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摘 要：首先以《概率论》课程的现状出发，阐述了研讨式教学的内涵和特点。以《概率论》中“离散型随机变量的数学期望和方差”为例，将研讨式教学在《概率论》课程教学实践中推广应用，以促进“以学生为中心”的教学改革，有效提高课堂教学质量。
关键词：研讨式教学;《概率论》;数学期望;方差
中图分类号：G4 文献标识码：A doi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2020.10.081
0 引言
《概率论》课程是学习专业课、基础专业课等后续课程的必要基础，也是参加社会生产、日常生活和工作的必要基础。传统的概率论课堂中，授课教师需要花费大量的时间按照教材内容和教学大纲准备教学教案及课件等，同时，传统课堂一般以教师讲述教材、学生被动接受知识为主，导致学生在学习过程中缺少了想象、开发和拓展知识的空间，不利于学生综合素质的培养。研讨式教学模式变“讲授式”为“研讨式”，发挥学生在教学过程中的主体作用。因此，为进一步加强教学研究，深化课堂教学改革，改变过分强调“以教师为主体，以讲授知识为主线”的教学模式，树立“以学生为中心”的教学理念，培养学生创新意识和自主学习能力，将研讨式教学模式引入课堂是必要且迫切的。本文以《概率论》中“离散型随机变量的数学期望和方差”为例，探讨研讨式教学在概率论课程中教学设计的应用。
1 研讨式教学模式概述
研讨式教学是在教师的指导下，由教师针对某一知识点提出问题，学生通过查找资料、研究、讨论、实践、探索，提出解决问题的办法，在此过程中使学生掌握知识和技能，达到独立学习的目的。通过这种方式，学生不仅仅能够获得更深刻的知识，还可以培养学生创新意识和自主学习能力。研讨式教学模式引入传统课堂的意义在于以下几个方面：
（1）更新教育观念，改变“注入式”和“满堂灌”。为了让学生积极主动、生动活泼地学习，唤起学生求知的欲望、求学的快乐和创新的意识，任教教师需要懂得如何启发和引导。尽量避免采用注入式和满堂灌，努力探索一条能充分调动学生主动性、有利于培养学生多种能力、提高学生综合素质的新路子，创造适合大学生的教学模式。
（2）发挥学生在教学过程中的主体作用，尽可能的调动学生的主动性和积极性，变被动接受为主动求索。学生按照教师的要求自己去检索文献，阅读资料和有关论著，思考问题，撰写文稿，使得学生全身心地投入学习。
（3）加强教师在教学过程中的主导作用。研讨式课堂中，教师的主导作用不仅没有弱化，而且得到强化，教师的主导作用不再是传统讲授的主导，而是体现在课程的宏观规划和研讨方法的具体指导上。
2 基于研讨式教学下“数学期望和方差”的教学设计
根据本人对研讨式教学的理解，下面以“离散型随机变量的数学期望和方差”为例，阐述研讨式教学在这个知识点的具体实施方案。
第一步，情景引入。首先在PPT上展示一个闲置资金理财问题。旁白：“今天我想请同学们帮我的朋友小王解决一个难题，情况是这样的，小王有20万的闲置资金，随着央行的降息，银行的存款利率大大降低，如果存银行，一年后小王将获得利息收益6千元，所以小王开始将目光转移到了高利率的理财产品。对工作人员推荐的产品123，小王找了业内朋友帮忙，获得了关于这些产品的盈亏分析。以一号产品为例，如果小王购买一号理财产品，一年后将有10%的可能获得收益5万元，15%的可能获得收益4万元，但是小王也有5%的可能亏损3万元，等，面对这一大堆数据，小王感到十分困惑。今天呢，咱们就利用数学知识看看能否帮小王做出一个合理的选择。”引导学生在知道概率分布探讨问题：如果你是小王，你将选择几号产品？
第二步，学生分组讨论研究。学生按照教师平时传授的方法独立自主地去查找相关的书籍，在讨论片刻后，将选择同一种理财产品的同学归为一组，接着请同学们分组讨论选择该种产品的理由，学生根据老师提出的问题。讨论过程如下：
