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摘 要：数学是初中教育体系的重要组成部分，是培养学生思维能力的重要学科。初中是学生中小学时代数学学习承上启下的阶段，也是学生思维能力发展的关键阶段。在这一阶段的数学教学中，教师不仅要教给学生理论知识，学习方法，更要注重学生思维能力培养，这是数学新课标基本要求，也是数学核心素养对广大数学教师提出的根本任务。文章结合自身教学经验，以初中数学教学为例，分析逆向思维及其在初中数学教学中的价值，研究初中数学解题策略，探讨逆向思维在初中数学解题中的具体应用，借此培养学生逆向思维，促进学生数学思维发展，提高学生数学学习效率。
关键词：初中数学;逆向思维;解题;教学
一、 引言
逆向思维是一种反向思维，是数学思维中一个非常重要的原则，是创造性思维的基本组成部分，培养学生创造性思维就需要学生先具备良好的逆向思想。真所谓“此路不通彼路通，条条大道通罗马”。数学学习过程中有时候往往需要“反其道而思之”，尤其是在解决数学问题过程中，按照常规思维思考，常常走进思维“死胡同”，久而不能得其法，此时若能够换一个角度思考，从问题的逆向出发，也许很多看似复杂的问题也就迎刃而解了。因此，在初中数学教学中，教师非常关注学生逆向思维发展，也常常引导学生应用逆向思维解题，以促进学生思维能力发展。
二、 逆向思维在初中数学教学中的作用分析
（一）逆向思维有利于促进学生思维发展
新时代数学教学不再是以知识传授为主的活动，而是既注重知识教学，也重视学生技能和思维能力发展的多功能教学活动。尤其是数学这门课程，关乎学生逻辑思维、创新思维、发散思维等多种思维发展。在初中数学教学中多引导学生应用逆向思维，能够激活学生逻辑思维能力，让学生思维更加灵活和开放，避免学生形成思维定式。所以，单从学生思维发展需要的角度而言，逆向思维是学生综合性思维形成的基础部分。在初中数学教学中培养学生逆向思维或者引导学生应用逆向思维，都是有利于促进学生思维发展的。
（二）有利于提高学生解题效率
数学思维也可以说是数学方法，其是为学习数学知识、解决数学问题以及生活实际问题而服务的。不断强调逆向思维，习惯性引导学生从正向、逆向两个维度思考同一问题，分析同一现象，解读同一事物本质，能够提高学生思维深度，让学生更全面地剖析问题，从而快速找到问题的突破口。不难发现，初中数学较小学数学难度大幅度提升，教材中也涉及了许多复杂的例题，如果僅按照常规解题思路思考，既浪费时间，还影响解题效率。相反，应用逆向思维则能避免这些问题，学生能够快速找到问题突破口，找到解题方法和技巧，从而提高解题效率。
三、 逆向思维及其在初中数学解题中的具体应用
诚然，逆向思维在初中数学教学中有着非常重要的现实意义，无论对学生的思维发展还是解题效率，都有积极作用。那么，到底如何才算得上逆向思维呢？在初中数学解题中我们又会具体应用到哪些逆向思维呢？笔者结合自身教学经验，总结了以下几方面内容。
（一）逆向思维一：顺推不行则逆推
逆向推导是逆向思维的直接体现，也是教师在初中数学教学和解题中非常常用的一种技巧。如果教师将一般探究问题的方法和思路称为顺向推理，那么与常规解题思路相反的思路就是逆向推理方法。在初中数学教学中，其实逆向推理和顺向推理是没有绝对而言的，也是没有绝对界限的，需要结合具体情境具体分析。初中数学中涉及的逆向推理主要包含了数学公式、数学定义、数学法则、数学定理等内容的逆向应用。
1. 数学公式的逆向推理
乘法公式的逆向应用是因式分解，如（x y）2=x2 2xy y2;以x，y的基本对称式，表示x，y的平方和、立方和（差）：x2 y2=（x y）2-2xy，x3 y3=（x y）3-3xy（x y）。“互为相反数相加得零”这一法则的逆向应用：0=a （-a）。在因式分解中折项、添项以及配方都常用这一逆向推导方法。当然，数学公式的逆向应用中我们必须要注意公式成立的前提，有些数学公式一逆推了，前提条件可能就失效了，这一点需要教师在引导学生应用逆向思维是注意。
2. 数学定义的逆向推理
数学定义可以反面叙述，既可以做定义，也可以做性质，这本身就是逆向思维的体现。例如方程解的定义：若m是方程ax2 bx c=0的解，则am2 bm c=0;将定义反过来也可以表示为：如果an2 bn c=0，则n是方程ax2 bx c=0的解，这就是定义和性质互反的推理体现。
