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数学家阿达玛说“数学家的美感犹如一个筛子，没有它的人永远成不了数学家。”数学美感是数学中的非逻辑思维方法，也是数学创造性思维中的重要因素之一。所谓数学美感是指人们在从事数学研究时最高层次的显意识和潜意识相结合的思维方式，是唤起和激发人的最高享受的心理体验。罗增儒先生也强调：经验题感的一个重要构成是美感，熟谙数学美，能以美启真，以美寻真，能够从题意中领悟到审美感受，从而随之产生解题意向。那么，当一个问题尚未达到美的境界和标准时，人们就可按照美的规律进行创造，从而解决问题。
数学解题中，用数学审美的眼光去观察题目的结构特征，捕获美感元素，作出审美思考，会帮助我们探究到解题思路。
一、捕获内在美感元素，探究解题思路
内在美又称神秘美，是数学美的内在诸要素的内部组织结构。如何捕获内在美感元素，并以美为中介探寻解题思路呢？
1.奇中思谐，从常规到新颖
例1：求sin60+sin780+sin1500+sin2220+sin2940的值。
分析：显然用两角和的正弦公式来
计算既繁又难。60、780、1500、2220、2940这些角之间有何联系呢？
易发现它们是公差为720的一有限数列，存在着内部和谐美。720是一个美感元素，由它们我们可以联想到正五边形。如图1，构造边长为1的正五边形ABCDE，且使∠xAB=60，则BC，CD，DE，EA与x轴正向所成的角分别为780、1500、2220、2940，向量BC，CD，DE，EA在y轴上的射影分别为sin60，sin780，sin1500，sin2220，sin2940，根据“任意n（n＞3）个首尾相接的向量在x轴上的投影之和为零”这一结论可知sin60+sin780+sin1500+sin2220+sin2940=0
2．数形相辅，由繁琐到简洁
例2：若a＞0且b＞a+c，求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有相异两实根。
分析：本题只须证明△=b2-4ac＞0但纯代数方法较繁。由于数和形存在着内在的统一美，故可捕捉“数形结合”这一美感元素来探究解题思路。
证明：设y=ax2+bx+c，∵a＞0，∴对应的抛物线开口向上
又∵b＞a+c，即a-b+c＜0这表示当x=-1时，二次函数的值小于0∴抛物线与x轴又两个不同的交点，从而方程ax2+bx+c=0有两个不等的实根。
可见，奇异与和谐、一般与特殊、数与形的辩证统一美，都是我们在解题中的转化条件、探求思路的向导。
二．、捕获外在美感元素，探究解题思路
外在美又称形态美，是指数学美的内容的外部表现形态。如何捕捉外在美感元素并利用它探究解题思路呢？
1．对称美，从不规则、到规则
例3：设a1、a2、.....an是和为1的正数。
证明： ■+■+......+■+■≥■
分析：记待证不等式左边为A，则A具有对称美的特征，故可设B=■+■+......+■+■
A-B＝（ａ１－ａ２）＋（ａ２－ａ３）＋．．．．．．＋（ａｎ－１－ａｎ）＋（ａｎ－ａ１）＝０
∴A＝B
∴A＝■（A＋B）＝■（■＋■＋．．．．．．＋■＋■）
≥■■＋■＋．．．．．．＋■＋■
＝■（a1+a2）＋（a２+a３）＋．．．．．．＋（an-1+an）＋（an+a１
＝■２（a1+a2＋．．．．．．＋ａｎ）＝■
2.直覺补美，从不完整到完整
例4：已知数列ｂｎ是等差数列， ｂ１＝１，ｂ１＋ｂ２＋．．．．．．＋ｂｎ＝１４５
（1）求数列ｂｎ的通项ｂｎ；
