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一、抽屉原理的基本理论
把5个苹果放到4个抽屉中，必然有一个抽屉中至少有2个苹果，这是抽屉原理的通俗解释。一般地，我们将它表述为：
第一抽屉原理：把[m×n+1]个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至少有m+1个物体。
例1：在一个礼堂中有99名学生，如果他们中的每个人都与其中的66人相识，那么可能出现这种情况：他们中的任何4人中都一定有2人不相识（假定相识是互相的）。
分析：注意到题中的说法“可能出现……”，说明题的结论并非是条件的必然结果，而仅仅是一种可能性，因此只需要设法构造出一种情况使之出现题目中所说的结论即可。
解：将礼堂中的99人记为K1 、K2、…K99，将99人分为3组：K1…K33，K34…K66，K67…K99 ，将3组学生作为3个抽屉，分别记为A、B、C ,并约定A中的学生所认识的66人只在B、C中，同时B、C中的学生所认识的66人也只在A、C和A、B中。如果出现这种局面，那么题目中所说情况就可能出现。
因为礼堂中任意4人可看做4个苹果，放入A、B、C三个抽屉中，必有2人在同一抽屉，即必有2人来自同一组，那么他们认识的人只在另2组中，因此他们两人不相识。
下面我们来考虑另外一种情况：若把5个苹果放到6个抽屉中，则必然有一个抽屉空着。这种情况一般可以表述为：
第二抽屉原理：把[m×n-1]个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至多有m-1个物体。
例2：在圆周上放有5个筹码，其中有3个是同色的，那么这3个同色的筹码必有2个相邻。
分析：将这个问题加以转化：
如图，将同色的3个筹码A、B、C置于圆周上，看是否能用另外2个筹码将其隔开。
解：将同色的3个筹码放置在圆周上，将每2个筹码之间的间隔看做抽屉，将其余2个筹码看做苹果，将2个苹果放入3个抽屉中，则必有1个抽屉中没有苹果，即有2个同色筹码之间没有其它筹码，那么这2个筹码必相邻。
二、制造抽屉是运用原理的一大关键
例3：从2，4，6，…，30这15个偶数中，任取9个数，证明其中一定有两个数之和是34。
分析与解答：我们用题目中的15个偶数制造8个抽屉。凡是抽屉中有两个数的，都具有一个共同的特点：这两个数的和是34。现从题目中的15个偶数中任取9个数，由抽屉原理（因为抽屉只有8个），必有两个数在同一个抽屉中。由制造的抽屉的特点，这两个数的和是34。
在有些问题中，“抽屉”和“物体”不是很明显的，需要精心制造“抽屉”和“物体”，如何制造“抽屉”和“物体”可能是很困难的，一方面需要认真地分析题目中的条件和问题，另一方面需要多做一些题积累经验。
三、抽屉原则的应用
抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作用，许多有关存在性的证明都可用它来解决。
例4：幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，那么不管怎样挑选，在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同，试说明道理。
解 从三种玩具中挑选两件，搭配方式只能是下面六种：（兔、兔），（兔、熊猫），（兔、长颈鹿），（熊猫、熊猫），（熊猫、长颈鹿），（长颈鹿、长颈鹿）。把每种搭配方式看作一个抽屉，把7个小朋友看作物体，那么根据原理1，至少有2个物体要放进同一个抽屉里，也就是说，至少2人挑选玩具采用同一搭配方式，选的玩具相同。
上面数例论证的似乎都是“存在”、“总有”、“至少有”的问题，不错，这正是抽屉原则的主要作用。（需要说明的是，运用抽屉原则只是肯定了“存在”、“总有”、“至少有”，却不能确切地指出哪个抽屉里存在多少。）抽屉原理虽然简单，但应用却很广泛，它可以解答很多有趣的问题，其中有些问题还具有相当的难度。下面我们来研究有关的一些问题。
1、整除问题
把所有整数按照除以某个自然数m的余数分为m类，叫做m的剩余类或同余类，用[0,1,2, …m]表示。每一个类含有无穷多个数，例如[1]中含有1,m+1,2m+1,3m+1, …。在研究与整除有关的问题时，常用剩余类作为抽屉，根据抽屉原理，可以证明任意n+1个自然数中，总有两个自然数的差是n的倍数。
例5：证明任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数。
分析与解答：在与整除有关的问题中有这样的性质，如果两个整数a,b，它们除以自然数m的余数相同，那么它们的差a-b是m的倍数，根据这个性质，本题只需证明这8个自然数中有2个自然数，它们除以7的余数相同。我们可以把所有自然数按被7除所得的7种不同的余数0,1, …,6分成七类.也就是7个抽屉.任取8个自然数，根据抽屉原理1，必有两个数在同一个抽屉中，也就是它们除以7的余数相同，因此这两个数的差一定是7的倍数。
2、面积问题
例6：边长为1的正方形中，任意放入9个点，求证这9个点中任取3个点组成的三角形中，至少有一个的面积不超过1/8。
解：将边长为1的正方形等分成边长为1/2的四个小正方形，视这四个正方形为抽屉，9个点任意放入这四个正方形中，据原理2，必有三点落入同一个正方形内。那么可知：三角形的面积不超过小正方形面积的一半，即不超过1/8。
3、染色问题
例7：有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子，请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。
分析与解答：首先要确定3枚棋子的颜色可以有多少种不同的情况，可以有：3黑，2黑1白，1黑2白，3白共4种配组情况，看作4个抽屉，根据抽屉原理，至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色在同一个抽屉里，也就是他们所拿棋子的颜色配组是一样的。
