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摘要：教会学生学习数学的方法，比会做几道题目更有意义！如何培养学生数学思维能力，本文论述我是如何提高数学教学的实效性。
关键词：数学思维；数学思维障碍；数学思维能力
中图分类号：G633.6
文献标识码：A
文章编号：1006-3315（2015）10-038-001
根据布鲁纳的认识发展理论，学习本身是一种认知过程，在这个过程中，个体的学习总是要通过已知的内部认知结构，对“从外到内”的输入信息进行整理加工，以一种易于掌握的形式加以储存，也就是说学生能从原有的知识结构中提取最有效的旧知识来吸纳新知识，即找到新旧知识的“媒介点”，这样，新旧知识在学生的头脑中发生积极的相互作用和联系，导致原有知识结构的不断分化和重新组合，使学生获得新知识。但是这个过程并非总是一次性成功的。一方面，如果在教学过程中，教师不顾学生的基础或不能觉察到学生的思维出现了困难，而是任由教师按自己的思路或知识逻辑进行灌输式教学，则到学生自己去解决问题时往往会感到无所适从；另一方面，当新的知识与学生原有的知识结构不相符时，或者新旧知识中间缺乏必要的“媒介点”时，这些新知识就会被排斥或经“校正”后吸收。
例：在Rt△ABC中，∠C =900，CD⊥AB于D，则CD2=AD.BD，这就是射影定理，类比这个定理，在空间中，三个侧面两两垂直的三棱锥中可以得到什么结论？
（点拨）由题目可以获取以下主要信息：
（1） Rt △ABC中，CD2=AD.BD是平面几何中的射影定理；
（2）利用类比的方法从平面几何知识探索空间立体几何的结论。
学生在做这一题时明显存在着思维障碍，对于三棱锥P-ABC中与平面直角三角形斜边上的高CD对应的量只要作底面ABC的高PO，但直接找不到与AD.BD对应的量，所以要考虑对平几中射影中的结论CD2=AD.BD进行变形为，
这样易于得到空间立体几何结论：
由浅人深的思维方式也是我们教学中经常用来进行新旧知识的“交接”的。如在讲到幂函数时复习初中二次函数。
例：1）求出下列函数在x∈[O，3]时的最值：
（1）y=（x一1）2 1，（2）y=（x 1）2 1，（3）y=（x一4）2 1
2）求函数y=x2_2ax a2 2.x∈[0，3]时的最小值。
3）求函数y=x2_2x 2.x∈[t，t l]的最小值。
上述设计层层递进，每做完一题，提出深一层次的题目，适时指出解决这类问题的要点，不仅培养了学生的思维方法，还大大地调动了学生学习数学的积极性，提高了课堂效率。
由于学生在学习数学的过程中，对一些数学概念或数学原理的发生、发展过程没有深刻的理解，一般的学生仅仅停留在表象的概括水平上，不能脱离具体表象而形成抽象的概念，如函数定义y=f（x），很多学生在学完了高中数学都没能把函数这一抽象性意义弄清楚，他们对函数的性质：单调性、奇偶性、周期性等概念茫茫然，在证明过程中往往只验证一部分性质，对“任意”一词无从把握。譬如判断函数的奇偶性问题，不少学生会只验证f（0）=0，f（一1）=一f（1）等特殊值就判断该函数是奇函数。因为解题的不全面，自然也无法摆脱局部事实的片面性而把握事物的本质。所以他们往往只会顺着事物的发展过程去思考问题，注重由因到果的思维习惯，不注重变换思维的方式，缺乏沿着多方面去探索解决问题的途径和方法，以上这一题是学生出现的一种错误，另一种错误是时常忽视定义域问题，直接验证f（一x）=一f（x）也得到f（x）为奇函数。
所以在教学中，对于学生的以上两个错误，需要时时提醒，让学生的思维更加严密，从而会解决奇偶性这一类题目。
还有一类情况是，学生不管三七二十一，把题目往自己熟悉的题目类型上去套，而不管可不可行。
例：证明│a│≤1，│b│≤l时，ab （1-a2）（1-b2）≤1。
待学生思考片刻后提问，有相当一部分的同学是通过三角代换来证明的（设a=cosα，b=sinα），理由是│a│≤1，│b│≤1，这恰好反映了学生在思维上的单一性，把两个毫不相干的量建立了具体的联系。他们缺乏足够的抽象思维能力，往往善于处理一些直观的或熟悉的数学问题，而对那些不具体的、抽象的数学问题常常不能抓住其本质，转化为已知的数学模型或过程去分析解决。
