浅谈质数无限定理拓展以后

• 作 者: 赵锁堂
• 出 处: 考试周刊
• 发表日期: 2019年26期
• 关键词: 质数无限定理 拓展 推理

　　摘 要：欧几质数无限定理是说，若P是任意大的质数，总存在Q=2×3×5…P 1，也是大于P的质数，从而说明质数是无限的。该定理可以进一步拓展。
　　关键词：质数无限定理；拓展；推理
　　欧几质数无限定理是说，若P是任意大的质数，总存在Q=2×3×5…P 1，也是大于P的质数，从而说明质数是无限的。
　　上面的定理给我们的启示是：（1）可以用若干质数的积和正整数1的代数和来表示另外的质数；（2）证明一个数是质数的思路是，利用整除性定理，如果Q=a±b，且有d|b，那么d|Q的充要条件是d|a。（这里d、a、b、Q均为不等于1的正整数）。
　　另外，判断一个自然数N是否为质数，通常采用试除的办法，那么，是否需要把所有小于N的质数都去试一遍呢？当然不必要只需要试除到K≥N就可以了（K是质数）。这是因为：如果N是合数，总存在小于或者等于N的因数，使N=Kt试除，到K|N，推定N为合数；如果试除到K>N，仍然是K/|N，就可以推定N是质数了。我们可以这样去想，N=Kt=tK。已经试除到较大质数K>N了，较小的质数t必是早已试除过了。因此，判断一个自然数N是否为质数，没有必要把小于N的质数通通试上一遍，试除到K>N就可以了。
　　我们结合定理给我们带来的启示和以上推理，对该定理作进一步的拓展。
　　拓展一：
　　Q=2×3×5…P-1（P≥3）是质数
　　证：2|2×3×5…P 3|2×3×5…P 5|2×3×5…P …P|2×3×5…P
　　2/|1、3/|1、5/|1…P/|1
　　∴2/|Q、3/|Q、5/|Q…P/|Q
　　∴Q是质数
　　拓展二：
　　Q=2x×3×5…P±1（2x　　证明同上理
　　拓展三：
　　Q=2x×3×5…Ki-1Ki 1…P±Ki是质数
　　（Ki-1，Ki，Ki 1表示相邻质数，且2x　　拓展四：
　　Q=3×5×7…P±2xK是质数
　　（P、K是质数，2x　　证明同上
　　拓展五：
　　Q=2x×3×5×7…iy…P±1是质数
　　（2x　　证明同上
　　拓展六：
　　Q=2x…P…q±3×5…K是质数
　　（…P…q内不含有3、5、…K，K>Q）
　　K可变，必须保证
　　2x…P…q>3×5…K且2x…P…q…3×5-K≠1
　　证明同上
　　根据以上对欧几定理的拓展，我们回答下面的问题。
　　我们知道，任何大于4的偶数都可以分解质因数，如不去考虑质因数的顺序，分解质因数的结果是唯一的。
　　设任意大于4的偶数是M，其分解质因数的结果是M=2x…P…r…q（…P、q、r允许有相同的质因数）
　　ⅰ）当x=1时
　　M=2…P…r…q
　　=…P…r…q 2×3…K …P…r…q-2×3…K
　　=e±f
　　（e、f为质数）
　　K可变，须保证…P…r…q-2×3…K≠±1
　　特别地，M=2P=P P
　　ⅱ）当x>1时
　　M=2x…P…r…q
　　=2x-1…P…r…q 3×5…K 2x-1…P…r…q-3×5…K
　　=e±f
　　亦或
　　M=2x…P…r…q
　　=2x 1…P…r…q-2x…P…r…q
　　=2x 1…P…r…q-3×5…K 3×5…K-2x…P…r…q
　　=e±f
　　如果有 r=2y±1
　　M=2x…P…（2y±1）…q
　　=2x y…P…q±2x…P…q
　　=2x y…P…q-3×5…r…K 3×5…r…K±2x…P…q
　　=e±f
　　如果有 r=2y±t（t是質数）
　　M=2x…P…（2y±t）…q
　　=2x y…P…q±2x…P…qt
　　若t是…P…q内的质数
　　M=2x y…P…q±2x…P…qt
　　=2x y…P…q-3×5…K±2x…P…qt 3×5…K
　　=e±f
　　若t不是…P…q内的质数，可改变K，使t/3×5…K
　　M=2x y…P…q-3×5…K±2x…P…qt 3×5…K
　　=e±f
　　综上，任何大于4的偶数都能写成两质数的和或差。
　　因为任何大于4的偶数，都能写成两个偶数的和与差，且根据需要可以任意改变两个加数或被减数和减数的大小。
　　设A、B、C、D为4个偶数
　　M=A B=（A-2K） （B 2K）（K∈N）根据以上推理
　　=（e r） （f-r）=e f
　　亦或M=C-D=（C 2K）-（D 2K）=（e s）-（s-f）=e f
　　通过对欧几定理的拓展和进行上述推理，可以证明，任何大于4的偶数都能写成两素数的和。这就证明哥猜是正确的。
　　作者简介：
　　赵锁堂，内蒙古自治区呼和浩特市，托克托县第二中学。