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本文给出了多圆柱区域与超球上的２＾ｎ维正则向量函数ｕ（ｚ）满足方程Ｔｕ＝０，Ｆ＝Σｉ＝１／Ｘ．．．Ｘ／×／Ｘ．．．Ｘ／的Ｃａｕｃｈｙ积分公式，超球上的正则向量函数的Ｐｏｉｓｓｏｎ积分公式，证明了ｕ（ｚ）的平均值定理和一般区域Ｄ上的ｕ（ｚ）的无穷次可微性，给出了Ｄ上向量函数的Ｃａｕｃｈｙ型积分是Ｃａｕｃｈｙ积分的一个充要条件。