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探究性教学是以探究为主的教学，是指教学过程在教师的启发诱导下，以学生独立学习和合作讨论为前提，以现行教材为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑尝试活动，将自己所学知识应用于解决问题的一种教学形式。其实质就是指促进学生获取知识、领悟科学家的思想观念、领悟科学家研究自然所用的方法而进行的种种活动。下面，例举课本中3个例习题的教学片段，从一题多变与一题多解两方面，进行例习题课探究性教学策略的探讨。
一、例习题课探究性教学的策略
1、一题多变，发散思维。通过一题多变，引导学生个性化发展，善于表达自己的想法，并能与同伴交流。一题多变，让学生体会思维的多向性、广阔性、灵活性和创造性。有利于培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，有利于发展学生的创新意识和探究精神。
（1）改变题目条件，探究问题结论。为学生提供广阔的思维空间，提高学习的内驱力，培养学生推理意识，发展推理论证能力。
片段1：
北师大版八年级下册数学P214，如图1所示，四边形ABCD四边的中点分别为E,F,G,H,度量四边形EFGH的边和角，你能发现什么结论？改变四边形ABCD的形状，还能得 到类似的结论吗？你能肯定这个结论对所有的四边形ABCD都成立吗？与同伴交流。
我是这样展开教学过程的：观察猜想——度量——猜想——推理论证——变式发散——归纳总结。
师：凭经验观察图1并猜想四边形EFGH的形状？
生（众）：平行四边形。
师：请用有关工具度量验证一下。
生（陆续答）：是。
师：结论可靠吗？
……
生: 如图2，连接BD，可证HE∥BD，HE=BD,同理，FG∥BD=FG=BD
∴HE∥FG,HE=FG。
∴四边形EFGH是平行四边形。
师：改变四边形ABCD的形状，变为平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形，还能得到同样的结论吗？
生：能（有些学生开始怀疑）……
师：能肯定这个结论对所有的四边形ABCD都成立吗？
生（齐）：能
师：刚才你们的推理论证，关键抓住了什么？
生（齐）：连接对角线，把四边形问题转化为三角形问题来解决。（抓对角线）
师生（归纳）：连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。（板书：结论1）。
点评：以上是第一层次的探究。在平时教学中，只要充分利用好一道题目，发挥它的辐射功能，就会收到很好的效果，对培养学生的发散思维，毋庸置疑。
师：接下来，我们进一步探究，连接矩形ABCD各边中点所得的四边形EFGH是何种平行四边形？
生1：如图3，由前面的推理可得四边形EFGH是平行四边形，又因为矩形ABCD的对角线相等，可得四边形EFGH的邻边相等，所以四边形EFGH是菱形。
师：如图4，菱形ABCD呢？
生2：因为菱形ABCD的对角线互相垂直，可得四边形EFGH的邻边垂直，所以四边形EFGH是矩形。
师：如图5，正方形ABCD呢？如图6，等腰梯形ABCD呢？……
生3：四边形EFGH是正方形。
生4：四边形EFGH是菱形。
师: 刚才你们的推理论证，关键抓住了什么？
生（齐）：还是连接对角线，把四边形问题转化为三角形问题来解决。（抓对角线）
师：能说得具体些吗？……
师生（归纳）：抓住“外”四边形的两条对角线之间的关系来研究“内”四边形的形状。即：若“外”四边形的两条对角线相等（垂直），则“内”四边形的邻边就相等（垂直）。
师生（归纳）：连接矩形（菱形、正方形、等腰梯形）各边中点所得的四边形是菱形（矩形。正方形、菱形）。（板书：结论2、3、4、5）。
点评：以上是第二层次的探究。把特殊四边形的判定和性质作了全面的复习，学生的积极性得到了调动，思维还很活跃，趁热打铁，培养学生的逆向思维。
师：下面，我们放开条件探究，连接何种四边形ABCD各边中点所得的四边形EFGH是平行四边形?
