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探究性试题是近几年中考的一个热点。因为问题本身具有不确定性，或具有某种规律，需要我们在题目给定的条件下，联系所学的知识，通过合理的观察、比较、分析、综合、猜想、类比、模拟等途径，加以探究，对能力要求较高，是我们学习中的一个难点；而圆又综合了初中阶段的几何知识，也是一个难点。本文以2007年各地的中考试题中与圆有关的探究性试题为例，分类加以说明，供同学们学习时参考。
一、条件探究题
例1(2007年甘肃白银)如图，点A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延长线相交于点C。若AB是⊙O的直径，D是BC的中点。ΔABC还需满足什么条件，点E才一定是AC的中点？并给出理由。
分析本题的结论已给出，需要我们执果索因，从题目的结论出发，逆向思维，探索使结论成立的条件。当E一定是AC的中点出发，找到相应的条件，因考虑的角度不同，所以添加的条件可以不同，故答案不惟一。
解可以添加的条件有：AB=BC，或AC=BC，或∠A=∠B，或∠A=∠C，或△ABC为正三角形。
如AB＝BC，理由如下：
连结BE，∵AB是⊙O的直径，∴BE⊥AC。
又AB=BC，∴AE=CE。即E为AC的中点。
∴添加的条件可以是AB=BC。
其他条件的理由略
二、结论探究题
例2(2007年山东潍坊)如图1，线段PB过圆心O，交圆O于A，B两点，PC切圆O于点C，作AD⊥PC，垂足为D，连结AC，BD。
（1）写出图1中所有相等的角（直角除外），并给出证明；
（2）若图1中的切线PC变为图2中割线PCE的情形，PCE与圆O交于C，E两点，AE与BC交于点M，AD⊥PE，写出图2中相等的角（写出三组即可，直角除外）；
（3）在图2中，证明：AD·AB=AC·AE。
分析题目已给出了条件，需要我们执因索果，探索结论。在第（2）小题中，相等的角有好多，思考的角度不同，会有不同的答案，所以答案不惟一。
解（1）图1中相等的角有：∠ACD=∠ABC，∠BAC=∠CAD。
证明：连结OC，则OC⊥PC，
∵AD⊥PC，∴AD∥OC，∴ ∠CAD=∠OCA
又OA=OC，∠BAC=∠OCA，
∴∠BAC=∠CAD。
又AB为直径，∠ACB=90°，∴∠BAC+∠B=90°，∴∠CAD+∠ACD=90°，∴∠ACD=∠ABC。
（2）∠ACD=∠ABE，∠ABC=∠AEC，∠BAE=∠BCE，∠BEA=∠BCA，∠CBE=∠CAE（三组即可）
（三组即可）
（3）∵AB是直径，∴∠AEB=∠ACB=90°∵AD⊥PE ∴∠ACD=∠AEB，∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90° ∴∠DAC=∠BCE∴△ADC ∽△AEB，∴ = ，∴AD·AB=AC·AE。
点评本题考查了圆的切线、直径所对的圆周角，以及相似三角形的判定和性质等知识点。
三、综合探究
例3（2007河池）如图1，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为 上的一动点。
（1）问添加一个什么条件后，能使得 = ？请说明理由；
（2）若AB∥OD，点D所在的位置应满足什么条件？请说明理由；
（3）如图，在 （1）和（2）的条件下，四边形AODB是什么特殊的四边形？证明你的结论。
分析本题既有条件探究又有结论探究的综合探究性问题。第（1）、（2）小题需执果索因，从题目的结论出发，逆向思维，探索使结论成立的条件。思考：式子 = 中的线段在△BDE，△BCD 中，只要使这两个三角形相似，结论就能成立，而这两个三角形中已有一对公共角，所以只需再有一对角相等即可，因此，添加的条件可以是：∠BED=∠BDC，∠BDE =∠BCD， ＝ 或AB＝BD等等，答案不惟一。
解 （1）添加 AB=BD
∵AB=BD∴ = ∴∠BDE =∠BCD
又∵∠DBE =∠DBC∴△BDE∽△BCD
∴ =
（2）若AB∥DO，点D所在的位置是 的中点
∵AB∥DO ∴∠ADO=∠BAD
∵∠ADO=∠OAD ∴∠OAD=∠BAD
∴ =
（3）在（1）和（2）的条件下，∵= =
∴∠BDA=∠DAC ∴ BD∥OA
又∵AB∥DO∴四边形AODB是平行四边形
∵OA=OD ∴平行四边形AODB是菱形
点评本题是对圆、三角形相似、特殊四边形等相关知识的综合考查。
四、动态探究题
例4（2007年山东滨州）如图1所示，在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，O为BC的中点，动点E在BA边上自由移动，动点F在AC边上自由移动。
（1）点E，F的移动过程中，△OEF是否能成为∠EOF=45°的等腰三角形？若能，请指出△OEF为等腰三角形时动点E，F的位置。若不能，请说明理由。
（2）当∠EOF=45°时，设BE=x，CF=y，求y与x之间的函数解析式，写出x的取值范围。