（2）设数列ａｎ的通项ａｎ＝ｌｏｇａ１＋■（其中ａ＞0且ａ≠１）记Ｓｎ是数列ａｎ的前ｎ项和，试比较Ｓｎ与■ｌｏｇａｂｎ＋１的大小，并证明你的结论。
分析：由已知条件易知ｂｎ的通项ｂ■＝３ｎ－２
∵■ｌｏｇａｂｎ＋１＝ｌｏｇａ■＝ｌｏｇａ■
Ｓｎ＝a1+a2＋．．．．．．＋an＝ｌｏｇａ１＋１＋ｌｏｇａ１＋■＋．．．．．．＋ｌｏｇａ１＋■
＝ｌｏｇａ１＋１１＋■．．．．．．１＋■
＝ｌｏｇａ■×■×．．．．．．×■
第（2）小题转化为Ａｎ＝■×■×．．．．．．×■与Ｄｎ＝■的大小比较，即比较Ａ■■与３ｎ＋１的大小。
分析Ａ■的结构，相邻两个分数的分子、分母之间都相差３，这种结构是有规律的，但似乎有点“不完整”，在■与■之间有■、■，在■与■之间有■、■、．．．．．．，它们是一些结构完全相同的假分数，它们好像被“遗漏”了，对整体美的追求驱使我们直觉补美。
设Ｂｎ＝■×■×．．．．．．×■，Ｃｎ＝■×■×．．．．．．×■
而Ａ■×Ｂｎ×Ｃｎ＝３ｎ＋１，∴要比较Ａ■■与３ｎ＋１的大小，即比较Ａ■■与Ａ■×Ｂｎ×Ｃｎ的大小。 由真分数不等式的知识：０＜ａ＜ｂ，ｍ＞0则■＜■从而■＞■，故有■＞■＞■，■＞■＞■，．．．．．．■＞■＞■。各式相乘，得Ａ■＞Ｂｎ＞Ｃｎ，所以Ａ■■＞Ａ■×Ｂｎ×Ｃｎ即Ａ■＞■当ａ＞１时，Ｓｎ＞■ｌｏｇａｂｎ＋１，当０＜ａ＜ｂ时，Ｓｎ＜■ｌｏｇａｂｎ＋１．
“美是真理的光辉”、“美感是一种动力”。数学美能增进主体对数学的直觉能力和创造思维能力，具有科学方法的功能。在解题过程中，我们需要从微观到宏观、从易到难、从简单到复杂渐次地引导学生去观察，去感受，去体验，捕获美感元素，找到解决问题的最佳切入点，探究解题思路。
【参考文献】
[1]宋辉.有心曲线类准线的几个优美性质.中学数学教学参考（上半月）.2009，（06）.
[2]袁方程.构造几何直观图证明不等式.中学数学研究.2008,（10）.
[3]袁方程.浅谈解题切入点的找寻.中学数学.2009，（08）.
[4]魏立国.一道IMO预选题的巧证及其推广.中学数学研究. 2008，（01）.
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数学解题中，用数学审美的眼光去观察题目的结构特征，捕获美感元素，作出审美思考，会帮助我们探究到解题思路。
一、捕获内在美感元素，探究解题思路
内在美又称神秘美，是数学美的内在诸要素的内部组织结构。如何捕获内在美感元素，并以美为中介探寻解题思路呢？
1.奇中思谐，从常规到新颖
例1：求sin60+sin780+sin1500+sin2220+sin2940的值。
分析：显然用两角和的正弦公式来
计算既繁又难。60、780、1500、2220、2940这些角之间有何联系呢？
易发现它们是公差为720的一有限数列，存在着内部和谐美。720是一个美感元素，由它们我们可以联想到正五边形。如图1，构造边长为1的正五边形ABCDE，且使∠xAB=60，则BC，CD，DE，EA与x轴正向所成的角分别为780、1500、2220、2940，向量BC，CD，DE，EA在y轴上的射影分别为sin60，sin780，sin1500，sin2220，sin2940，根据“任意n（n＞3）个首尾相接的向量在x轴上的投影之和为零”这一结论可知sin60+sin780+sin1500+sin2220+sin2940=0
2．数形相辅，由繁琐到简洁
例2：若a＞0且b＞a+c，求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有相异两实根。
分析：本题只须证明△=b2-4ac＞0但纯代数方法较繁。由于数和形存在着内在的统一美，故可捕捉“数形结合”这一美感元素来探究解题思路。