生1：简单，任意四边形ABCD。
师：所得的四边形EFGH是矩形呢?
生2：菱形ABCD。因为矩形EFGH的对角线相等。
师：同学们有不同的看法吗？（学生沉默了几十秒，渐渐议论开了）
生3：不一定是菱形ABCD，应该是对角线互相垂直的四边形ABCD。因为矩形EFGH的邻边垂直，所以“外”四边形ABCD的对角线互相垂直。（掌声响起）
师：所得的四边形EFGH是菱形、正方形、等腰梯形呢?
生4：……四边形EFGH不可能是等腰梯形……
师生（归纳）：抓住“内”四边形的邻边与“外”四边形的对角线的对应关系。
点评：以上是第三层次的探究。课堂气氛达到高潮，学生积极参与，思维也越敏捷。
（2）改变图形形状，激起探究欲望。留给学生较大的探索余地，充分肯定和鼓励学生的探索精神，培养学生发散思维。
片段2：
北师大版八年级下册数学p2454，如图7，求证：（2）∠BDC=∠B+∠C+∠A
证明思路：如图8，延长BD交AC于点E,∵∠BEC是△ABE的外角,∴∠BEC=∠A+∠B，同理，∠BDC=∠C+∠BEC ，……(其余思路略)
师：把图7的“点A”一分为二，使直线AB∥EC，变为图9，这时点A消失了，请探究的数量关系，并证明之。（结论仍成立，证明略）（*）
师：请同学们张开思维的翅膀，探究并画出图9中，点D运动到不同的位置时，图形的各种变化情况。……
师生（归纳）：至少可以分成以下三类。……
师（整理）：在（*）的基础上，点D运动到平行线的外边，其它条件不变，请探究会有什么结果？（如图10、11、12、13）……
师（整理）：在（*）的基础上，点D运动到点B、C的右侧且在两平行线间，其它条件不变，请探究会有什么结果？（如图14、15）……
师（整理）：在（*）的基础上，如果点D不止一个，其它条件不变，请探究会有什么结果？（如图16）……
师：以上所有情形，在寻找∠B,∠D,∠C之间的数量关系时，抓住的关键是什么？
生（归纳）：添加辅助线（有的不用），创造两条直线被第三条直线所截，利用“三线八角”来转化。
点评：任何事物都是运动、变化和发展的。事物的相互联系构成运动，没有联系也就没有发展。而事物的联系和发展有着自身固有的规律。列宁说：“规律就是关系……”。以上从运动变化的观点揭示各种不同情况之间的关系，抓住变化的规律，教育学生学数学要善于抓住不变的根本，又要善于灵活地在变化中认识、处理和解决问题。
2、一题多解，发散思维。一道数学题，从多方向、多角度、多手段、多途径入手，可得到多种不同的思路，广阔寻求多种解法，有利于调动学生的积极性，有利于提高学生的解题能力，有利于培养学生的思维品质。
片段3：
北师大版八年级下册数学P237，如图17，三角形内角和定理的证明。
师：还记得过去撕纸实验得出“三角形内角和等于180°”的结论吗？
师：如图17，当时我们把∠A移到∠1的位置，∠B移到∠2的位置，∠C不动。
请问，根据什么得出上述结论的？实验方法的思路是什么？
生：依据平角的定义。把分散的三个角“搬”到一起，从而构成一个平角。……
师：实验的方法可靠吗？……从撕纸实验的探索过程，你得到什么启示？不实际移动∠A、∠B行吗？证明的思路是什么？
生（众）：…… 证明的思路是把分散的三个角“搬”到一起，从而构成一个平角。而添加合适的平行线则是将角“搬”到一起的基本途径。
点评：让学生从感性认识上升到理性认识，体会证明的必要性，树立推理意识。人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的。当问题的条件不够时，添加辅助线，构造新图形，形成新关系，建立已知、未知间的桥梁，把问题转化成自己已经会解的情况，这是解决问题常用的策略之一。
