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教学内容：
人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》四年级下册“三角形的分类”。
教学目标：
1．会根据三角形角、边的特点给三角形分类，认识各种三角形。
2．经历动手操作、分析思考的过程，感悟分类、抽象概念的数学思想。
教学过程：
一、课前谈话。感受分类
师(板书“分类”)：听说过“分类”吗?在座的全体人员可以怎么分类?(学生纷纷发表意见，略)师：看来，“分类”在生活中到处会用到。老师这里也有几个分类的例子，不知道是不是分得正确呢?
1．全班学生可分为胖的和戴眼镜的。
2．交通工具可分为飞机、轮船和火车。
3．我们家三个人，有喜欢看文艺节目的，有喜欢看体育节目的，还有喜欢看篮球比赛的。
(逐题出示，通过讨论，师生共同得出正确的分类需要三个要素：同一标准、无遗漏、不重复)
[设计意图：分类是数学中最常用的思想方法，必须遵循同一标准、无遗漏、不重复等原则。学生要探究三角形分类，首先就得了解这些原则，并依据这些原则在新课学习时来检验自己的分类是否正确。因此，在课前很有必要让学生懂得这些基础性知识，同时也借助此营造愉悦的学习氛围。]
二、自主探究，学习新知
1．揭题：三角形的分类。
师：你们能按照一定的标准给下面的三角形进行分类吗?(出示如下三角形，并告诉学生可以借助工具或采用折、量等方法来操作)
2．学生自主操作，教师巡视，了解学生的探究情况。
3．反馈。
(1)按角分。
①分成两类。
生：我将这些三角形分成两类，一类是有直角的。另一类是没有直角的。(让学生指出其中的直角，遇到有疑问的角，师生其同用工具检验)
师：你这样的分法，是以什么为标准呢?
生：以是否有直角为标准。
师：这样分类，符合分类的三个要求吗?(引导学生对照分类的三个要求，发现标准统一、无遗漏、不重复，大家认同这个分法)
师板书：按角分：①有直角的三角形②没有直角的三角形
(同时，教师将分类摆放的两类三角形圈起来，分成两部分，即用集合图表示)②分成三类。师：有没有也是按角分，但和刚才的分法不一样的?
生：我也是按角分的，分成三类。
师：你能详细介绍吗?
生：第一类三角形中都有一个角是直角，第二类三角形中都有一个角是钝角，第三类三角形中的角全部都是锐角。(学生说时，教师请学生将这三类三角形有序地摆放)
师：有一个角是直角，那另两个角是什么角呢?
生：都是锐角。(师生共同检查)
师：这一类三角形中有一个角是钝角，你能指给大家看看吗?(同时，教师请学生观察除钝角外的另两个角是什么角，得出：有一个角是钝角，另两个角是锐角)
师：还有一类三角形的角有什么特点呢?
生：三个角都是锐角。
教师板书得出如下分类：
按角分：①有一个角是直角，另两个角是锐角
②有一个角是钝角，另两个角是锐角
③三个角都是锐角(师生对照七个三角形，共同查看，发现无遗漏、不重复)师：按角分，还有没有不同的分法?(学生都没有其他分法)
[设计意图：上述两种分法都是正确的，不仅符合概念分类的原则，也符合学生认知的个体差异性，即分析能力较低的学生，能采用“二分法”进行分类；分析能力稍高的学生，其分类更加细化。但重要的是，尽管产生这样的差异，然而两者的最终目的是一致的。也就是说，通过这样详实的反馈过程，既使学生全面认识三角形角的特征，又深刻地体会到其中蕴涵的分类思想。]
③师：现实中，三角形的个数远远不止这七个，不知道还有没有不是这三种里面的三角形?下面，我们来做个小游戏，猜猜是三种三角形里的哪一种?
a．师将一个三角形藏在文件夹里，只露出一个直角，请学生猜。(学生说是第一种，即另两个角是锐角)
师：另两个角还没看见，你们怎么就知道另两个角是锐角呢?另两个角不可能是直角或钝角?(生争论，一生上前画图演示)生：若另外还有一个角是直角或钝角，根本就围不成三角形，所以另两个角只能是锐角。(学生纷纷附和)
师：这样看来，我们前面的语句表述有点多余。(教师擦去板书“有一个角是直角，另两个角是锐角”中的“另两个角是锐角”)
b．露出钝角，同上过程。(教师擦去另一句话中的“另两个角是锐角”)
c.师：现在三句话标准不同了，前两句话都只要看一个角，那是否第三句话也可以改成“一个角是锐角”?