例：已知实数x，v满足、=lx y ll，则点P（x，y）的轨迹为
学生一看题目就化简方程，算啊算了半天，还看不出结果，就再找自己运算中的错误，而不是仔细观察该式的结构√x（x-1）2 （y-3）2=│x y 1│/2进而可以看出点P到点（1，3）及直线x y 1=0的距离相等，从而得其轨迹为抛物线。
以上两例教学中的问题提醒我们，学生的思维在抽象意义上出现了偏颇，我们就要在这方面找到问题的解决之法，从具体到抽象，抽象到具体，不断地锻炼学生的思维能力。
由于每个学生的数学基础不尽相同，其思维方式也各有特点，因此不同的学生对于同一数学问题的认识、感受也不会完全相同，这样，学生在解决数学问题时，一方面不大注意挖掘问题中的隐含条件，抓不住问题中的注意点，最终影响问题的解决。如非负实数x，y满足x 2v=l，求x- y-的取值范围。在解决这个问题时，如对x，y的范围没有足够的认识（O≤x≤1，O≤y≤1/2），那么就容易产生错误。另一方面学生不知道用所学的数学概念为依据进行分析推理，对一些问题中的结论缺乏多角度的分析，缺乏对自我思维过程的调控。
例：已知关于x的方程x2-（2i-l）x 3m-i=0有实根，求m的取值。
可能会有不少学生不假思索的就把实数范围内对方程有无解的判别式△就拿出来计算，理由是初中老师就是这样说的呀。又如刚学立体几何时，一提到两直线垂直，学生马上意识到这两直线必相交，这些思维定势对解题造成了很多困难。这都是学生学习数学时遇到的思维障碍，不仅不利于学生数学思维的进一步发展，而且也不利于学生解决数学问题能力的提高。再者我们要重视数学思想方法的教学，指导学生提高数学意识。
例：设X2 y2=25，求u=、/8y-6x 50 /8x 6x 50的取值范围。若采用常规的解题思路，u的取值范围不大容易求，但适当对u进行变形：u=、√（x-3）2 （y 4）2 √（x 3）2 （y 4）2，转而构造几何图形，容易求得u∈[6，6 √10]。
这里对u的适当变形实际上是数学的转换意识在起作用。因此，在数学教学中只有加强数学意识的教学，如“因果转化意识”“类比转化意识”等的教学，才能使学生面对数学问题得心应手、从容作答。所以，提高学生的数学意识，也能提高学生的数学思维能力。
关键词：数学思维；数学思维障碍；数学思维能力
中图分类号：G633.6
文献标识码：A
文章编号：1006-3315（2015）10-038-001
根据布鲁纳的认识发展理论，学习本身是一种认知过程，在这个过程中，个体的学习总是要通过已知的内部认知结构，对“从外到内”的输入信息进行整理加工，以一种易于掌握的形式加以储存，也就是说学生能从原有的知识结构中提取最有效的旧知识来吸纳新知识，即找到新旧知识的“媒介点”，这样，新旧知识在学生的头脑中发生积极的相互作用和联系，导致原有知识结构的不断分化和重新组合，使学生获得新知识。但是这个过程并非总是一次性成功的。一方面，如果在教学过程中，教师不顾学生的基础或不能觉察到学生的思维出现了困难，而是任由教师按自己的思路或知识逻辑进行灌输式教学，则到学生自己去解决问题时往往会感到无所适从；另一方面，当新的知识与学生原有的知识结构不相符时，或者新旧知识中间缺乏必要的“媒介点”时，这些新知识就会被排斥或经“校正”后吸收。
例：在Rt△ABC中，∠C =900，CD⊥AB于D，则CD2=AD.BD，这就是射影定理，类比这个定理，在空间中，三个侧面两两垂直的三棱锥中可以得到什么结论？
（点拨）由题目可以获取以下主要信息：
（1） Rt △ABC中，CD2=AD.BD是平面几何中的射影定理；
（2）利用类比的方法从平面几何知识探索空间立体几何的结论。
学生在做这一题时明显存在着思维障碍，对于三棱锥P-ABC中与平面直角三角形斜边上的高CD对应的量只要作底面ABC的高PO，但直接找不到与AD.BD对应的量，所以要考虑对平几中射影中的结论CD2=AD.BD进行变形为，
这样易于得到空间立体几何结论：
由浅人深的思维方式也是我们教学中经常用来进行新旧知识的“交接”的。如在讲到幂函数时复习初中二次函数。
例：1）求出下列函数在x∈[O，3]时的最值：
（1）y=（x一1）2 1，（2）y=（x 1）2 1，（3）y=（x一4）2 1