生1：如图18，延长BC到D，过点C作射线CE∥BA,则∠1=∠A,∠2=∠B。
∵∠1+∠2+∠ACB=180°
∴∠A+∠B+∠ACB=180°
生2：如图18，延长BC到D，平移∠B，作∠ECD=∠B,则CE∥BA……
生3：如图19，过点A作直线PQ∥BC, 则∠1=∠B,∠2=∠C……
师：以上三种证明方法有什么共同特点？
生（归纳）：都抓住“把三个角‘搬’到一起，让三个顶点重合在一个顶点处，两条边形成一条直线，以便利用平角定义”这一基本思想。
生4：如图20，延长BC到D，过点C作射线CE∥BA,则 ∠1=∠A……
生5：如图21，将△ABC绕AC的中点旋转180°，得△B′AC……
生6: 如图22,分别过点A、B、C作AD⊥BC，BE⊥BC, CF⊥BC……
师：以上三种证明方法又有什么共同特点？
生（归纳）：都抓住“把二个角‘搬’到一起，让三个顶点同在一条直线上，以便利用两直线平行，同旁内角互补这一性质”。
师：同学们还有什么大胆的想法与大家分享？
生7：如图23,我把三个角‘搬’到一起，让三个顶点重合在三角形一边上的某点处，同样利用平角定义。平移△ABC至△DEF处，交AC边于点G，过点G作MN∥BC，分别交AB、DF于点M、N，则 ∠B=∠1,∠C=∠2,∠A=∠3……
生8：如图24,把△ABC的顶点A沿AB、AC的中点连线DE对折，则点A落在BC边上的点F处。
生（众）：为什么？
生8：由三角形中位线定理知，△ADE的高是△ABC的高的一半，所以点A 必落在BC边上的点F处。所以AD=DB=DF,∠A=∠3,所以∠B=∠1,同理……
生（齐）：掌声热烈（但又有学生嘀咕：太繁杂）
师：那好，请同学们把刚才生8的想法改进一下！
生9：如图25，使四边形ADFE为平行四边形，而不论点D、E为中点。……
生10：如图26,我把三个角‘搬’到一起，让三个顶点重合在三角形内部的某点处，利用平角定义。……
师：生10的解法可以转化为生9的解法，相当于把边BC“提升”到MN的位置。体现特殊与一般的关系。……
生11：如图27,我把三个角‘搬’到一起，让三个顶点重合在三角形外部的某点处，利用平角定义。（水到渠成）……
点评：课本例习题都是经过专家挑选的，如果我们对其进行挖掘、变式、延伸和拓广，就会得到一些综合性较强，符合创新精神的新命题，这样不仅能激发学生的学习兴趣，而且符合中考题源于课本的命题思想，是新课标中数学探究性学习的一种行之有效的方法。
二、例习题课探究性教学的反思
回顾以上三个片段的教学过程，都给学生充分创造探究活动的机会，让学生积极主动地进行数学探索，发展学生的思维，拓宽学生的视野。但对例习题进行探究教学时，存在几个问题值得思考：
1.素质教育与应试教育的矛盾。例习题课探究性教学，花费大量的时间。虽说培养学生发散思维的能力，但有时教学任务无法完成，影响学生眼前的应试。
2.面向全体与部分参与的矛盾。例习题课探究性教学，往往只有部分学生积极参与，深入思考，相当部分学生却“冷场”，无法做到面向全体。
3.课堂调控“度”与“量”的矛盾。例习题课探究性教学，放开到什么程度，放开多长时间，多少学生在参与，“玩”的学生怎么调动，探究方向怎么调控，课堂效率怎么提高。有时难于把握好“度”与“量”。
4.思维多样性与批判性的矛盾。例习题课探究性教学，从多角度、全方位去思考时，倘若探究方向正确，可能顺利得出结论，有时不正确，产生错误的结论，还要从头开始，“浪费”大量的时间。
参考文献：
[1]北师大版.义务教育课程标准实验教科书[S].数学教师教学用书八年级下册
[2]贾宏英.创设问题情境，实施探究性教学[J].数学教学通讯，2006.2
