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摘 要：圆锥曲线解题中计算量大，化简繁杂. 适当地利用曲线中的定量、定值对解题的化简有很大的帮助. 本文通过2009年全国联赛一试中的一题，谈谈圆锥曲线中涉及直角三角形时的性质，并对其加以应用和推广.
关键词：圆锥曲线；三角形；简化；垂直；数形结合；垂直
圆锥曲线问题一直是近几年高考的重点、难点，也因为圆锥曲线的参数多、计算难、化简繁杂，而让许多学生望而却步.充分利用圆锥曲线的几何性质对于简化计算、减少参数提供了简便和快捷.本文试着从圆锥曲线内直角三角形的一个性质浅谈对解题的简化.
下面先介绍两个引理.
引理1 椭圆+=1上任意取两点P，Q，满足∠POQ为直角，则+为常数.
这个引理可以通过直接设椭圆上的两点，利用三角函数公式得出结论.
证明：如图1∠xOQ=α，则由题意知∠xOP=α+，设Q（OQcosα，OQ·sinα），POPcosα+，OPsinα+，即P（－OPsinα，OPcosα）.
代入椭圆方程得
OQ?摇2cos2αa2+OQ?摇2sin2αb2=1，OP?摇2sin2αa2+OP2cos2αb2=1， ?圯+=OQ2，+=OP2，
两式相加得+=+.
该性质也可以在双曲线中得到推证.
引理2 双曲线-=1（0 这两个定理在解决圆锥曲线题中可以直接发挥优势作用.
例1 （09年全国联赛一试）椭圆+=1（a>b>0）上任意两点P，Q，若OP⊥OQ，（O为坐标原点）则乘积OP·OQ的最小值为________.
分析：本题考察圆锥曲线上两个动点与坐标原点的性质. 如果从设P，Q两点入手，直接去求乘积OP·OQ，显然变量较多，关系复杂，不容易求得结果.如果直接从定理入手解题就较为直接.
解答：设P（OPcosθ，OPsinθ），QOQcosθ±?摇，OQsinθ±?摇．
由P，Q在椭圆上得=+①，=+②.
①+②得+=+．
利用基本不等式可得，
当OP=OQ=时，
OP·OQ达到最小值.
例2 椭圆+=1上任意取两点A，B，使得OA⊥OB，求原点O到直线AB 的距离.
分析：本题若直接设直线，则计算量会较大. 如果从本文性质入手，就会使得解题明朗、简洁.
解：由以上结论可以直接得+=+.
而+=，又设原点O到直线AB的距离为h，
利用三角形OAB面积相等得OA·OB=h·AB?圯h=，
所以=+，
解得h=.
本例解法也适用于双曲线.在双曲线与直线相交于A，B和坐标原点构成直角三角形的题目中，巧妙利用性质，对解题有着决定性的作用.
例3 双曲线－=1（a，b>0）与直线x+y=1交于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点）.
（1）?摇求-的值；
（2）若双曲线的离心率e满足≤e≤，求双曲线实轴的取值范围.
解：（1）由以上结论结合题意可得+=－，而
+==，其中h为原点到直线x+y=1的距离.
又易得原点O到直线的距离等于，
所以－==2.
（2）由（1）得－=2，
又由≤e≤易得1≤≤2，联立求解得0≤a≤.
所以双曲线实轴长范围为［0，1］.
从上例也可以看出，双曲线中直角三角形的性质在解题中发挥了直接的优势作用. 综上，该命题在解决椭圆和双曲线上直角三角形的相关问题时有很大的用处，还可以利用直角三角形中的性质，解决直线与圆锥曲线相交的问题. 近几年的高考题中都出现了圆锥曲线中的垂直关系，如果合理地利用圆锥曲线的性质，合理提取出已知条件中蕴藏的特征点，可以很大程度上简化解题过程和步骤.
关键词：圆锥曲线；三角形；简化；垂直；数形结合；垂直
圆锥曲线问题一直是近几年高考的重点、难点，也因为圆锥曲线的参数多、计算难、化简繁杂，而让许多学生望而却步.充分利用圆锥曲线的几何性质对于简化计算、减少参数提供了简便和快捷.本文试着从圆锥曲线内直角三角形的一个性质浅谈对解题的简化.
下面先介绍两个引理.
引理1 椭圆+=1上任意取两点P，Q，满足∠POQ为直角，则+为常数.
这个引理可以通过直接设椭圆上的两点，利用三角函数公式得出结论.
证明：如图1∠xOQ=α，则由题意知∠xOP=α+，设Q（OQcosα，OQ·sinα），POPcosα+，OPsinα+，即P（－OPsinα，OPcosα）.
代入椭圆方程得
OQ?摇2cos2αa2+OQ?摇2sin2αb2=1，OP?摇2sin2αa2+OP2cos2αb2=1， ?圯+=OQ2，+=OP2，
两式相加得+=+.
该性质也可以在双曲线中得到推证.
引理2 双曲线-=1（0
例1 （09年全国联赛一试）椭圆+=1（a>b>0）上任意两点P，Q，若OP⊥OQ，（O为坐标原点）则乘积OP·OQ的最小值为________.
分析：本题考察圆锥曲线上两个动点与坐标原点的性质. 如果从设P，Q两点入手，直接去求乘积OP·OQ，显然变量较多，关系复杂，不容易求得结果.如果直接从定理入手解题就较为直接.
解答：设P（OPcosθ，OPsinθ），QOQcosθ±?摇，OQsinθ±?摇．
由P，Q在椭圆上得=+①，=+②.
①+②得+=+．
利用基本不等式可得，
当OP=OQ=时，
OP·OQ达到最小值.
例2 椭圆+=1上任意取两点A，B，使得OA⊥OB，求原点O到直线AB 的距离.
分析：本题若直接设直线，则计算量会较大. 如果从本文性质入手，就会使得解题明朗、简洁.
解：由以上结论可以直接得+=+.
而+=，又设原点O到直线AB的距离为h，
利用三角形OAB面积相等得OA·OB=h·AB?圯h=，
所以=+，
解得h=.
本例解法也适用于双曲线.在双曲线与直线相交于A，B和坐标原点构成直角三角形的题目中，巧妙利用性质，对解题有着决定性的作用.
例3 双曲线－=1（a，b>0）与直线x+y=1交于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点）.
（1）?摇求-的值；
（2）若双曲线的离心率e满足≤e≤，求双曲线实轴的取值范围.
解：（1）由以上结论结合题意可得+=－，而
+==，其中h为原点到直线x+y=1的距离.
又易得原点O到直线的距离等于，
所以－==2.
（2）由（1）得－=2，
又由≤e≤易得1≤≤2，联立求解得0≤a≤.
所以双曲线实轴长范围为［0，1］.
从上例也可以看出，双曲线中直角三角形的性质在解题中发挥了直接的优势作用. 综上，该命题在解决椭圆和双曲线上直角三角形的相关问题时有很大的用处，还可以利用直角三角形中的性质，解决直线与圆锥曲线相交的问题. 近几年的高考题中都出现了圆锥曲线中的垂直关系，如果合理地利用圆锥曲线的性质，合理提取出已知条件中蕴藏的特征点，可以很大程度上简化解题过程和步骤.