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摘 要： 运用构造法解决不等式问题，不但可以深化对相关数学知识的认识和理解，而且可以沟通数学中不同知识内容之间的内在联系，是解决许多不等式问题的一种行之有效的新方法。本文通过列举一些具体的例子来探讨怎样借助构造法证明不等式。
关键词： 高中数学 构造法 不等式证明
《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“高中数学新课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历史，发展他们的创新意识。”在数学教学中不断进行数学思想方法的渗透是培养学生创新能力的重要措施，其中构造法是一种富有创新、提升学生学习层面境界的方法，在数学问题解决中有着极为重要的作用。不等式的证明历来是高中数学的难点，也是考查学生数学能力的主要方法。对于不等式的证明，方法灵活多变，技巧性强，而有些不等式的证明如用常规的方法处理，可能难以奏效，甚至无从下手，此时可以根据所给不等式的特征，巧妙构造适当的函数、方程、向量、几何图形、平面曲线等方法来证明，可使证明过程变得简捷。下面通过一些具体的例子来探讨怎样借助构造法证明不等式。
一、借助构造函数的方法证明不等式
函数思想与方程观点是贯穿在整个中学数学中的最重要的思想方法和解题策略，函数思想揭示了事物运动变化的规律，反映了事物间的相互关系。应用函数思想，就是将所研究的问题借助建立函数关系式，抑或构造中间函数，结合函数的图像与性质，加以分析、转化，解决有关求值，解（证）不等式，解方程，以及讨论参数的取值范围等问题。在高中数学学习过程中，我们常遇到一些不等式的证明，看似简单，但却无从下手，很难找到切入点，常用的证法很难奏效。这时我们不妨变换思维角度，从所证不等式的结构和特点出发，构造一个新的函数，再借助导数确定函数的单调性，利用单调性实现问题的转化，从而使不等式得到证明。
例1：当x＞0时，证明不等式e＞1+x+x成立.
证明：设f（x）=e-1-x-x，则f′（x）=e-1-x.
令g（x）=e-1-x，则g′（x）=e-1.当x＞0时，g′（x）=e-1＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，而g（0）=0，∴g（x）＞g（0）=0，∴g（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，即f′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增.又f（0）=0，∴e-1-x-x＞0，即x＞0时，e＞1+x+x成立.
二、巧用向量证明不等式
向量兼具“数”与“形”的特点，是解决几何问题的锐利武器，同时它也是解决具有特定结构的代数问题的重要工具。对一些具有特定结构的不等式的证明，认真分析不等式的条件和结论，构造适当的向量，利用向量数量积的性质，可使证明过程变得简捷。下面举例加以说明。
例2：证明对任意a，b，c，d∈R恒有不等式（ac+bd）≤（a+b）（c+d）.［１］
分析：本例是一个重要且常见的不等式，是Cauchy-Schwarz不等式的特例。仔细观察特点，例如从ac+bd联想到平面向量的数量积，从a+b，c+d联想到向量的模，构造向量进行证明的思路就油然而生了。
证明：设=（a，b），=（c，d），则·=||·||cosθ
其中θ为向量与的夹角
又||=，||=
根据平面向量的数量积的基本性质，有|·|≤||·||
∴|ac+bd|≤·
∴（ac+bd）≤（a+b）（c+d）
例3：求证：（1-y）+（x+y-3）+（2x+y-6）≥.
简析与证明：不等式的左边，使我们容易联想到空间向量模的坐标表示，将左边看成=（1-y，x+y-3，2x+y-6，2x+y-6）模的平方，又||·||≥·，为使·为常数，根据待定系数法又可构造=（1，2，-1）
于是||·||=·
·，=（1-y）·1+（x+y-3）·2+（2x+y-6）·（-1）=1
所以·≥1
即（1-y）+（x+y-3）+（2x+y-6）≥
三、运用数形结合法证明不等式
数形结合来研究问题是数学中常用的方法，若求证的不等式是几何不等式或有较明显的几何意义时，可以考虑构造相关几何图形来完成，若运用得好，有时会有神奇的功效。
1.构造平面图形证明不等式
例4：已知a，b，m都是正数，并且a＜b，求证：＞.［２］
证明：如图（1），在Rt△ABC及Rt△ADF中，AB=a，AC=b，BD=m，
作CE∥BD
∵△ABC∽△ADF
∴=＜=
2.构造多面体证明不等式
例5：若α，β，γ均是锐角，且cosα+cosβ+cosγ=2，求证：tanαtanβtanγ≤.［３］
证明：作长方体ABCD-ABCD，如图（2），
设∠DBD=α，∠DBA=β，∠DBC=γ，
AB=a，BC=b，BB=c，则α、β、γ满足cosα+cosβ+cosγ=2
于是tanα·tanβ·tanγ=··≤··=，且当α=b=c时取等号.
tanα·tanβ·tanγ≤，且当α=β=γ时取等号.
