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一、概念:
一般地,函数y= (k是常数,k≠0),叫做反比例函数,其中常数k叫做比例系数.
注意:1.结构特征:
①k≠0;
②x的次数是-1;
③函数和自变量的取值范围都是一切非零实数.
2.反比例函数还有两种常见形式:
①y=kx-1(k≠0);
②xy=k(k≠0).
二、图像:
(k>0)(k<0)
是一条双曲线.
注意:双曲线的两个分支是关于原点成中心对称的.也就是说,过原点任意画一条直线,与两个分支交于两点,则这两个交点是关于原点对称的,即若一个交点是P(a,b),则另一个交点是(-a,-b).
三、性质:
1.当k>0时,它的图像的两个分支分别在第一、三象限内,在每一个象限内,y随x增大而减小;当k<0时,它的图像的两个分支分别在第二、四象限内,在每一个象限内,y随x增大而增大.
2.两个分支都无限接近但永远不能达到x轴和y轴.
注意:对于反比例函数,提到y和x的变化趋势,一定要强调“在每一个象限内”或强调“当x>0时,…”或“当x<0时,…”.
四、求解析式:(待定系数法)
1.设y= ;
2.把已知条件(一组自变量与函数的对应值,或者是图像上的一个点的坐标)代入y=中,得到关于待定系数k的方程;
3.解此方程,求出k的值;
4.将求得的k的值代回所设的解析式中即可.
五、反比例函数中比例系数k的几何意义:
如图:过双曲线上任意一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN,所得的矩形面积为:S=PM•PN=|y|•|x|=|xy|.
∵y= ,
∴xy=k,
∴S=|k|.
即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线,所得的矩形面积均为|k|.
奇问妙答
1.我面朝南而立,你面朝北而立,要用多少面镜子才能使我们互相看见?
2.你用力扔皮球,不让皮球碰到其他物体,而使球回到你手里,行吗?
一般地,函数y= (k是常数,k≠0),叫做反比例函数,其中常数k叫做比例系数.
注意:1.结构特征:
①k≠0;
②x的次数是-1;
③函数和自变量的取值范围都是一切非零实数.
2.反比例函数还有两种常见形式:
①y=kx-1(k≠0);
②xy=k(k≠0).
二、图像:
(k>0)(k<0)
是一条双曲线.
注意:双曲线的两个分支是关于原点成中心对称的.也就是说,过原点任意画一条直线,与两个分支交于两点,则这两个交点是关于原点对称的,即若一个交点是P(a,b),则另一个交点是(-a,-b).
三、性质:
1.当k>0时,它的图像的两个分支分别在第一、三象限内,在每一个象限内,y随x增大而减小;当k<0时,它的图像的两个分支分别在第二、四象限内,在每一个象限内,y随x增大而增大.
2.两个分支都无限接近但永远不能达到x轴和y轴.
注意:对于反比例函数,提到y和x的变化趋势,一定要强调“在每一个象限内”或强调“当x>0时,…”或“当x<0时,…”.
四、求解析式:(待定系数法)
1.设y= ;
2.把已知条件(一组自变量与函数的对应值,或者是图像上的一个点的坐标)代入y=中,得到关于待定系数k的方程;
3.解此方程,求出k的值;
4.将求得的k的值代回所设的解析式中即可.
五、反比例函数中比例系数k的几何意义:
如图:过双曲线上任意一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN,所得的矩形面积为:S=PM•PN=|y|•|x|=|xy|.
∵y= ,
∴xy=k,
∴S=|k|.
即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线,所得的矩形面积均为|k|.
奇问妙答
1.我面朝南而立,你面朝北而立,要用多少面镜子才能使我们互相看见?
2.你用力扔皮球,不让皮球碰到其他物体,而使球回到你手里,行吗?