3. 数学定理中的逆向推理
数学定理与数学公式不同，数学公式可以直接应用，但数学定理还需要先判断。比如一个定理的题设和结论不止一项是交换题设和结论，即形成一个逆命题，但逆命题有很多个，有真的，有假的。通常情况下，一个命题的题设和结论都是唯一对象的定理，它有逆定理、分段式的定理，也有逆定理。
应用逆向推理方法解决数学问题时，通常就涉及上述反推法。通常情况下，笔者不主张学生拿到一道题即采用逆向推理法，而是在顺向推理有困难的时候才用逆向推理，两种思路灵活运用，才能提高解题效率。
例题1：|a|<|b|<1，求证：|a b|<|1 ab|。
显然，正向思考，此题直接证明是有困难的，无论从左到右来证明，还是从右到左证明，难度都比较大。此时就可以启发学生应用逆向思维思考，采用逆推法，从结论倒推出应该有的不等式。由|a b|<|1 ab|两边同时平方，然后分解因式，推导出不等式。
例题2：计算：3×5×17×257×……×（22n 1）。
本题直接计算有困难，可由通式22n 1，确定n的自然数值还原数3，5，17，257，…再逆用平方差公式a b=a2-b2a-b，快速计算出答案。 （二）逆向思维二：正面不行用反面
反证法是教师在初中数学解题中常用的技巧和方法，也是逆向思维的直接体现，尤其是针对一些无法找到突破口的数学证明类题型，大多可以采用反证法进行证明。所谓反证法其实和反推法有异曲同工之妙，但两者也有区别。逆推法更多的是对数学公式、定理、法则的应用，而反证法采用间接证法，不用直接去证明结论成立，二是证明结论的反面不能成立，从而间接推导出结论必然成立。反证法这种逆向解题思维模式给教师提供了更多解题可能性以及解题方法的选择性，是一种有利于促进学生逆向思维发展以及提高学生解题效率的有效方法。
反证法的一般步骤有三：一是假设结论的反面成立，重点引导学生对假设进行等价转换;二是归结矛盾，与已知条件、数学定理、公理、已经证明的结论是矛盾的主要来源，在引导学生应用反证法时，教师需要重点启发学生从这些角度探求矛盾点;三是否定假设，结论成立。
例题1：如下图1所示四边形ABCD，AB BD 如果此题直接推导，需要证明BD=CD或者BD>CD，也就是要证明∠BCD≥∠1。显然证明这一结论难度较大，证明过程也比较复杂。此时采用反证法，从反面推导。求证AB∠2，∠ABC>∠1，继而推导出∠BCD>∠1，BD>CD，最终推导出AB BD>AC CD。显然，这和已知条件是相反的，假设不成立，那么结论就是成立的。
例题2：四边形ABCD中，M、N分别是AB、DC的中点，MN=12（AD BC）。证明：AD∥BC。借助反证法，首先AD与BC不平行，然后连接ABD，设P是BD的中点，再连接MP、PN。
△ABD中，因为BM=MA，BP=PD，所以MP平行且等于12AD，同理可以证明PN平行且等于12BC，所以MP PN=12（AD BC） ①;
此时，BD的中点不在MN上，否则由MN∥AD，MN∥BC，可以推导出AD∥BC与假设AD与BC不平行矛盾，那么M、P、N三点不共线，MP PN>MN ②;
由①、②可以推导出12（AD BC）>MN，显然，这与已知条件MN=12（AD BC）矛盾。所以，最终证明假设不成立，AD∥BC。
需要强调的是，无论是逆向推导法还是反证法，其本质原则都是“正难则反”，在解题过程中秉承由易到难原则，先选择解题难度更低，效率更高的方法。在指导学生应用这类逆向思维解题时，需要教师先启发学生从逆向、反向的角度思考，形成逆反思维共同分析的习惯和意识，然后再對学生进行适当的习题训练，通过解题内化这种思维和意识，最终指导学生有效应用逆向思维解决初中数学问题。
四、 结语
一言蔽之，逆向思维应用于初中数学解题之中，既是培养学生思维的过程，也是发展学生解题能力的过程。逆向推导和反证法是初中数学最常见的逆向思维模式，也是解决一般数学问题常用技巧。作为新时代数学教师，我们应在教学过程中引导学生多种角度思考问题，转换视角，总结归纳解题方法和技巧，不断提高解题效率。
参考文献：
[1]张敬君.试析初中数学教学中培养学生的逆向思维能力[J].课程教育研究，2018（27）：139-140.
[2]陈伟斌.试论初中数学教学中如何培养学生的数学思维能力[J].学周刊，2018（10）：66-67.
