图形变换在解题中的应用

• 作 者: 姚荣盛
• 出 处: 中学数学杂志(初中版)
• 发表日期: 2008年4期
• 关键词: 图形变换 轴对称变换 相似变换 平移变换 阴影部分 题设 旋转中心 三角形面积 旋转变换 对应边

　　在一个平面内，将一个图形经过某种确定的方法转换成另一图形，称为图形变换. 常见的图形变换有平移变换、轴对称变换、旋转变换和相似变换. 在新课程标准下，图形变换是空间与图形的一个重要内容，它强调学生自主探索和实验操作，有利于培养学生的创新能力. 在某些几何问题中，条件比较分散，不容易把握各元素的关系，如果以运动的观点看待问题，通过图形变换，使图形动起来，让图形更容易“操作”，在图形的变化中把握不变的几何关系，问题就会很快得到解决.
　　
　　1 平移变换
　　
　　把一个图形从某一点沿着一定的方向移到另一点，图形的这种移动，称平移. 平移前后的两个图形全等、各组对应点间的线段平行(共线)且相等.
　　例1 如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，交点为O，且AC=8cm，BD=6cm，求梯形的高.
　　
　　2 轴对称变换
　　
　　把一个图形沿着某一条直线折叠，得到它的轴对称图形叫轴对称变换. 轴对称变换前后的两个图形全等，对应点连线被对称轴垂直平分.
　　
　　例4 如图5，正方形ABCD的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，求图中阴影部分的面积.
　　
　　解析 观察发现，BD、DE、EC三条线段中最长的线段为DE，要证以BD、DE、EC为边构成的三角形是直角三角形，可证BD²+EC² =DE²，先通过图形变换的方法，把这三边搬到一个三角形中.
　　
　　3 旋转变换
　　
　　在平面内把一个图形绕着某一点转动一个角度的图形变换叫做旋转变换. 在旋转变换下，旋转前、后的图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.
　　例6 如图8，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，E为AB中点，DE⊥CE. 求证：AD+BC=DC.
　　解析 题中的三条线段分散，且没有具体的长度. 由于 E为AB中点，AD∥BC，AB⊥BC，所以将△ADE绕点E旋转180°至△BFE处，有F、B、C三点共线，DE=EF，AD=BE，又知DE⊥CE，于是CD=CF， 从而得到AD+BC=DC.
　　图8图9例7 如图9，已知1×2的矩形ABCD，以点D为圆心，AD为半径作AE，再以AB的中点F为圆心，FB为半径作BE，求阴影部分的面积.
　　解析 AE和BE都是半径为1，圆心角为90°的圆弧，所以AE=BE. 把曲边△BCE绕点E顺时针旋转90°，曲边△BCE和扇形ADE正好能组成一个边长为1的正方形. 于是，S阴影 =2×1-1×1=1.
　　例8 如图10，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于O，E为AC上一点，过点A作AG⊥BE，垂足为G，AG交BD于点F.
　　(1)求证：OE=OF；
　　(2)如图11，若点E在AC延长线上，AM⊥BE于点M，交DB的延长线于点F，其他条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗?如果成立，请给予出证明；如果不成立，请说明理由.
　　图10图11解析 (1)中的OE=OF可以用三角形全等来证明，但利用旋转变换证明比较简便.
　　因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，OA=OB，又因为AM⊥BE，所以以点O为旋转中心，把△AOF逆时针旋转90°必与△BOE重合，所以OE=OF . 显然，(2)中的OE与OF也是相等的. 证明与(1)相同.
　　
　　4 相似变换
　　
　　把一个图形按一定比例放大或缩小为另一个图形，这样的图形变换叫做相似变换. 相似的两个图形对应角相等、对应边的比相等.
　　图12例9 如图12，在△ABC中，AD是中线，AB=6，AC=4，求AD的取值范围.
　　解析 AD与AB、AC关系分散，不好确定AD的取值，把AC、AB缩小或者把AD放大，再把这三条线段转换到一个三角形中来，问题就容易得多. 过点D作DE∥AC，交AB点E，则△BDE∽△BCA，有DE=12 AC=4，AE=12 AB=3. 因此，AD的取值范围是1　　利用图形变换，为学生创造一个可以实验“操作”的学习环境，有助于学生认识和理解问题的本质，培养学生的观察能力、思维能力和灵活解题的能力.
　　
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