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〔关键词〕 三角函数；象限；角的范围；图象
〔中图分类号〕 G633.62〔文献标识码〕 A
〔文章编号〕 1004—0463（2008）10（B）—0063—02
在高中数学的学习中，如何确定三角函数值符号的正负，是学生普遍感到困惑或棘手的问题.但是，如果能够弄清楚决定三角函数值变化的主要因素，问题就变得简单了.阿基米德说过：“给我一个支点，我可以撬起地球.”事实上，正确的切入点，就像是撬起地球时的支点一样，是解决难题的基础.抓住了决定三角函数值变化的主要因素，三角函数值的确定问题就会迎刃而解.那么，决定三角函数值变化的主要因素有哪些呢？
显然，无论是在正弦、余弦、正切、余切函数中，还是在正割、余割函数中，角的范围始终是三角函数值变化的基点，而且，我们也知道，每一种三角函数值的变化，都是随着角度范围的变化，在一定的象限中呈周期性变化的，每种函数的值域都是在一定的定义域内存在规律性变化的.因此，确定三角函数值符号的问题，就转化成了确定角所在象限、角的范围的问题.
首先，从角所在的象限来看，正弦、余割函数，余弦、正割函数，正切、余切函数呈两两对应关系，它们在相同象限的函数值符号相同.因此，在具体解题中，只要弄清楚函数值符号与角所在象限的对应关系，往往就可以轻松地解决问题.
例如，求y=+++的值域.
首先可以肯定的是分母不能为0，因此sinx≠0，cosx≠0，tanx≠0，cotx≠0，也就是说x≠kπ或x≠kπ+，k∈Z.所以，当x在第一象限时，|sinx|=sinx，|cosx|=cosx，|tanx|=tanx，|cotx|=cotx，y=1+1+1+1=4；同理，当x在第二象限时，y=1-1-1-1=-2；当x在第三象限时，y=-1-1+1+1=0；当x在第四象限时，y=-1+1-1-1=-2.显然，y的值域为{-2，0，4}.
其次，通过确定角的具体范围，也可以达到确定三角函数值符号的目的.那么，如何确定角的具体范围呢？显然，角的范围问题从根本上来说，涉及到的其实是如何解不等式值的问题.
我们知道，在不等式的运算过程中，“同向不等式相加，不等号不变”，“不等式两边同乘以-1，不等号要变号”.而在确定三角函数值符号的问题中，可利用不等式的性质来求角的具体范围，从而实现确定三角函数值符号的目的，这是一种比较有效的思路.
例如，已知0＜α＜＜β＜π，sinα=，cos（α+β）=
-，求sinβ的值.
我们可以这样来分析： β=[（α+β）-α]，则sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα .根据sin2α+cos2α=1,可求出sin2（α+β）和cos2α的值，因此可以看出，本题的重点是需确定sin（α+β）和cosα的符号.由0＜α＜，sinα=可知，cosα==.又0＜α＜＜β＜π，由不等式性质可知＜α+β＜，所以sin（α+β）=±=±，sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=±×-（-）×，所以sinβ的值为0或.
但是有时候，仅仅根据不等式的性质求出了解的范围，并不能确定三角函数值的符号，还需要根据三角函数的增减性将所求角的范围具体化，才能确定三角函数值的符号.
例如，已知α、β、?酌都是锐角，tanα=，tanβ=，tan?酌=，求sin（α+β+?酌）的值.
我们的分析是：由已知，0＜α+β+?酌＜，而sin（α+β+?酌）的值可正可负，并不确定，因此，我们必须要根据三角函数的增减性来将角的范围具体化.具体解法为： ∵ tan（α+β）==，tan（α+β+?酌）==1.又∵ 0＜α＜，tanα=＜， ∴ 0＜α＜.同理，0＜β＜，0＜?酌＜.而tan（α+β+?酌）=1，∴ α+β+?酌=，sin（α+β+?酌）=.
从以上解题过程可以看出，要充分利用角的范围来确定三角函数值的符号，必须要非常熟悉各种函数之间的转化关系和各种函数在对应象限中的变化情况.而要能熟练掌握这些内容，除了要熟练运用半角公式、倍角公式、万能公式、积化和差公式、和差化积公式等各种数学公式外，更重要的是要非常熟悉各种函数的图象.
因此，最后我们还要学会根据三角函数的图象来确定三角函数值符号的方法.事实上，三角函数的图象与三角函数角的范围、角所在的象限都存在着非常密切的对应关系.利用函数图象直观地进行考察和分析来确定函数符号的正负，显得更为直观，也更为方便.