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
一、例习题课探究性教学的策略
1、一题多变，发散思维。通过一题多变，引导学生个性化发展，善于表达自己的想法，并能与同伴交流。一题多变，让学生体会思维的多向性、广阔性、灵活性和创造性。有利于培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，有利于发展学生的创新意识和探究精神。
（1）改变题目条件，探究问题结论。为学生提供广阔的思维空间，提高学习的内驱力，培养学生推理意识，发展推理论证能力。
片段1：
北师大版八年级下册数学P214，如图1所示，四边形ABCD四边的中点分别为E,F,G,H,度量四边形EFGH的边和角，你能发现什么结论？改变四边形ABCD的形状，还能得 到类似的结论吗？你能肯定这个结论对所有的四边形ABCD都成立吗？与同伴交流。
我是这样展开教学过程的：观察猜想——度量——猜想——推理论证——变式发散——归纳总结。
师：凭经验观察图1并猜想四边形EFGH的形状？
生（众）：平行四边形。
师：请用有关工具度量验证一下。
生（陆续答）：是。
师：结论可靠吗？
……
生: 如图2，连接BD，可证HE∥BD，HE=BD,同理，FG∥BD=FG=BD
∴HE∥FG,HE=FG。
∴四边形EFGH是平行四边形。
师：改变四边形ABCD的形状，变为平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形，还能得到同样的结论吗？
生：能（有些学生开始怀疑）……
师：能肯定这个结论对所有的四边形ABCD都成立吗？
生（齐）：能
师：刚才你们的推理论证，关键抓住了什么？
生（齐）：连接对角线，把四边形问题转化为三角形问题来解决。（抓对角线）
师生（归纳）：连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。（板书：结论1）。
点评：以上是第一层次的探究。在平时教学中，只要充分利用好一道题目，发挥它的辐射功能，就会收到很好的效果，对培养学生的发散思维，毋庸置疑。
师：接下来，我们进一步探究，连接矩形ABCD各边中点所得的四边形EFGH是何种平行四边形？
生1：如图3，由前面的推理可得四边形EFGH是平行四边形，又因为矩形ABCD的对角线相等，可得四边形EFGH的邻边相等，所以四边形EFGH是菱形。
师：如图4，菱形ABCD呢？
生2：因为菱形ABCD的对角线互相垂直，可得四边形EFGH的邻边垂直，所以四边形EFGH是矩形。
师：如图5，正方形ABCD呢？如图6，等腰梯形ABCD呢？……
生3：四边形EFGH是正方形。
生4：四边形EFGH是菱形。
师: 刚才你们的推理论证，关键抓住了什么？
生（齐）：还是连接对角线，把四边形问题转化为三角形问题来解决。（抓对角线）
师：能说得具体些吗？……
师生（归纳）：抓住“外”四边形的两条对角线之间的关系来研究“内”四边形的形状。即：若“外”四边形的两条对角线相等（垂直），则“内”四边形的邻边就相等（垂直）。
师生（归纳）：连接矩形（菱形、正方形、等腰梯形）各边中点所得的四边形是菱形（矩形。正方形、菱形）。（板书：结论2、3、4、5）。
点评：以上是第二层次的探究。把特殊四边形的判定和性质作了全面的复习，学生的积极性得到了调动，思维还很活跃，趁热打铁，培养学生的逆向思维。
师：下面，我们放开条件探究，连接何种四边形ABCD各边中点所得的四边形EFGH是平行四边形?
生1：简单，任意四边形ABCD。
师：所得的四边形EFGH是矩形呢?