[3]黄文清.在初中数学解题教学中培养学生的逆向思维[J].广西教育，2013（2）：75-76.
[4]阳福恩.逆向思维在数学解题中的应用[J].桂林师范高等专科学校学报（综合版），2001（4）：105-106.
[5]陈志坚.逆向思维在数学教学中的应用[J].广西师范大学学报（哲学社会科学版），1998（S3）：262-265.
作者简介：
王会兵，甘肃省天水市，甘肃省天水市秦州区齐寿中学。
关键词：初中数学;逆向思维;解题;教学
一、 引言
逆向思维是一种反向思维，是数学思维中一个非常重要的原则，是创造性思维的基本组成部分，培养学生创造性思维就需要学生先具备良好的逆向思想。真所谓“此路不通彼路通，条条大道通罗马”。数学学习过程中有时候往往需要“反其道而思之”，尤其是在解决数学问题过程中，按照常规思维思考，常常走进思维“死胡同”，久而不能得其法，此时若能够换一个角度思考，从问题的逆向出发，也许很多看似复杂的问题也就迎刃而解了。因此，在初中数学教学中，教师非常关注学生逆向思维发展，也常常引导学生应用逆向思维解题，以促进学生思维能力发展。
二、 逆向思维在初中数学教学中的作用分析
（一）逆向思维有利于促进学生思维发展
新时代数学教学不再是以知识传授为主的活动，而是既注重知识教学，也重视学生技能和思维能力发展的多功能教学活动。尤其是数学这门课程，关乎学生逻辑思维、创新思维、发散思维等多种思维发展。在初中数学教学中多引导学生应用逆向思维，能够激活学生逻辑思维能力，让学生思维更加灵活和开放，避免学生形成思维定式。所以，单从学生思维发展需要的角度而言，逆向思维是学生综合性思维形成的基础部分。在初中数学教学中培养学生逆向思维或者引导学生应用逆向思维，都是有利于促进学生思维发展的。
（二）有利于提高学生解题效率
数学思维也可以说是数学方法，其是为学习数学知识、解决数学问题以及生活实际问题而服务的。不断强调逆向思维，习惯性引导学生从正向、逆向两个维度思考同一问题，分析同一现象，解读同一事物本质，能够提高学生思维深度，让学生更全面地剖析问题，从而快速找到问题的突破口。不难发现，初中数学较小学数学难度大幅度提升，教材中也涉及了许多复杂的例题，如果僅按照常规解题思路思考，既浪费时间，还影响解题效率。相反，应用逆向思维则能避免这些问题，学生能够快速找到问题突破口，找到解题方法和技巧，从而提高解题效率。
三、 逆向思维及其在初中数学解题中的具体应用
诚然，逆向思维在初中数学教学中有着非常重要的现实意义，无论对学生的思维发展还是解题效率，都有积极作用。那么，到底如何才算得上逆向思维呢？在初中数学解题中我们又会具体应用到哪些逆向思维呢？笔者结合自身教学经验，总结了以下几方面内容。
（一）逆向思维一：顺推不行则逆推
逆向推导是逆向思维的直接体现，也是教师在初中数学教学和解题中非常常用的一种技巧。如果教师将一般探究问题的方法和思路称为顺向推理，那么与常规解题思路相反的思路就是逆向推理方法。在初中数学教学中，其实逆向推理和顺向推理是没有绝对而言的，也是没有绝对界限的，需要结合具体情境具体分析。初中数学中涉及的逆向推理主要包含了数学公式、数学定义、数学法则、数学定理等内容的逆向应用。
1. 数学公式的逆向推理
乘法公式的逆向应用是因式分解，如（x y）2=x2 2xy y2;以x，y的基本对称式，表示x，y的平方和、立方和（差）：x2 y2=（x y）2-2xy，x3 y3=（x y）3-3xy（x y）。“互为相反数相加得零”这一法则的逆向应用：0=a （-a）。在因式分解中折项、添项以及配方都常用这一逆向推导方法。当然，数学公式的逆向应用中我们必须要注意公式成立的前提，有些数学公式一逆推了，前提条件可能就失效了，这一点需要教师在引导学生应用逆向思维是注意。
2. 数学定义的逆向推理
数学定义可以反面叙述，既可以做定义，也可以做性质，这本身就是逆向思维的体现。例如方程解的定义：若m是方程ax2 bx c=0的解，则am2 bm c=0;将定义反过来也可以表示为：如果an2 bn c=0，则n是方程ax2 bx c=0的解，这就是定义和性质互反的推理体现。
3. 数学定理中的逆向推理