证明：设y=ax2+bx+c，∵a＞0，∴对应的抛物线开口向上
又∵b＞a+c，即a-b+c＜0这表示当x=-1时，二次函数的值小于0∴抛物线与x轴又两个不同的交点，从而方程ax2+bx+c=0有两个不等的实根。
可见，奇异与和谐、一般与特殊、数与形的辩证统一美，都是我们在解题中的转化条件、探求思路的向导。
二．、捕获外在美感元素，探究解题思路
外在美又称形态美，是指数学美的内容的外部表现形态。如何捕捉外在美感元素并利用它探究解题思路呢？
1．对称美，从不规则、到规则
例3：设a1、a2、.....an是和为1的正数。
证明： ■+■+......+■+■≥■
分析：记待证不等式左边为A，则A具有对称美的特征，故可设B=■+■+......+■+■
A-B＝（ａ１－ａ２）＋（ａ２－ａ３）＋．．．．．．＋（ａｎ－１－ａｎ）＋（ａｎ－ａ１）＝０
∴A＝B
∴A＝■（A＋B）＝■（■＋■＋．．．．．．＋■＋■）
≥■■＋■＋．．．．．．＋■＋■
＝■（a1+a2）＋（a２+a３）＋．．．．．．＋（an-1+an）＋（an+a１
＝■２（a1+a2＋．．．．．．＋ａｎ）＝■
2.直覺补美，从不完整到完整
例4：已知数列ｂｎ是等差数列， ｂ１＝１，ｂ１＋ｂ２＋．．．．．．＋ｂｎ＝１４５
（1）求数列ｂｎ的通项ｂｎ；
（2）设数列ａｎ的通项ａｎ＝ｌｏｇａ１＋■（其中ａ＞0且ａ≠１）记Ｓｎ是数列ａｎ的前ｎ项和，试比较Ｓｎ与■ｌｏｇａｂｎ＋１的大小，并证明你的结论。
分析：由已知条件易知ｂｎ的通项ｂ■＝３ｎ－２
∵■ｌｏｇａｂｎ＋１＝ｌｏｇａ■＝ｌｏｇａ■
Ｓｎ＝a1+a2＋．．．．．．＋an＝ｌｏｇａ１＋１＋ｌｏｇａ１＋■＋．．．．．．＋ｌｏｇａ１＋■
＝ｌｏｇａ１＋１１＋■．．．．．．１＋■
＝ｌｏｇａ■×■×．．．．．．×■
第（2）小题转化为Ａｎ＝■×■×．．．．．．×■与Ｄｎ＝■的大小比较，即比较Ａ■■与３ｎ＋１的大小。
分析Ａ■的结构，相邻两个分数的分子、分母之间都相差３，这种结构是有规律的，但似乎有点“不完整”，在■与■之间有■、■，在■与■之间有■、■、．．．．．．，它们是一些结构完全相同的假分数，它们好像被“遗漏”了，对整体美的追求驱使我们直觉补美。
设Ｂｎ＝■×■×．．．．．．×■，Ｃｎ＝■×■×．．．．．．×■
而Ａ■×Ｂｎ×Ｃｎ＝３ｎ＋１，∴要比较Ａ■■与３ｎ＋１的大小，即比较Ａ■■与Ａ■×Ｂｎ×Ｃｎ的大小。 由真分数不等式的知识：０＜ａ＜ｂ，ｍ＞0则■＜■从而■＞■，故有■＞■＞■，■＞■＞■，．．．．．．■＞■＞■。各式相乘，得Ａ■＞Ｂｎ＞Ｃｎ，所以Ａ■■＞Ａ■×Ｂｎ×Ｃｎ即Ａ■＞■当ａ＞１时，Ｓｎ＞■ｌｏｇａｂｎ＋１，当０＜ａ＜ｂ时，Ｓｎ＜■ｌｏｇａｂｎ＋１．
“美是真理的光辉”、“美感是一种动力”。数学美能增进主体对数学的直觉能力和创造思维能力，具有科学方法的功能。在解题过程中，我们需要从微观到宏观、从易到难、从简单到复杂渐次地引导学生去观察，去感受，去体验，捕获美感元素，找到解决问题的最佳切入点，探究解题思路。
【参考文献】
[1]宋辉.有心曲线类准线的几个优美性质.中学数学教学参考（上半月）.2009，（06）.
[2]袁方程.构造几何直观图证明不等式.中学数学研究.2008,（10）.
[3]袁方程.浅谈解题切入点的找寻.中学数学.2009，（08）.
[4]魏立国.一道IMO预选题的巧证及其推广.中学数学研究. 2008，（01）.
“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”