（3）在满足（2）中的条件时，若以O为圆心的圆与AB相切（如图2），试探究直线EF与⊙O的位置关系，并证明你的结论。
分析本题是因点E、F移动而使线EF运动变化的动态探究性试题，解题时要切实把握几何图形在运动变化过程中的特殊位置，在“动”中求“静”，在“静” 中探究“动”的一般规律。第（1）小题要使△OEF成为∠EOF=45°的等腰三角形，应根据不同的边为底和腰加以分类讨论。第（2）小题找到BE和CF两条边所在的两个三角形之间的关系探求y与x之间的函数解析式。第（3）小题要探究直线EF与⊙O的位置关系，可以从直线与圆的特殊位置：相切出发，先猜想，再探究成立的理由。
解如图，（1）点E,F移动的过程中，△OEF 能成为∠EOF=45°的等腰三角形。此时点E,F的位置分别是：
①E是BA的中点，F与A重合。
②BE=CF= 。
③E与A重合，F是AC的中点。
（2）在△OEB和△FOC中，
∠EOB+∠FOC=135°，∠EOB+∠OEB=135° ，
∴∠FOC=∠OEB
又∵∠B=∠C，∴△OEB∽△FOC
∴ =
∵BE=x,CF=y,OB=OC== ,
∴y= (1≤x≤2)
（3）EF与⊙O相切。
∵△OEB∽△FOC
∴ = ,∴ =
即=
又∵∠B=∠EOF=45° ∴△BEO∽△OEF
∴∠BEO=∠OEF
点O到AB和EF的距离相等。
∵AB与⊙O相切，
∴点O到EF的距离等于⊙O的半径。
∴EF与⊙O相切。
点评本题在动态过程中综合考查了等腰三角形、相似三角形、圆的切线等知识，同时考查了课程标准中所强调的分类讨论、运动变化、函数等数学思想。
五、规律探究题
例5(2007年浙江杭州)如图，P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形P2，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形P3,P4,……Pn，……，记纸板Pn的面积为Sn，试计算求出S2= ；S3=；并猜想得到Sn-Sn-1=(n≥2）。
分析本题是与圆面积有关规律探索性问题，根据题目给出的材料和信息，进行观察、分析、计算、比较、归纳，作出猜想，尝试性地解决问题。解题的关键是搞清一系列图案的生成、规律，找到前后两图形之间的联系和区别。
解由题意得：S2= π×12- π×( )2= π
S3= π×12- π×( )2- π×( )2= π
……
Sn= π×12- π×( )2- π×( )2-……- ·π×( )2
Sn-Sn-1=
[ π×12- π×( )2- π×( )2-……- π×( )2]-[ π×12- π×( )2- π×( )2-……- π×( )2
=- π×( )n-1
(责任编辑 钱家庆）
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
一、条件探究题
例1(2007年甘肃白银)如图，点A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延长线相交于点C。若AB是⊙O的直径，D是BC的中点。ΔABC还需满足什么条件，点E才一定是AC的中点？并给出理由。
分析本题的结论已给出，需要我们执果索因，从题目的结论出发，逆向思维，探索使结论成立的条件。当E一定是AC的中点出发，找到相应的条件，因考虑的角度不同，所以添加的条件可以不同，故答案不惟一。
解可以添加的条件有：AB=BC，或AC=BC，或∠A=∠B，或∠A=∠C，或△ABC为正三角形。
如AB＝BC，理由如下：
连结BE，∵AB是⊙O的直径，∴BE⊥AC。
又AB=BC，∴AE=CE。即E为AC的中点。
∴添加的条件可以是AB=BC。
其他条件的理由略
二、结论探究题
例2(2007年山东潍坊)如图1，线段PB过圆心O，交圆O于A，B两点，PC切圆O于点C，作AD⊥PC，垂足为D，连结AC，BD。
（1）写出图1中所有相等的角（直角除外），并给出证明；
（2）若图1中的切线PC变为图2中割线PCE的情形，PCE与圆O交于C，E两点，AE与BC交于点M，AD⊥PE，写出图2中相等的角（写出三组即可，直角除外）；
（3）在图2中，证明：AD·AB=AC·AE。
分析题目已给出了条件，需要我们执因索果，探索结论。在第（2）小题中，相等的角有好多，思考的角度不同，会有不同的答案，所以答案不惟一。
解（1）图1中相等的角有：∠ACD=∠ABC，∠BAC=∠CAD。
证明：连结OC，则OC⊥PC，
∵AD⊥PC，∴AD∥OC，∴ ∠CAD=∠OCA
又OA=OC，∠BAC=∠OCA，
∴∠BAC=∠CAD。
又AB为直径，∠ACB=90°，∴∠BAC+∠B=90°，∴∠CAD+∠ACD=90°，∴∠ACD=∠ABC。
（2）∠ACD=∠ABE，∠ABC=∠AEC，∠BAE=∠BCE，∠BEA=∠BCA，∠CBE=∠CAE（三组即可）
（三组即可）
（3）∵AB是直径，∴∠AEB=∠ACB=90°∵AD⊥PE ∴∠ACD=∠AEB，∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90° ∴∠DAC=∠BCE∴△ADC ∽△AEB，∴ = ，∴AD·AB=AC·AE。