(生有争论，但随即反应过来，表示“任何一个三角形都是有一个锐角的”)
师继续游戏加以验证。(只露出一个锐角，情况就比较复杂了，不能确定到底是哪一种三角形，所以第三种情况必须是“三个角都是锐角”)
[设计意图：按角分得到的三种三角形，其内角特征的差异，如果单靠表面的观察，学生的感悟是粗浅的，也难以理解三类三角形的概念表述方式为何是有区别的。因此，借助有趣且有一定挑战性的游戏，让学生通过争论、思考，达到从本质上理解概念的目的。]
④得出正确的表述方法，揭示概念：直角三角形、钝角三角形、锐角三角形。(集合图表示)
⑤基本练习：它们是什么三角形?
(2)按边分。
①师：上面我们讨论的三角形分类都是按角分的。还有按其他标准来分类的吗?
生：我是从边的长短来考虑的。(师请生在展示台上展示并介绍)生：一类是三条边都不相等，一类是只有两条边相等。另一类是三条边都相等。(学生说时，师请学生指出各不相等的三条边、相等的两条边或相等的三条边) 师：这样的分法符合分类的要求吗?(学生对照分类要求，都认同，教师简要板书)②师：只有两条边相等的三角形和三条边都相等的三角形，它们有什么共同之处呢?生：有相等的边。生：至少有两条边相等。师：数学上，把有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。请你指出这里的等腰三角形有哪些?
(学生指，教师将这些三角形摆放在一起)
[设计意图：三角形按边分与按角分相比，不管是从概念的抽象方式还是从概念系统的内部结构来看，差异是很大的，按边分所具有的难度会给学生的学习带来很大困难。因此，考虑到知识本身的特征、学生的认知特征、学习时间等因素，在教学三角形按边分时，适当淡化分类要求，突出对边特点的感知，直接地揭示等腰三角形的概念，然后重点认识它的一些名词及特征，应是较为合理的选择。]
③借助其中一个等腰三角形，教师介绍“腰”、 “底”、“顶角”、“底角”等名称，学生依样选择一个等腰三角形作标注并相互说说。
师：除了两条腰相等，等腰三角形还有什么特征?
生：它的两个底角也相等。
师：怎么证明呢?
生：可以采用对折后再比较的办法。(生上前演示)
(师再引导学生观察这些三角形的角，得出等腰三角形可能是直角三角形或钝角三角形，也可能是锐角三角形，完成两者之间的沟通)
④借助其中一个等边三角形，直接告诉学生：三条边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形。
师：除了三条边都相等，等边三角形还有什么特征?
生：它的三个角也相等。
(教师再请学生说明理由，学生继续采用对折的办法，同时用推理法证明三个角都是相等的)
师：等边三角形的三个角都是什么角呢?(学生认识到等边三角形必定是锐角三角形)
[设计意图：在要求学生深入认识等腰三角形和等边三角形的同时，还要求他们将本课的知识融会贯通。全面掌握各类三角形的特征，并且着重学会从不同角度去看待问题，培养思维的灵活性。]
三、对比练习，沟通知识
师(课件出示)：生活中有很多的三角形，你能分辨出它们是什么三角形吗?(既要从角的特征观察，还要从边的特征观察)
四、巩固认知，课堂总结
师：你能画一画本课学到的各种三角形吗?思考：“三角形的分类”是小学几何知识学习，尤其是三角形知识学习中的一个重要内容。切实掌握三角形的分类，有利于学生更全面地理解三角形的特征，并为后续知识的学习打下扎实的基础。但是，教材在编排“三角形的分类”时，按角分和按边分是有区别的：三角形按角分类，内容充实，分类完整，还采用集合图加深认知；按边分类，根本不提及具体的分法，对等腰三角形、等边三角形之间的关系也不要求学生掌握，也不采用集合图来揭示概念之间的关系。
同样是三角形的分类，但按角分、按边分在内容设置和教学要求上，缘何产生这么大的差异?我们又怎样来看待这些差异，并开展相应的教学呢?