2）求函数y=x2_2ax a2 2.x∈[0，3]时的最小值。
3）求函数y=x2_2x 2.x∈[t，t l]的最小值。
上述设计层层递进，每做完一题，提出深一层次的题目，适时指出解决这类问题的要点，不仅培养了学生的思维方法，还大大地调动了学生学习数学的积极性，提高了课堂效率。
由于学生在学习数学的过程中，对一些数学概念或数学原理的发生、发展过程没有深刻的理解，一般的学生仅仅停留在表象的概括水平上，不能脱离具体表象而形成抽象的概念，如函数定义y=f（x），很多学生在学完了高中数学都没能把函数这一抽象性意义弄清楚，他们对函数的性质：单调性、奇偶性、周期性等概念茫茫然，在证明过程中往往只验证一部分性质，对“任意”一词无从把握。譬如判断函数的奇偶性问题，不少学生会只验证f（0）=0，f（一1）=一f（1）等特殊值就判断该函数是奇函数。因为解题的不全面，自然也无法摆脱局部事实的片面性而把握事物的本质。所以他们往往只会顺着事物的发展过程去思考问题，注重由因到果的思维习惯，不注重变换思维的方式，缺乏沿着多方面去探索解决问题的途径和方法，以上这一题是学生出现的一种错误，另一种错误是时常忽视定义域问题，直接验证f（一x）=一f（x）也得到f（x）为奇函数。
所以在教学中，对于学生的以上两个错误，需要时时提醒，让学生的思维更加严密，从而会解决奇偶性这一类题目。
还有一类情况是，学生不管三七二十一，把题目往自己熟悉的题目类型上去套，而不管可不可行。
例：证明│a│≤1，│b│≤l时，ab （1-a2）（1-b2）≤1。
待学生思考片刻后提问，有相当一部分的同学是通过三角代换来证明的（设a=cosα，b=sinα），理由是│a│≤1，│b│≤1，这恰好反映了学生在思维上的单一性，把两个毫不相干的量建立了具体的联系。他们缺乏足够的抽象思维能力，往往善于处理一些直观的或熟悉的数学问题，而对那些不具体的、抽象的数学问题常常不能抓住其本质，转化为已知的数学模型或过程去分析解决。
例：已知实数x，v满足、=lx y ll，则点P（x，y）的轨迹为
学生一看题目就化简方程，算啊算了半天，还看不出结果，就再找自己运算中的错误，而不是仔细观察该式的结构√x（x-1）2 （y-3）2=│x y 1│/2进而可以看出点P到点（1，3）及直线x y 1=0的距离相等，从而得其轨迹为抛物线。
以上两例教学中的问题提醒我们，学生的思维在抽象意义上出现了偏颇，我们就要在这方面找到问题的解决之法，从具体到抽象，抽象到具体，不断地锻炼学生的思维能力。
由于每个学生的数学基础不尽相同，其思维方式也各有特点，因此不同的学生对于同一数学问题的认识、感受也不会完全相同，这样，学生在解决数学问题时，一方面不大注意挖掘问题中的隐含条件，抓不住问题中的注意点，最终影响问题的解决。如非负实数x，y满足x 2v=l，求x- y-的取值范围。在解决这个问题时，如对x，y的范围没有足够的认识（O≤x≤1，O≤y≤1/2），那么就容易产生错误。另一方面学生不知道用所学的数学概念为依据进行分析推理，对一些问题中的结论缺乏多角度的分析，缺乏对自我思维过程的调控。
例：已知关于x的方程x2-（2i-l）x 3m-i=0有实根，求m的取值。
可能会有不少学生不假思索的就把实数范围内对方程有无解的判别式△就拿出来计算，理由是初中老师就是这样说的呀。又如刚学立体几何时，一提到两直线垂直，学生马上意识到这两直线必相交，这些思维定势对解题造成了很多困难。这都是学生学习数学时遇到的思维障碍，不仅不利于学生数学思维的进一步发展，而且也不利于学生解决数学问题能力的提高。再者我们要重视数学思想方法的教学，指导学生提高数学意识。
例：设X2 y2=25，求u=、/8y-6x 50 /8x 6x 50的取值范围。若采用常规的解题思路，u的取值范围不大容易求，但适当对u进行变形：u=、√（x-3）2 （y 4）2 √（x 3）2 （y 4）2，转而构造几何图形，容易求得u∈[6，6 √10]。
这里对u的适当变形实际上是数学的转换意识在起作用。因此，在数学教学中只有加强数学意识的教学，如“因果转化意识”“类比转化意识”等的教学，才能使学生面对数学问题得心应手、从容作答。所以，提高学生的数学意识，也能提高学生的数学思维能力。