〔中图分类号〕 G633.62〔文献标识码〕 A
〔文章编号〕 1004—0463（2008）10（B）—0063—02
在高中数学的学习中，如何确定三角函数值符号的正负，是学生普遍感到困惑或棘手的问题.但是，如果能够弄清楚决定三角函数值变化的主要因素，问题就变得简单了.阿基米德说过：“给我一个支点，我可以撬起地球.”事实上，正确的切入点，就像是撬起地球时的支点一样，是解决难题的基础.抓住了决定三角函数值变化的主要因素，三角函数值的确定问题就会迎刃而解.那么，决定三角函数值变化的主要因素有哪些呢？
显然，无论是在正弦、余弦、正切、余切函数中，还是在正割、余割函数中，角的范围始终是三角函数值变化的基点，而且，我们也知道，每一种三角函数值的变化，都是随着角度范围的变化，在一定的象限中呈周期性变化的，每种函数的值域都是在一定的定义域内存在规律性变化的.因此，确定三角函数值符号的问题，就转化成了确定角所在象限、角的范围的问题.
首先，从角所在的象限来看，正弦、余割函数，余弦、正割函数，正切、余切函数呈两两对应关系，它们在相同象限的函数值符号相同.因此，在具体解题中，只要弄清楚函数值符号与角所在象限的对应关系，往往就可以轻松地解决问题.
例如，求y=+++的值域.
首先可以肯定的是分母不能为0，因此sinx≠0，cosx≠0，tanx≠0，cotx≠0，也就是说x≠kπ或x≠kπ+，k∈Z.所以，当x在第一象限时，|sinx|=sinx，|cosx|=cosx，|tanx|=tanx，|cotx|=cotx，y=1+1+1+1=4；同理，当x在第二象限时，y=1-1-1-1=-2；当x在第三象限时，y=-1-1+1+1=0；当x在第四象限时，y=-1+1-1-1=-2.显然，y的值域为{-2，0，4}.
其次，通过确定角的具体范围，也可以达到确定三角函数值符号的目的.那么，如何确定角的具体范围呢？显然，角的范围问题从根本上来说，涉及到的其实是如何解不等式值的问题.
我们知道，在不等式的运算过程中，“同向不等式相加，不等号不变”，“不等式两边同乘以-1，不等号要变号”.而在确定三角函数值符号的问题中，可利用不等式的性质来求角的具体范围，从而实现确定三角函数值符号的目的，这是一种比较有效的思路.
例如，已知0＜α＜＜β＜π，sinα=，cos（α+β）=
-，求sinβ的值.
我们可以这样来分析： β=[（α+β）-α]，则sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα .根据sin2α+cos2α=1,可求出sin2（α+β）和cos2α的值，因此可以看出，本题的重点是需确定sin（α+β）和cosα的符号.由0＜α＜，sinα=可知，cosα==.又0＜α＜＜β＜π，由不等式性质可知＜α+β＜，所以sin（α+β）=±=±，sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=±×-（-）×，所以sinβ的值为0或.
但是有时候，仅仅根据不等式的性质求出了解的范围，并不能确定三角函数值的符号，还需要根据三角函数的增减性将所求角的范围具体化，才能确定三角函数值的符号.
例如，已知α、β、?酌都是锐角，tanα=，tanβ=，tan?酌=，求sin（α+β+?酌）的值.
我们的分析是：由已知，0＜α+β+?酌＜，而sin（α+β+?酌）的值可正可负，并不确定，因此，我们必须要根据三角函数的增减性来将角的范围具体化.具体解法为： ∵ tan（α+β）==，tan（α+β+?酌）==1.又∵ 0＜α＜，tanα=＜， ∴ 0＜α＜.同理，0＜β＜，0＜?酌＜.而tan（α+β+?酌）=1，∴ α+β+?酌=，sin（α+β+?酌）=.
从以上解题过程可以看出，要充分利用角的范围来确定三角函数值的符号，必须要非常熟悉各种函数之间的转化关系和各种函数在对应象限中的变化情况.而要能熟练掌握这些内容，除了要熟练运用半角公式、倍角公式、万能公式、积化和差公式、和差化积公式等各种数学公式外，更重要的是要非常熟悉各种函数的图象.
因此，最后我们还要学会根据三角函数的图象来确定三角函数值符号的方法.事实上，三角函数的图象与三角函数角的范围、角所在的象限都存在着非常密切的对应关系.利用函数图象直观地进行考察和分析来确定函数符号的正负，显得更为直观，也更为方便.