生2：菱形ABCD。因为矩形EFGH的对角线相等。
师：同学们有不同的看法吗？（学生沉默了几十秒，渐渐议论开了）
生3：不一定是菱形ABCD，应该是对角线互相垂直的四边形ABCD。因为矩形EFGH的邻边垂直，所以“外”四边形ABCD的对角线互相垂直。（掌声响起）
师：所得的四边形EFGH是菱形、正方形、等腰梯形呢?
生4：……四边形EFGH不可能是等腰梯形……
师生（归纳）：抓住“内”四边形的邻边与“外”四边形的对角线的对应关系。
点评：以上是第三层次的探究。课堂气氛达到高潮，学生积极参与，思维也越敏捷。
（2）改变图形形状，激起探究欲望。留给学生较大的探索余地，充分肯定和鼓励学生的探索精神，培养学生发散思维。
片段2：
北师大版八年级下册数学p2454，如图7，求证：（2）∠BDC=∠B+∠C+∠A
证明思路：如图8，延长BD交AC于点E,∵∠BEC是△ABE的外角,∴∠BEC=∠A+∠B，同理，∠BDC=∠C+∠BEC ，……(其余思路略)
师：把图7的“点A”一分为二，使直线AB∥EC，变为图9，这时点A消失了，请探究的数量关系，并证明之。（结论仍成立，证明略）（*）
师：请同学们张开思维的翅膀，探究并画出图9中，点D运动到不同的位置时，图形的各种变化情况。……
师生（归纳）：至少可以分成以下三类。……
师（整理）：在（*）的基础上，点D运动到平行线的外边，其它条件不变，请探究会有什么结果？（如图10、11、12、13）……
师（整理）：在（*）的基础上，点D运动到点B、C的右侧且在两平行线间，其它条件不变，请探究会有什么结果？（如图14、15）……
师（整理）：在（*）的基础上，如果点D不止一个，其它条件不变，请探究会有什么结果？（如图16）……
师：以上所有情形，在寻找∠B,∠D,∠C之间的数量关系时，抓住的关键是什么？
生（归纳）：添加辅助线（有的不用），创造两条直线被第三条直线所截，利用“三线八角”来转化。
点评：任何事物都是运动、变化和发展的。事物的相互联系构成运动，没有联系也就没有发展。而事物的联系和发展有着自身固有的规律。列宁说：“规律就是关系……”。以上从运动变化的观点揭示各种不同情况之间的关系，抓住变化的规律，教育学生学数学要善于抓住不变的根本，又要善于灵活地在变化中认识、处理和解决问题。
2、一题多解，发散思维。一道数学题，从多方向、多角度、多手段、多途径入手，可得到多种不同的思路，广阔寻求多种解法，有利于调动学生的积极性，有利于提高学生的解题能力，有利于培养学生的思维品质。
片段3：
北师大版八年级下册数学P237，如图17，三角形内角和定理的证明。
师：还记得过去撕纸实验得出“三角形内角和等于180°”的结论吗？
师：如图17，当时我们把∠A移到∠1的位置，∠B移到∠2的位置，∠C不动。
请问，根据什么得出上述结论的？实验方法的思路是什么？
生：依据平角的定义。把分散的三个角“搬”到一起，从而构成一个平角。……
师：实验的方法可靠吗？……从撕纸实验的探索过程，你得到什么启示？不实际移动∠A、∠B行吗？证明的思路是什么？
生（众）：…… 证明的思路是把分散的三个角“搬”到一起，从而构成一个平角。而添加合适的平行线则是将角“搬”到一起的基本途径。
点评：让学生从感性认识上升到理性认识，体会证明的必要性，树立推理意识。人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的。当问题的条件不够时，添加辅助线，构造新图形，形成新关系，建立已知、未知间的桥梁，把问题转化成自己已经会解的情况，这是解决问题常用的策略之一。
生1：如图18，延长BC到D，过点C作射线CE∥BA,则∠1=∠A,∠2=∠B。