点评本题考查了圆的切线、直径所对的圆周角，以及相似三角形的判定和性质等知识点。
三、综合探究
例3（2007河池）如图1，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为 上的一动点。
（1）问添加一个什么条件后，能使得 = ？请说明理由；
（2）若AB∥OD，点D所在的位置应满足什么条件？请说明理由；
（3）如图，在 （1）和（2）的条件下，四边形AODB是什么特殊的四边形？证明你的结论。
分析本题既有条件探究又有结论探究的综合探究性问题。第（1）、（2）小题需执果索因，从题目的结论出发，逆向思维，探索使结论成立的条件。思考：式子 = 中的线段在△BDE，△BCD 中，只要使这两个三角形相似，结论就能成立，而这两个三角形中已有一对公共角，所以只需再有一对角相等即可，因此，添加的条件可以是：∠BED=∠BDC，∠BDE =∠BCD， ＝ 或AB＝BD等等，答案不惟一。
解 （1）添加 AB=BD
∵AB=BD∴ = ∴∠BDE =∠BCD
又∵∠DBE =∠DBC∴△BDE∽△BCD
∴ =
（2）若AB∥DO，点D所在的位置是 的中点
∵AB∥DO ∴∠ADO=∠BAD
∵∠ADO=∠OAD ∴∠OAD=∠BAD
∴ =
（3）在（1）和（2）的条件下，∵= =
∴∠BDA=∠DAC ∴ BD∥OA
又∵AB∥DO∴四边形AODB是平行四边形
∵OA=OD ∴平行四边形AODB是菱形
点评本题是对圆、三角形相似、特殊四边形等相关知识的综合考查。
四、动态探究题
例4（2007年山东滨州）如图1所示，在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，O为BC的中点，动点E在BA边上自由移动，动点F在AC边上自由移动。
（1）点E，F的移动过程中，△OEF是否能成为∠EOF=45°的等腰三角形？若能，请指出△OEF为等腰三角形时动点E，F的位置。若不能，请说明理由。
（2）当∠EOF=45°时，设BE=x，CF=y，求y与x之间的函数解析式，写出x的取值范围。
（3）在满足（2）中的条件时，若以O为圆心的圆与AB相切（如图2），试探究直线EF与⊙O的位置关系，并证明你的结论。
分析本题是因点E、F移动而使线EF运动变化的动态探究性试题，解题时要切实把握几何图形在运动变化过程中的特殊位置，在“动”中求“静”，在“静” 中探究“动”的一般规律。第（1）小题要使△OEF成为∠EOF=45°的等腰三角形，应根据不同的边为底和腰加以分类讨论。第（2）小题找到BE和CF两条边所在的两个三角形之间的关系探求y与x之间的函数解析式。第（3）小题要探究直线EF与⊙O的位置关系，可以从直线与圆的特殊位置：相切出发，先猜想，再探究成立的理由。
解如图，（1）点E,F移动的过程中，△OEF 能成为∠EOF=45°的等腰三角形。此时点E,F的位置分别是：
①E是BA的中点，F与A重合。
②BE=CF= 。
③E与A重合，F是AC的中点。
（2）在△OEB和△FOC中，
∠EOB+∠FOC=135°，∠EOB+∠OEB=135° ，
∴∠FOC=∠OEB
又∵∠B=∠C，∴△OEB∽△FOC
∴ =
∵BE=x,CF=y,OB=OC== ,
∴y= (1≤x≤2)
（3）EF与⊙O相切。
∵△OEB∽△FOC
∴ = ,∴ =
即=
又∵∠B=∠EOF=45° ∴△BEO∽△OEF
∴∠BEO=∠OEF
点O到AB和EF的距离相等。
∵AB与⊙O相切，
∴点O到EF的距离等于⊙O的半径。
∴EF与⊙O相切。
点评本题在动态过程中综合考查了等腰三角形、相似三角形、圆的切线等知识，同时考查了课程标准中所强调的分类讨论、运动变化、函数等数学思想。
五、规律探究题
例5(2007年浙江杭州)如图，P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形P2，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形P3,P4,……Pn，……，记纸板Pn的面积为Sn，试计算求出S2= ；S3=；并猜想得到Sn-Sn-1=(n≥2）。
分析本题是与圆面积有关规律探索性问题，根据题目给出的材料和信息，进行观察、分析、计算、比较、归纳，作出猜想，尝试性地解决问题。解题的关键是搞清一系列图案的生成、规律，找到前后两图形之间的联系和区别。
解由题意得：S2= π×12- π×( )2= π
S3= π×12- π×( )2- π×( )2= π
……
Sn= π×12- π×( )2- π×( )2-……- ·π×( )2
Sn-Sn-1=
[ π×12- π×( )2- π×( )2-……- π×( )2]-[ π×12- π×( )2- π×( )2-……- π×( )2
=- π×( )n-1
(责任编辑 钱家庆）
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”