例6：已知：x，y，z＞0，
求证：+＞.
分析：不等式类似与三角形的三边关系，又每个根号类的多项式具有余弦定理的结构特征形式，注意到这两点，于是可构造如下图形：
构造三棱锥V-ABC，且VA=x，VB=y，VC=z，∠AVB=45°，∠BVC=30°，∠CVA=60°（如图3），
则AB=，BC=，CA=.
因为在三棱锥V-ABC中，AB+BC＞CA，
∴+＞.
3.构造平面曲线证明不等式
例7：求证：-≤-2x≤.
简析与证明：的结构特点，使我们联想到椭圆方程及数形结合思想。
于是令y=（y≥0），则其图像是椭圆+=1的上半部分，设y-2x=m，于是只需证-≤m≤，因m为直线y=2x+m在y轴上的截距，由图（4）可知：当直线y=2x+m过点（，0）时，m有最小值为m=-；当直线y=2x+m与椭圆上半部分相切时，m有最大值。
由y=2x+m9x+y=4得：13m+4mx+m-4=0
令△=4（52-9m）=0得：
m=或m=-（舍）
即m的最大值为，
故-≤m≤，即-≤-2x≤.
四、构造方程证明不等式
方程观点则是等量思想的具体体现，是已知量与未知量的矛盾统一，应用方程观点则是将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型亦或构造出关于主元的方程加以解决。一些不等式的证明我们可以构造方程来证明，下面举例说明。
例8：若x，y∈R，且x+y=1，证明：（1+）（1+）≥9.
证明：由已知x，y∈R，且x+y=1，可设A=（1+）（1+），则A＞1，且xy=.
又∵x+y=1，根据韦达定理x，y是关于t的二次方程t-t+=0的实根，
故△=1-≥0?圳A≥9，∴（1+）（1+）≥9.
五、运用构造复数证明不等式
例9：若a，b，c为非负实数，试证：++≥（a+b+c）.
证明：设z=a+bi，z=b+ci，z=c+ai，
则z+z+z=（a+b+c）（1+i）
∵|z|+|z|+|z|≥|z+z+z|
∴++≥|（a+b+c）（1+i）|=（a+b+c）
点评：通过模的性质|z|+|z|≥|z+z|，构造复数可以证明不等式.
由以上诸例可知，构造法是一种创造性的数学方法，它通过在条件和结论之间建立中转站，使条件迅速向结论转化。在不等式的证明中，可以根据不等式的结构特点构造适当的函数、方程、向量、几何图形、平面曲线等方法来证明常常会使问题简单化。不失时机地运用构造法，不但能激发和培养学生的探索精神与创造性思维，而且能让学生感受到数学的无穷乐趣和魅力。
参考文献：
［1］全日制普通高级中学教科书.数学（第二册（上））.（人民教育出版社），2006，（11）.12.
［2］全日制普通高级中学教科书.数学（第二册（上））.（人民教育出版社），2006，（11）.17.
［3］傅荣强.龙门专题·不等式.［M］.北京：龙门书局出版社，2003，（10）.163.
［4］希扬.发散思维大课堂（高二数学（上））［M］.北京：化学工业出版社，2004，（5）.24.
关键词： 高中数学 构造法 不等式证明
《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“高中数学新课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历史，发展他们的创新意识。”在数学教学中不断进行数学思想方法的渗透是培养学生创新能力的重要措施，其中构造法是一种富有创新、提升学生学习层面境界的方法，在数学问题解决中有着极为重要的作用。不等式的证明历来是高中数学的难点，也是考查学生数学能力的主要方法。对于不等式的证明，方法灵活多变，技巧性强，而有些不等式的证明如用常规的方法处理，可能难以奏效，甚至无从下手，此时可以根据所给不等式的特征，巧妙构造适当的函数、方程、向量、几何图形、平面曲线等方法来证明，可使证明过程变得简捷。下面通过一些具体的例子来探讨怎样借助构造法证明不等式。
一、借助构造函数的方法证明不等式
函数思想与方程观点是贯穿在整个中学数学中的最重要的思想方法和解题策略，函数思想揭示了事物运动变化的规律，反映了事物间的相互关系。应用函数思想，就是将所研究的问题借助建立函数关系式，抑或构造中间函数，结合函数的图像与性质，加以分析、转化，解决有关求值，解（证）不等式，解方程，以及讨论参数的取值范围等问题。在高中数学学习过程中，我们常遇到一些不等式的证明，看似简单，但却无从下手，很难找到切入点，常用的证法很难奏效。这时我们不妨变换思维角度，从所证不等式的结构和特点出发，构造一个新的函数，再借助导数确定函数的单调性，利用单调性实现问题的转化，从而使不等式得到证明。
例1：当x＞0时，证明不等式e＞1+x+x成立.