一组：在选择一款理财产品前，首先明确选择的标准，小王选择购买理财产品就是看重了理财产品的高利息，我们组认为首要考虑的标准就是高收益。根据前面的学习，数学期望可以量化预期收益，因为期望就是随机变量在概率意义下的平均值，它反映了随机变量取值的平均水平，数学期望越大，预期收益就越高，三种产品中三号产品一年后的预期收益值最大的，我们组一致认为应该为小王选择三号产品。我们组通过计算可知，一号产品的数学期望为1.35，二号产品的数学期望为1，三号产品的数学期望为1.45，三号产品的数学期望最大，预期收益最高，以高收益为选择标准，小王应该选择三号产品。
二组：生活常识告诉我们，高收益往往伴随着高风险，在这种风险投资中，小王不能一味的追求高收益，最重要的是选择一款可以规避风险的产品，我们组认为二号产品的风险最低，小王应该选择二号产品。我们组决定用方差来量化风险。根据定义式我们组计算分别计算出了XYZ的方差，X的方差是6.3275， Y和Z的方差分别是5.5，12.0475。为消除量纲的影响，我们用标准差评估风险，他们的标准差分别为2.515，2.345，3.471。以低风险为选择标准，小王应选择二号产品。
三组：我认为，二组和三组的同学考虑的都不全面，如果小王仅考虑规避风险，大可以把钱存银行，单纯追求高收益可能拿不到你想要的收益，我们组认为，应该综合考虑收益和风险为小王选择一款产品，也就是一号产品。根据计算的所有结果，三种产品的收益分别为1.35，1，1.45，风险分别是2.515，2.345，3.471。从数据来看，二号产品收益最低，风险也最低，我们不妨以二号产品为基準，量化对比三种产品，看看收益变化的同时，风险是如何变化的，一号产品的收益多了35%，风险多了7.2%，收益增幅远高于风险增幅，三号产品收益多了45%，风险却高了48%，风险增幅超出了收益增幅，综合考虑后，我们建议小王选择一号产品。 第三步，教师讲评：一组的同学通过数学期望来量化预期收益，以高收益为标准为小王选择了三号产品，二组的同学通过方差来评估风险，以低风险为标准为小王选择了二号产品，三组的同学综合考虑了高收益和低风险，将三种产品的数学期望和方差进来量化对比，最后为小王选择了一号产品，三个组同学们的观点都是正确的，因为以不同的角度看问题，结果是不一样的，但是我们在风险投资中，不能一味的追去高收益，也不能一味的规避风险，应该将收益和风险综合考量，所以，第三组同学考虑的是最全面的，我们应该为小王选择的是一号产品。
第四步，教师总结提高：总结部分首先由老师对学生答辩的知识和重点难点进行归纳总结。（1）如何量化预期收益？解决办法：引入数学期望的概念，其本质以概率为权值对随机变量取值的加权平均，又稱均值，实际上就是随机变量的平均水平，故可以用数学期望代表预期收益。（2）如何评估风险？解决方案：引入方差和标准差的概念，其本质是度量随机变量的所有可能取值的集中分散程度，故可用方差代表预期收益。
第五步，课后思考：如果想进一步了解理财产品之间有无联动关系的话，需要引入什么统计量？如果想分散风险，稳定收益，可以采用投资组合的方式。为了测量投资组合的风险，不仅要知道两种理财产品的联动关系，还要知道两种理财产品联动程度的大小，什么统计量可以衡量联动程度的大小？ 整个研讨式教学要求师生均准备充分，教学过程非常完整，达到学生收获颇丰，并且伴有意犹未尽之感。
3 应用反思
上例基于研讨式模式的教学设计，在教学形式上，变“讲授式”为“研讨式”，整个教学过程围绕问题展开，以问题的提出开始，以问题的解决结束，将研究与讨论贯穿于教学活动的始终。研讨教学加强教学研究，深化课堂教学改革，改变过分强调“以教师为主体，以讲授知识为主线”的教学模式，树立“以学生为中心”的教学理念，培养学生创新意识和自主学习能力。
参考文献
[1]陈赛艳.启发式、研讨式教学模式在大学物理实验教学中的应用[J].科技视界，2019，（19）：117-118.
[2]赵诣，仲光友，李奎基.研讨式教学法在《法律常识》教学实践中的思考[J].学周刊，2020，（03）：7.
[3]张彦.新工科背景下天线课程改革与研讨式教学研究[J].教育现代化，2019，6（87）：83-85.