∵∠1+∠2+∠ACB=180°
∴∠A+∠B+∠ACB=180°
生2：如图18，延长BC到D，平移∠B，作∠ECD=∠B,则CE∥BA……
生3：如图19，过点A作直线PQ∥BC, 则∠1=∠B,∠2=∠C……
师：以上三种证明方法有什么共同特点？
生（归纳）：都抓住“把三个角‘搬’到一起，让三个顶点重合在一个顶点处，两条边形成一条直线，以便利用平角定义”这一基本思想。
生4：如图20，延长BC到D，过点C作射线CE∥BA,则 ∠1=∠A……
生5：如图21，将△ABC绕AC的中点旋转180°，得△B′AC……
生6: 如图22,分别过点A、B、C作AD⊥BC，BE⊥BC, CF⊥BC……
师：以上三种证明方法又有什么共同特点？
生（归纳）：都抓住“把二个角‘搬’到一起，让三个顶点同在一条直线上，以便利用两直线平行，同旁内角互补这一性质”。
师：同学们还有什么大胆的想法与大家分享？
生7：如图23,我把三个角‘搬’到一起，让三个顶点重合在三角形一边上的某点处，同样利用平角定义。平移△ABC至△DEF处，交AC边于点G，过点G作MN∥BC，分别交AB、DF于点M、N，则 ∠B=∠1,∠C=∠2,∠A=∠3……
生8：如图24,把△ABC的顶点A沿AB、AC的中点连线DE对折，则点A落在BC边上的点F处。
生（众）：为什么？
生8：由三角形中位线定理知，△ADE的高是△ABC的高的一半，所以点A 必落在BC边上的点F处。所以AD=DB=DF,∠A=∠3,所以∠B=∠1,同理……
生（齐）：掌声热烈（但又有学生嘀咕：太繁杂）
师：那好，请同学们把刚才生8的想法改进一下！
生9：如图25，使四边形ADFE为平行四边形，而不论点D、E为中点。……
生10：如图26,我把三个角‘搬’到一起，让三个顶点重合在三角形内部的某点处，利用平角定义。……
师：生10的解法可以转化为生9的解法，相当于把边BC“提升”到MN的位置。体现特殊与一般的关系。……
生11：如图27,我把三个角‘搬’到一起，让三个顶点重合在三角形外部的某点处，利用平角定义。（水到渠成）……
点评：课本例习题都是经过专家挑选的，如果我们对其进行挖掘、变式、延伸和拓广，就会得到一些综合性较强，符合创新精神的新命题，这样不仅能激发学生的学习兴趣，而且符合中考题源于课本的命题思想，是新课标中数学探究性学习的一种行之有效的方法。
二、例习题课探究性教学的反思
回顾以上三个片段的教学过程，都给学生充分创造探究活动的机会，让学生积极主动地进行数学探索，发展学生的思维，拓宽学生的视野。但对例习题进行探究教学时，存在几个问题值得思考：
1.素质教育与应试教育的矛盾。例习题课探究性教学，花费大量的时间。虽说培养学生发散思维的能力，但有时教学任务无法完成，影响学生眼前的应试。
2.面向全体与部分参与的矛盾。例习题课探究性教学，往往只有部分学生积极参与，深入思考，相当部分学生却“冷场”，无法做到面向全体。
3.课堂调控“度”与“量”的矛盾。例习题课探究性教学，放开到什么程度，放开多长时间，多少学生在参与，“玩”的学生怎么调动，探究方向怎么调控，课堂效率怎么提高。有时难于把握好“度”与“量”。
4.思维多样性与批判性的矛盾。例习题课探究性教学，从多角度、全方位去思考时，倘若探究方向正确，可能顺利得出结论，有时不正确，产生错误的结论，还要从头开始，“浪费”大量的时间。
参考文献：
[1]北师大版.义务教育课程标准实验教科书[S].数学教师教学用书八年级下册
[2]贾宏英.创设问题情境，实施探究性教学[J].数学教学通讯，2006.2
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文