数学定理与数学公式不同，数学公式可以直接应用，但数学定理还需要先判断。比如一个定理的题设和结论不止一项是交换题设和结论，即形成一个逆命题，但逆命题有很多个，有真的，有假的。通常情况下，一个命题的题设和结论都是唯一对象的定理，它有逆定理、分段式的定理，也有逆定理。
应用逆向推理方法解决数学问题时，通常就涉及上述反推法。通常情况下，笔者不主张学生拿到一道题即采用逆向推理法，而是在顺向推理有困难的时候才用逆向推理，两种思路灵活运用，才能提高解题效率。
例题1：|a|<|b|<1，求证：|a b|<|1 ab|。
显然，正向思考，此题直接证明是有困难的，无论从左到右来证明，还是从右到左证明，难度都比较大。此时就可以启发学生应用逆向思维思考，采用逆推法，从结论倒推出应该有的不等式。由|a b|<|1 ab|两边同时平方，然后分解因式，推导出不等式。
例题2：计算：3×5×17×257×……×（22n 1）。
本题直接计算有困难，可由通式22n 1，确定n的自然数值还原数3，5，17，257，…再逆用平方差公式a b=a2-b2a-b，快速计算出答案。 （二）逆向思维二：正面不行用反面
反证法是教师在初中数学解题中常用的技巧和方法，也是逆向思维的直接体现，尤其是针对一些无法找到突破口的数学证明类题型，大多可以采用反证法进行证明。所谓反证法其实和反推法有异曲同工之妙，但两者也有区别。逆推法更多的是对数学公式、定理、法则的应用，而反证法采用间接证法，不用直接去证明结论成立，二是证明结论的反面不能成立，从而间接推导出结论必然成立。反证法这种逆向解题思维模式给教师提供了更多解题可能性以及解题方法的选择性，是一种有利于促进学生逆向思维发展以及提高学生解题效率的有效方法。
反证法的一般步骤有三：一是假设结论的反面成立，重点引导学生对假设进行等价转换;二是归结矛盾，与已知条件、数学定理、公理、已经证明的结论是矛盾的主要来源，在引导学生应用反证法时，教师需要重点启发学生从这些角度探求矛盾点;三是否定假设，结论成立。
例题1：如下图1所示四边形ABCD，AB BD
例题2：四边形ABCD中，M、N分别是AB、DC的中点，MN=12（AD BC）。证明：AD∥BC。借助反证法，首先AD与BC不平行，然后连接ABD，设P是BD的中点，再连接MP、PN。
△ABD中，因为BM=MA，BP=PD，所以MP平行且等于12AD，同理可以证明PN平行且等于12BC，所以MP PN=12（AD BC） ①;
此时，BD的中点不在MN上，否则由MN∥AD，MN∥BC，可以推导出AD∥BC与假设AD与BC不平行矛盾，那么M、P、N三点不共线，MP PN>MN ②;
由①、②可以推导出12（AD BC）>MN，显然，这与已知条件MN=12（AD BC）矛盾。所以，最终证明假设不成立，AD∥BC。
需要强调的是，无论是逆向推导法还是反证法，其本质原则都是“正难则反”，在解题过程中秉承由易到难原则，先选择解题难度更低，效率更高的方法。在指导学生应用这类逆向思维解题时，需要教师先启发学生从逆向、反向的角度思考，形成逆反思维共同分析的习惯和意识，然后再對学生进行适当的习题训练，通过解题内化这种思维和意识，最终指导学生有效应用逆向思维解决初中数学问题。
四、 结语
一言蔽之，逆向思维应用于初中数学解题之中，既是培养学生思维的过程，也是发展学生解题能力的过程。逆向推导和反证法是初中数学最常见的逆向思维模式，也是解决一般数学问题常用技巧。作为新时代数学教师，我们应在教学过程中引导学生多种角度思考问题，转换视角，总结归纳解题方法和技巧，不断提高解题效率。
参考文献：
[1]张敬君.试析初中数学教学中培养学生的逆向思维能力[J].课程教育研究，2018（27）：139-140.
[2]陈伟斌.试论初中数学教学中如何培养学生的数学思维能力[J].学周刊，2018（10）：66-67.
[3]黄文清.在初中数学解题教学中培养学生的逆向思维[J].广西教育，2013（2）：75-76.
[4]阳福恩.逆向思维在数学解题中的应用[J].桂林师范高等专科学校学报（综合版），2001（4）：105-106.
[5]陈志坚.逆向思维在数学教学中的应用[J].广西师范大学学报（哲学社会科学版），1998（S3）：262-265.
作者简介：
王会兵，甘肃省天水市，甘肃省天水市秦州区齐寿中学。