（作者单位：121200辽宁省凌海市职教中心）
把5个苹果放到4个抽屉中，必然有一个抽屉中至少有2个苹果，这是抽屉原理的通俗解释。一般地，我们将它表述为：
第一抽屉原理：把[m×n+1]个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至少有m+1个物体。
例1：在一个礼堂中有99名学生，如果他们中的每个人都与其中的66人相识，那么可能出现这种情况：他们中的任何4人中都一定有2人不相识（假定相识是互相的）。
分析：注意到题中的说法“可能出现……”，说明题的结论并非是条件的必然结果，而仅仅是一种可能性，因此只需要设法构造出一种情况使之出现题目中所说的结论即可。
解：将礼堂中的99人记为K1 、K2、…K99，将99人分为3组：K1…K33，K34…K66，K67…K99 ，将3组学生作为3个抽屉，分别记为A、B、C ,并约定A中的学生所认识的66人只在B、C中，同时B、C中的学生所认识的66人也只在A、C和A、B中。如果出现这种局面，那么题目中所说情况就可能出现。
因为礼堂中任意4人可看做4个苹果，放入A、B、C三个抽屉中，必有2人在同一抽屉，即必有2人来自同一组，那么他们认识的人只在另2组中，因此他们两人不相识。
下面我们来考虑另外一种情况：若把5个苹果放到6个抽屉中，则必然有一个抽屉空着。这种情况一般可以表述为：
第二抽屉原理：把[m×n-1]个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至多有m-1个物体。
例2：在圆周上放有5个筹码，其中有3个是同色的，那么这3个同色的筹码必有2个相邻。
分析：将这个问题加以转化：
如图，将同色的3个筹码A、B、C置于圆周上，看是否能用另外2个筹码将其隔开。
解：将同色的3个筹码放置在圆周上，将每2个筹码之间的间隔看做抽屉，将其余2个筹码看做苹果，将2个苹果放入3个抽屉中，则必有1个抽屉中没有苹果，即有2个同色筹码之间没有其它筹码，那么这2个筹码必相邻。
二、制造抽屉是运用原理的一大关键
例3：从2，4，6，…，30这15个偶数中，任取9个数，证明其中一定有两个数之和是34。
分析与解答：我们用题目中的15个偶数制造8个抽屉。凡是抽屉中有两个数的，都具有一个共同的特点：这两个数的和是34。现从题目中的15个偶数中任取9个数，由抽屉原理（因为抽屉只有8个），必有两个数在同一个抽屉中。由制造的抽屉的特点，这两个数的和是34。
在有些问题中，“抽屉”和“物体”不是很明显的，需要精心制造“抽屉”和“物体”，如何制造“抽屉”和“物体”可能是很困难的，一方面需要认真地分析题目中的条件和问题，另一方面需要多做一些题积累经验。
三、抽屉原则的应用
抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作用，许多有关存在性的证明都可用它来解决。
例4：幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，那么不管怎样挑选，在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同，试说明道理。
解 从三种玩具中挑选两件，搭配方式只能是下面六种：（兔、兔），（兔、熊猫），（兔、长颈鹿），（熊猫、熊猫），（熊猫、长颈鹿），（长颈鹿、长颈鹿）。把每种搭配方式看作一个抽屉，把7个小朋友看作物体，那么根据原理1，至少有2个物体要放进同一个抽屉里，也就是说，至少2人挑选玩具采用同一搭配方式，选的玩具相同。
上面数例论证的似乎都是“存在”、“总有”、“至少有”的问题，不错，这正是抽屉原则的主要作用。（需要说明的是，运用抽屉原则只是肯定了“存在”、“总有”、“至少有”，却不能确切地指出哪个抽屉里存在多少。）抽屉原理虽然简单，但应用却很广泛，它可以解答很多有趣的问题，其中有些问题还具有相当的难度。下面我们来研究有关的一些问题。
1、整除问题
把所有整数按照除以某个自然数m的余数分为m类，叫做m的剩余类或同余类，用[0,1,2, …m]表示。每一个类含有无穷多个数，例如[1]中含有1,m+1,2m+1,3m+1, …。在研究与整除有关的问题时，常用剩余类作为抽屉，根据抽屉原理，可以证明任意n+1个自然数中，总有两个自然数的差是n的倍数。
例5：证明任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数。
分析与解答：在与整除有关的问题中有这样的性质，如果两个整数a,b，它们除以自然数m的余数相同，那么它们的差a-b是m的倍数，根据这个性质，本题只需证明这8个自然数中有2个自然数，它们除以7的余数相同。我们可以把所有自然数按被7除所得的7种不同的余数0,1, …,6分成七类.也就是7个抽屉.任取8个自然数，根据抽屉原理1，必有两个数在同一个抽屉中，也就是它们除以7的余数相同，因此这两个数的差一定是7的倍数。
2、面积问题
例6：边长为1的正方形中，任意放入9个点，求证这9个点中任取3个点组成的三角形中，至少有一个的面积不超过1/8。
解：将边长为1的正方形等分成边长为1/2的四个小正方形，视这四个正方形为抽屉，9个点任意放入这四个正方形中，据原理2，必有三点落入同一个正方形内。那么可知：三角形的面积不超过小正方形面积的一半，即不超过1/8。
3、染色问题
例7：有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子，请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。
分析与解答：首先要确定3枚棋子的颜色可以有多少种不同的情况，可以有：3黑，2黑1白，1黑2白，3白共4种配组情况，看作4个抽屉，根据抽屉原理，至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色在同一个抽屉里，也就是他们所拿棋子的颜色配组是一样的。
（作者单位：121200辽宁省凌海市职教中心）