[4]耿广威，吴金松，郝景昊，等.应用型高校食品类专业物理化学研讨式教学模式探究[J].山东化工，2019，48（18）：222+224.
关键词：研讨式教学;《概率论》;数学期望;方差
中图分类号：G4 文献标识码：A doi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2020.10.081
0 引言
《概率论》课程是学习专业课、基础专业课等后续课程的必要基础，也是参加社会生产、日常生活和工作的必要基础。传统的概率论课堂中，授课教师需要花费大量的时间按照教材内容和教学大纲准备教学教案及课件等，同时，传统课堂一般以教师讲述教材、学生被动接受知识为主，导致学生在学习过程中缺少了想象、开发和拓展知识的空间，不利于学生综合素质的培养。研讨式教学模式变“讲授式”为“研讨式”，发挥学生在教学过程中的主体作用。因此，为进一步加强教学研究，深化课堂教学改革，改变过分强调“以教师为主体，以讲授知识为主线”的教学模式，树立“以学生为中心”的教学理念，培养学生创新意识和自主学习能力，将研讨式教学模式引入课堂是必要且迫切的。本文以《概率论》中“离散型随机变量的数学期望和方差”为例，探讨研讨式教学在概率论课程中教学设计的应用。
1 研讨式教学模式概述
研讨式教学是在教师的指导下，由教师针对某一知识点提出问题，学生通过查找资料、研究、讨论、实践、探索，提出解决问题的办法，在此过程中使学生掌握知识和技能，达到独立学习的目的。通过这种方式，学生不仅仅能够获得更深刻的知识，还可以培养学生创新意识和自主学习能力。研讨式教学模式引入传统课堂的意义在于以下几个方面：
（1）更新教育观念，改变“注入式”和“满堂灌”。为了让学生积极主动、生动活泼地学习，唤起学生求知的欲望、求学的快乐和创新的意识，任教教师需要懂得如何启发和引导。尽量避免采用注入式和满堂灌，努力探索一条能充分调动学生主动性、有利于培养学生多种能力、提高学生综合素质的新路子，创造适合大学生的教学模式。
（2）发挥学生在教学过程中的主体作用，尽可能的调动学生的主动性和积极性，变被动接受为主动求索。学生按照教师的要求自己去检索文献，阅读资料和有关论著，思考问题，撰写文稿，使得学生全身心地投入学习。
（3）加强教师在教学过程中的主导作用。研讨式课堂中，教师的主导作用不仅没有弱化，而且得到强化，教师的主导作用不再是传统讲授的主导，而是体现在课程的宏观规划和研讨方法的具体指导上。
2 基于研讨式教学下“数学期望和方差”的教学设计
根据本人对研讨式教学的理解，下面以“离散型随机变量的数学期望和方差”为例，阐述研讨式教学在这个知识点的具体实施方案。
第一步，情景引入。首先在PPT上展示一个闲置资金理财问题。旁白：“今天我想请同学们帮我的朋友小王解决一个难题，情况是这样的，小王有20万的闲置资金，随着央行的降息，银行的存款利率大大降低，如果存银行，一年后小王将获得利息收益6千元，所以小王开始将目光转移到了高利率的理财产品。对工作人员推荐的产品123，小王找了业内朋友帮忙，获得了关于这些产品的盈亏分析。以一号产品为例，如果小王购买一号理财产品，一年后将有10%的可能获得收益5万元，15%的可能获得收益4万元，但是小王也有5%的可能亏损3万元，等，面对这一大堆数据，小王感到十分困惑。今天呢，咱们就利用数学知识看看能否帮小王做出一个合理的选择。”引导学生在知道概率分布探讨问题：如果你是小王，你将选择几号产品？
第二步，学生分组讨论研究。学生按照教师平时传授的方法独立自主地去查找相关的书籍，在讨论片刻后，将选择同一种理财产品的同学归为一组，接着请同学们分组讨论选择该种产品的理由，学生根据老师提出的问题。讨论过程如下：