1．根据概念系统结构的差异制定不同的教学目标。
三角形按角分，不管是分成两种还是分成三种，其构造出的概念系统的模式是一样的，即都可以视作是将一个属概念分成几个并列的种概念(如图1、图2)。但是，三角形按边分，概念系统却比较复杂(如图3)。首先，它是分类中的多级分类了。它相比按角分的一次分类要难以理解。其次，它的整个概念系统舍弃了另外一些概念。而只关注了其中的特例——等腰三角形、等边三角形。这是不完全的概念划分法，有别于我们平时所讲的一般分类。甚至恐怕都不能称为是严格意义上的分类了。这样的“分类”让学生理解，难度当然大。
对比上面两种情况，我们不难发现：三角形按角分类，概念间的关系简单，思维要求较低，学生理解容易，是学习分类思想的好素材。因此，对于三角形按角分类，我们要突出教学目标中的“感悟分类思想”，应该大力挖掘这个知识点所蕴涵的丰富内容。在让学生掌握三角形角的特征的同时，重点还要让学生学习其中的分类思想。在教学实践中，让学生采用不同方式进行分类、每次对比分类的要求及呈现集合图加深感知等措施，都是为了实现这个教学目标而设计的。而对于按边分，则不把分类思想当作主要要实现的教学目标，而是主要关注学生对三角形边特征的理解，关注学生对等腰三角形和等边三角形的认识。所以，本课中的两个内容，它们的教学目标是不同的。
2．根据概念抽象方式的差异采用不同的教学方式。
三角形按角分类的过程，是一个抽象概念中“强抽象”的典型例子。即在原型中(三角形)引入新的本质特征(角的情况)来强化原来结构的一种抽象，这时得到的新概念只是原来概念中的一个特例。比如，学生根据三角形是否有直角，采用二分法将三角形分成直角三角形和非直角三角形(斜三角形)。在这样的分类过程中，学生采用的是顺向的思维形式，这种思维形式相对简单，是一种很适合小学生思维特点的造概念方式。反观按边分类，学生都是先将三角形分成“三条边都不相等”、“只有两条边相等”、“三条边都相等”三类，然后再将后两者归并在一起，称为等腰三角形。即等腰三角形这个概念的构造，是先有两个种概念。再通过寻找到它们的共同特征——有两条边相等，来归并得到其上位概念的。这种与三角形按角分得出概念过程正好相反的思维方式。实际上就隐藏了“弱抽象”的造概念方式。它是一种不断减少概念内涵而使概念外延不断扩大的概念形成方式，与“强抽象”的思维过程正好相反。这样的思维方式是有别于常规的，是逆向的，对于学生而言，比顺向的强抽象思维方式要难理解，学习起来会感到别扭，知识掌握就会相对困难。
鉴于以上分析，在教学中，我们就应采取不同的教学方式合理开展教学。如按角分的内容，应充分发挥学生的主动性，让学生积极参与分类活动，自主探究，借助直观，通过思考和交流，在掌握三角形角的特征的同时，着重体会到“强抽象”的造概念方式。其间，教师主要起引导和启发的作用。而对于按边分的内容，尤其对于等腰三角形和等边三角形概念的揭示，教学方法就截然相反了。从教学过程可见，基本以教师直接揭示为主，通过教师的讲解、示范及学生的模仿、实践，帮助学生建构等腰三角形、等边三角形的概念，了解其中的一些名词，沟通各类三角形之间的联系。这两种不同的教学方式，既达到各自不同的教学效益，也合理解决了教学时间紧张的问题。
人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》四年级下册“三角形的分类”。
教学目标：
1．会根据三角形角、边的特点给三角形分类，认识各种三角形。
2．经历动手操作、分析思考的过程，感悟分类、抽象概念的数学思想。
教学过程：
一、课前谈话。感受分类
师(板书“分类”)：听说过“分类”吗?在座的全体人员可以怎么分类?(学生纷纷发表意见，略)师：看来，“分类”在生活中到处会用到。老师这里也有几个分类的例子，不知道是不是分得正确呢?
