相关的各类资源信息，包括文本、图片、动画和视频等，而结合这些资源运用APOS理论教学，则能够提升数学概念教学效果。
一、小学数学概念教学之APOS理论的活动阶段
在小学数学概念教学中，运用APOS理论教学能够更好地展现数学概念的形成流程，能够引导学生个体通过自主探究掌握数学概念形成的全过程，更好地让学生理解数学概念的本质，从而更好地在数学概念的基础上理解各类数学运算法则、基本规则等。在小学数学“三角形的认识”实际教学中，为了更好地落实APOS理论、提高概念教学效果，教师既要结合教材内容进行教学，也应该根据实际需要打乱顺序、改变和拓展知识内容等。对于这节课的教学，教师应该在认真分析本课内容的基础上，主要探究与三角形相关的概念，比如三角形的“顶点、对边、垂线、垂足、高、底”等概念。要如何让学生理解呢？
基于APOS理论，在活动阶段，教师可以指导学生观察、回顾、思考、想象和判断，引导学生通过实际操作、实验和探究等更好地理解和掌握三角形的基础概念，从而有效提升概念教学效果。例如，在三角形的基本定义概念教学中，教师可以先利用多媒体引入金字塔、斜拉桥、自行车结构等与三角形相关的图片，让学生指出其中的三角形，之后让学生回顾生活中还有哪些东西是三角形。教师再让学生利用工具自己动手画一个三角形，让学生思考和判断什么样的图形才是三角形，怎样才能画出规范的三角形。最后教师用大屏幕展示各类图形，让学生指出哪些是三角形。在有关三角形的底和高的概念教学中，教师可以先提出以下问题：回顾平行四边形和长方形的基本特征，三角形也有底和高吗？怎样确定三角形的底和高？你能在刚才自己画的三角形中画出高吗？接着用动画展示三角形的高的形成示意图，让学生上讲台，利用工具动手画出锐角三角形的高;接着教师再展示不同形态的三角形，指导学生通过不同顶点画出这些三角形的高。
二、小学数学概念教学之APOS理论的过程阶段
为了将外在的活动内化为学生的思维过程，将学生头脑中的思维直观地展示出来，从而引导学生思考、分析和反思思维过程，抽象出概念的本质特征，教师可以继续落实APOS理论的过程阶段。在前面活动的基’础上，学生对数学基础概念有了一般性认识，对数学概念的本质有了更深层次的认识（认知），从最初的感性认识提升到理性认识，对于理解数学概念具有重要作用。
教师在落实过程阶段中，为了让学生更好地理解三角形的基本定义、三角形的底和高，可以分别指导学生描述出三角形的画作过程，描述出什么样的图形才是三角形，辨别出三角形的底和高。在指导学生描述出三角形的画作过程中，教师可以指导学生两两合作，一人描述画三角形的流程和要求，一人根据流程和要求画出对应的三角形。比如，某些学生要求按照正向/逆向顺序画，根据一条线段和线段外一点画出等。在指导学生描述出什么样的图形才是三角形的过程中，教师可以先让学生说出自己认为的三角形的特点，再举出反例，在不断修改和求证中将学生的思维直观地展现出来，让学生更好地理解三角形的定义。教师需要引导学生从说出“有三条边的图形就是三角形”到说出“三角形是三个角、三条边和三个顶点的组合图形”，并画出三角形。在辨别三角形的底和高的过程中，教师同样可以运用以上类似方法指导学生认知这些概念。
三、小学数学概念教学之APOS理论的对象阶段
这个阶段是一个内在的思维活动过程。在对象阶段，教师应该将学生概念形成的动态活动过程引导转变为结构关系，从而更好地帮助学生深入理解数学概念，对数学概念的本质内涵进行整体掌握。在“三角形的认识”概念教学中，在以上教学的基础上，教师可以展示一个锐角三角形、一个直角三角形、一个钝角三角形，让学生试着说出每个三角形各部位的名称，试着画出这些三角形的高。教师可以让学生结合锐角三角形三条高的画法，思考直角和钝角三角形三条高的画法，指导学生结合“底和高的对应关系”理论以及三边和三顶点画出。教师在指导学生运用所学概念解决实际问题的过程中，更好地促进学生内化和巩固三角形的基本概念。
四、小学数学概念教学之APOS理论的图式阶段
這个阶段是学生对数学概念进行更高层次、更深度的思维整合和加工的过程，有利于促进学生进一步深化理解数学概念。教师可以根据具体的概念内容提出一些启发性、探究性的问题，让学生结合已学知识和经验进行独立思考、合作探究等。比如，我们经过以上学习，认知到了三角形定义、基本特征、底和高等概念。那么它们之间有什么联系吗？教师根据学生的回答进行总结：三条边确定每个三角形都由三条边组成，而每两条边组成一个角，每个角又有一个顶点，有了边、角、顶点才能确定三角形。综上所述，基于APOS理论视角下的小学数学概念教学，教师应该在分析APOS理论的基本内涵基础上，结合这一概念和基本的数学课程知识，引入与数学概念相关的图片、动画和视频等资源，运用多媒体课件和微视频等进行教学。教师根据APOS理论中的活动阶段、过程阶段、对象阶段、图式阶段教学，从而提升小学数学概念的教学效果。