一组：在选择一款理财产品前，首先明确选择的标准，小王选择购买理财产品就是看重了理财产品的高利息，我们组认为首要考虑的标准就是高收益。根据前面的学习，数学期望可以量化预期收益，因为期望就是随机变量在概率意义下的平均值，它反映了随机变量取值的平均水平，数学期望越大，预期收益就越高，三种产品中三号产品一年后的预期收益值最大的，我们组一致认为应该为小王选择三号产品。我们组通过计算可知，一号产品的数学期望为1.35，二号产品的数学期望为1，三号产品的数学期望为1.45，三号产品的数学期望最大，预期收益最高，以高收益为选择标准，小王应该选择三号产品。
二组：生活常识告诉我们，高收益往往伴随着高风险，在这种风险投资中，小王不能一味的追求高收益，最重要的是选择一款可以规避风险的产品，我们组认为二号产品的风险最低，小王应该选择二号产品。我们组决定用方差来量化风险。根据定义式我们组计算分别计算出了XYZ的方差，X的方差是6.3275， Y和Z的方差分别是5.5，12.0475。为消除量纲的影响，我们用标准差评估风险，他们的标准差分别为2.515，2.345，3.471。以低风险为选择标准，小王应选择二号产品。
三组：我认为，二组和三组的同学考虑的都不全面，如果小王仅考虑规避风险，大可以把钱存银行，单纯追求高收益可能拿不到你想要的收益，我们组认为，应该综合考虑收益和风险为小王选择一款产品，也就是一号产品。根据计算的所有结果，三种产品的收益分别为1.35，1，1.45，风险分别是2.515，2.345，3.471。从数据来看，二号产品收益最低，风险也最低，我们不妨以二号产品为基準，量化对比三种产品，看看收益变化的同时，风险是如何变化的，一号产品的收益多了35%，风险多了7.2%，收益增幅远高于风险增幅，三号产品收益多了45%，风险却高了48%，风险增幅超出了收益增幅，综合考虑后，我们建议小王选择一号产品。 第三步，教师讲评：一组的同学通过数学期望来量化预期收益，以高收益为标准为小王选择了三号产品，二组的同学通过方差来评估风险，以低风险为标准为小王选择了二号产品，三组的同学综合考虑了高收益和低风险，将三种产品的数学期望和方差进来量化对比，最后为小王选择了一号产品，三个组同学们的观点都是正确的，因为以不同的角度看问题，结果是不一样的，但是我们在风险投资中，不能一味的追去高收益，也不能一味的规避风险，应该将收益和风险综合考量，所以，第三组同学考虑的是最全面的，我们应该为小王选择的是一号产品。
第四步，教师总结提高：总结部分首先由老师对学生答辩的知识和重点难点进行归纳总结。（1）如何量化预期收益？解决办法：引入数学期望的概念，其本质以概率为权值对随机变量取值的加权平均，又稱均值，实际上就是随机变量的平均水平，故可以用数学期望代表预期收益。（2）如何评估风险？解决方案：引入方差和标准差的概念，其本质是度量随机变量的所有可能取值的集中分散程度，故可用方差代表预期收益。
第五步，课后思考：如果想进一步了解理财产品之间有无联动关系的话，需要引入什么统计量？如果想分散风险，稳定收益，可以采用投资组合的方式。为了测量投资组合的风险，不仅要知道两种理财产品的联动关系，还要知道两种理财产品联动程度的大小，什么统计量可以衡量联动程度的大小？ 整个研讨式教学要求师生均准备充分，教学过程非常完整，达到学生收获颇丰，并且伴有意犹未尽之感。
3 应用反思
上例基于研讨式模式的教学设计，在教学形式上，变“讲授式”为“研讨式”，整个教学过程围绕问题展开，以问题的提出开始，以问题的解决结束，将研究与讨论贯穿于教学活动的始终。研讨教学加强教学研究，深化课堂教学改革，改变过分强调“以教师为主体，以讲授知识为主线”的教学模式，树立“以学生为中心”的教学理念，培养学生创新意识和自主学习能力。
参考文献
[1]陈赛艳.启发式、研讨式教学模式在大学物理实验教学中的应用[J].科技视界，2019，（19）：117-118.
[2]赵诣，仲光友，李奎基.研讨式教学法在《法律常识》教学实践中的思考[J].学周刊，2020，（03）：7.
[3]张彦.新工科背景下天线课程改革与研讨式教学研究[J].教育现代化，2019，6（87）：83-85.
[4]耿广威，吴金松，郝景昊，等.应用型高校食品类专业物理化学研讨式教学模式探究[J].山东化工，2019，48（18）：222+224.