1．全班学生可分为胖的和戴眼镜的。
2．交通工具可分为飞机、轮船和火车。
3．我们家三个人，有喜欢看文艺节目的，有喜欢看体育节目的，还有喜欢看篮球比赛的。
(逐题出示，通过讨论，师生共同得出正确的分类需要三个要素：同一标准、无遗漏、不重复)
[设计意图：分类是数学中最常用的思想方法，必须遵循同一标准、无遗漏、不重复等原则。学生要探究三角形分类，首先就得了解这些原则，并依据这些原则在新课学习时来检验自己的分类是否正确。因此，在课前很有必要让学生懂得这些基础性知识，同时也借助此营造愉悦的学习氛围。]
二、自主探究，学习新知
1．揭题：三角形的分类。
师：你们能按照一定的标准给下面的三角形进行分类吗?(出示如下三角形，并告诉学生可以借助工具或采用折、量等方法来操作)
2．学生自主操作，教师巡视，了解学生的探究情况。
3．反馈。
(1)按角分。
①分成两类。
生：我将这些三角形分成两类，一类是有直角的。另一类是没有直角的。(让学生指出其中的直角，遇到有疑问的角，师生其同用工具检验)
师：你这样的分法，是以什么为标准呢?
生：以是否有直角为标准。
师：这样分类，符合分类的三个要求吗?(引导学生对照分类的三个要求，发现标准统一、无遗漏、不重复，大家认同这个分法)
师板书：按角分：①有直角的三角形②没有直角的三角形
(同时，教师将分类摆放的两类三角形圈起来，分成两部分，即用集合图表示)②分成三类。师：有没有也是按角分，但和刚才的分法不一样的?
生：我也是按角分的，分成三类。
师：你能详细介绍吗?
生：第一类三角形中都有一个角是直角，第二类三角形中都有一个角是钝角，第三类三角形中的角全部都是锐角。(学生说时，教师请学生将这三类三角形有序地摆放)
师：有一个角是直角，那另两个角是什么角呢?
生：都是锐角。(师生共同检查)
师：这一类三角形中有一个角是钝角，你能指给大家看看吗?(同时，教师请学生观察除钝角外的另两个角是什么角，得出：有一个角是钝角，另两个角是锐角)
师：还有一类三角形的角有什么特点呢?
生：三个角都是锐角。
教师板书得出如下分类：
按角分：①有一个角是直角，另两个角是锐角
②有一个角是钝角，另两个角是锐角
③三个角都是锐角(师生对照七个三角形，共同查看，发现无遗漏、不重复)师：按角分，还有没有不同的分法?(学生都没有其他分法)
[设计意图：上述两种分法都是正确的，不仅符合概念分类的原则，也符合学生认知的个体差异性，即分析能力较低的学生，能采用“二分法”进行分类；分析能力稍高的学生，其分类更加细化。但重要的是，尽管产生这样的差异，然而两者的最终目的是一致的。也就是说，通过这样详实的反馈过程，既使学生全面认识三角形角的特征，又深刻地体会到其中蕴涵的分类思想。]
③师：现实中，三角形的个数远远不止这七个，不知道还有没有不是这三种里面的三角形?下面，我们来做个小游戏，猜猜是三种三角形里的哪一种?
a．师将一个三角形藏在文件夹里，只露出一个直角，请学生猜。(学生说是第一种，即另两个角是锐角)
师：另两个角还没看见，你们怎么就知道另两个角是锐角呢?另两个角不可能是直角或钝角?(生争论，一生上前画图演示)生：若另外还有一个角是直角或钝角，根本就围不成三角形，所以另两个角只能是锐角。(学生纷纷附和)
师：这样看来，我们前面的语句表述有点多余。(教师擦去板书“有一个角是直角，另两个角是锐角”中的“另两个角是锐角”)
b．露出钝角，同上过程。(教师擦去另一句话中的“另两个角是锐角”)
c.师：现在三句话标准不同了，前两句话都只要看一个角，那是否第三句话也可以改成“一个角是锐角”?
(生有争论，但随即反应过来，表示“任何一个三角形都是有一个锐角的”)
师继续游戏加以验证。(只露出一个锐角，情况就比较复杂了，不能确定到底是哪一种三角形，所以第三种情况必须是“三个角都是锐角”)
[设计意图：按角分得到的三种三角形，其内角特征的差异，如果单靠表面的观察，学生的感悟是粗浅的，也难以理解三类三角形的概念表述方式为何是有区别的。因此，借助有趣且有一定挑战性的游戏，让学生通过争论、思考，达到从本质上理解概念的目的。]
④得出正确的表述方法，揭示概念：直角三角形、钝角三角形、锐角三角形。(集合图表示)
⑤基本练习：它们是什么三角形?
(2)按边分。
①师：上面我们讨论的三角形分类都是按角分的。还有按其他标准来分类的吗?
生：我是从边的长短来考虑的。(师请生在展示台上展示并介绍)生：一类是三条边都不相等，一类是只有两条边相等。另一类是三条边都相等。(学生说时，师请学生指出各不相等的三条边、相等的两条边或相等的三条边) 师：这样的分法符合分类的要求吗?(学生对照分类要求，都认同，教师简要板书)②师：只有两条边相等的三角形和三条边都相等的三角形，它们有什么共同之处呢?生：有相等的边。生：至少有两条边相等。师：数学上，把有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。请你指出这里的等腰三角形有哪些?
(学生指，教师将这些三角形摆放在一起)
[设计意图：三角形按边分与按角分相比，不管是从概念的抽象方式还是从概念系统的内部结构来看，差异是很大的，按边分所具有的难度会给学生的学习带来很大困难。因此，考虑到知识本身的特征、学生的认知特征、学习时间等因素，在教学三角形按边分时，适当淡化分类要求，突出对边特点的感知，直接地揭示等腰三角形的概念，然后重点认识它的一些名词及特征，应是较为合理的选择。]
③借助其中一个等腰三角形，教师介绍“腰”、 “底”、“顶角”、“底角”等名称，学生依样选择一个等腰三角形作标注并相互说说。
师：除了两条腰相等，等腰三角形还有什么特征?
生：它的两个底角也相等。
师：怎么证明呢?
生：可以采用对折后再比较的办法。(生上前演示)
(师再引导学生观察这些三角形的角，得出等腰三角形可能是直角三角形或钝角三角形，也可能是锐角三角形，完成两者之间的沟通)
④借助其中一个等边三角形，直接告诉学生：三条边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形。
师：除了三条边都相等，等边三角形还有什么特征?
生：它的三个角也相等。
(教师再请学生说明理由，学生继续采用对折的办法，同时用推理法证明三个角都是相等的)
师：等边三角形的三个角都是什么角呢?(学生认识到等边三角形必定是锐角三角形)
[设计意图：在要求学生深入认识等腰三角形和等边三角形的同时，还要求他们将本课的知识融会贯通。全面掌握各类三角形的特征，并且着重学会从不同角度去看待问题，培养思维的灵活性。]
三、对比练习，沟通知识
师(课件出示)：生活中有很多的三角形，你能分辨出它们是什么三角形吗?(既要从角的特征观察，还要从边的特征观察)
四、巩固认知，课堂总结
师：你能画一画本课学到的各种三角形吗?思考：“三角形的分类”是小学几何知识学习，尤其是三角形知识学习中的一个重要内容。切实掌握三角形的分类，有利于学生更全面地理解三角形的特征，并为后续知识的学习打下扎实的基础。但是，教材在编排“三角形的分类”时，按角分和按边分是有区别的：三角形按角分类，内容充实，分类完整，还采用集合图加深认知；按边分类，根本不提及具体的分法，对等腰三角形、等边三角形之间的关系也不要求学生掌握，也不采用集合图来揭示概念之间的关系。
同样是三角形的分类，但按角分、按边分在内容设置和教学要求上，缘何产生这么大的差异?我们又怎样来看待这些差异，并开展相应的教学呢?
1．根据概念系统结构的差异制定不同的教学目标。
三角形按角分，不管是分成两种还是分成三种，其构造出的概念系统的模式是一样的，即都可以视作是将一个属概念分成几个并列的种概念(如图1、图2)。但是，三角形按边分，概念系统却比较复杂(如图3)。首先，它是分类中的多级分类了。它相比按角分的一次分类要难以理解。其次，它的整个概念系统舍弃了另外一些概念。而只关注了其中的特例——等腰三角形、等边三角形。这是不完全的概念划分法，有别于我们平时所讲的一般分类。甚至恐怕都不能称为是严格意义上的分类了。这样的“分类”让学生理解，难度当然大。
对比上面两种情况，我们不难发现：三角形按角分类，概念间的关系简单，思维要求较低，学生理解容易，是学习分类思想的好素材。因此，对于三角形按角分类，我们要突出教学目标中的“感悟分类思想”，应该大力挖掘这个知识点所蕴涵的丰富内容。在让学生掌握三角形角的特征的同时，重点还要让学生学习其中的分类思想。在教学实践中，让学生采用不同方式进行分类、每次对比分类的要求及呈现集合图加深感知等措施，都是为了实现这个教学目标而设计的。而对于按边分，则不把分类思想当作主要要实现的教学目标，而是主要关注学生对三角形边特征的理解，关注学生对等腰三角形和等边三角形的认识。所以，本课中的两个内容，它们的教学目标是不同的。
2．根据概念抽象方式的差异采用不同的教学方式。
三角形按角分类的过程，是一个抽象概念中“强抽象”的典型例子。即在原型中(三角形)引入新的本质特征(角的情况)来强化原来结构的一种抽象，这时得到的新概念只是原来概念中的一个特例。比如，学生根据三角形是否有直角，采用二分法将三角形分成直角三角形和非直角三角形(斜三角形)。在这样的分类过程中，学生采用的是顺向的思维形式，这种思维形式相对简单，是一种很适合小学生思维特点的造概念方式。反观按边分类，学生都是先将三角形分成“三条边都不相等”、“只有两条边相等”、“三条边都相等”三类，然后再将后两者归并在一起，称为等腰三角形。即等腰三角形这个概念的构造，是先有两个种概念。再通过寻找到它们的共同特征——有两条边相等，来归并得到其上位概念的。这种与三角形按角分得出概念过程正好相反的思维方式。实际上就隐藏了“弱抽象”的造概念方式。它是一种不断减少概念内涵而使概念外延不断扩大的概念形成方式，与“强抽象”的思维过程正好相反。这样的思维方式是有别于常规的，是逆向的，对于学生而言，比顺向的强抽象思维方式要难理解，学习起来会感到别扭，知识掌握就会相对困难。
鉴于以上分析，在教学中，我们就应采取不同的教学方式合理开展教学。如按角分的内容，应充分发挥学生的主动性，让学生积极参与分类活动，自主探究，借助直观，通过思考和交流，在掌握三角形角的特征的同时，着重体会到“强抽象”的造概念方式。其间，教师主要起引导和启发的作用。而对于按边分的内容，尤其对于等腰三角形和等边三角形概念的揭示，教学方法就截然相反了。从教学过程可见，基本以教师直接揭示为主，通过教师的讲解、示范及学生的模仿、实践，帮助学生建构等腰三角形、等边三角形的概念，了解其中的一些名词，沟通各类三角形之间的联系。这两种不同的教学方式，既达到各自不同的教学效益，也合理解决了教学时间紧张的问题。