证明：设f（x）=e-1-x-x，则f′（x）=e-1-x.
令g（x）=e-1-x，则g′（x）=e-1.当x＞0时，g′（x）=e-1＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，而g（0）=0，∴g（x）＞g（0）=0，∴g（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，即f′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增.又f（0）=0，∴e-1-x-x＞0，即x＞0时，e＞1+x+x成立.
二、巧用向量证明不等式
向量兼具“数”与“形”的特点，是解决几何问题的锐利武器，同时它也是解决具有特定结构的代数问题的重要工具。对一些具有特定结构的不等式的证明，认真分析不等式的条件和结论，构造适当的向量，利用向量数量积的性质，可使证明过程变得简捷。下面举例加以说明。
例2：证明对任意a，b，c，d∈R恒有不等式（ac+bd）≤（a+b）（c+d）.［１］
分析：本例是一个重要且常见的不等式，是Cauchy-Schwarz不等式的特例。仔细观察特点，例如从ac+bd联想到平面向量的数量积，从a+b，c+d联想到向量的模，构造向量进行证明的思路就油然而生了。
证明：设=（a，b），=（c，d），则·=||·||cosθ
其中θ为向量与的夹角
又||=，||=
根据平面向量的数量积的基本性质，有|·|≤||·||
∴|ac+bd|≤·
∴（ac+bd）≤（a+b）（c+d）
例3：求证：（1-y）+（x+y-3）+（2x+y-6）≥.
简析与证明：不等式的左边，使我们容易联想到空间向量模的坐标表示，将左边看成=（1-y，x+y-3，2x+y-6，2x+y-6）模的平方，又||·||≥·，为使·为常数，根据待定系数法又可构造=（1，2，-1）
于是||·||=·
·，=（1-y）·1+（x+y-3）·2+（2x+y-6）·（-1）=1
所以·≥1
即（1-y）+（x+y-3）+（2x+y-6）≥
三、运用数形结合法证明不等式
数形结合来研究问题是数学中常用的方法，若求证的不等式是几何不等式或有较明显的几何意义时，可以考虑构造相关几何图形来完成，若运用得好，有时会有神奇的功效。
1.构造平面图形证明不等式
例4：已知a，b，m都是正数，并且a＜b，求证：＞.［２］
证明：如图（1），在Rt△ABC及Rt△ADF中，AB=a，AC=b，BD=m，
作CE∥BD
∵△ABC∽△ADF
∴=＜=
2.构造多面体证明不等式
例5：若α，β，γ均是锐角，且cosα+cosβ+cosγ=2，求证：tanαtanβtanγ≤.［３］
证明：作长方体ABCD-ABCD，如图（2），
设∠DBD=α，∠DBA=β，∠DBC=γ，
AB=a，BC=b，BB=c，则α、β、γ满足cosα+cosβ+cosγ=2
于是tanα·tanβ·tanγ=··≤··=，且当α=b=c时取等号.
tanα·tanβ·tanγ≤，且当α=β=γ时取等号.
例6：已知：x，y，z＞0，
求证：+＞.
分析：不等式类似与三角形的三边关系，又每个根号类的多项式具有余弦定理的结构特征形式，注意到这两点，于是可构造如下图形：
构造三棱锥V-ABC，且VA=x，VB=y，VC=z，∠AVB=45°，∠BVC=30°，∠CVA=60°（如图3），
则AB=，BC=，CA=.
因为在三棱锥V-ABC中，AB+BC＞CA，
∴+＞.
3.构造平面曲线证明不等式
例7：求证：-≤-2x≤.
简析与证明：的结构特点，使我们联想到椭圆方程及数形结合思想。
于是令y=（y≥0），则其图像是椭圆+=1的上半部分，设y-2x=m，于是只需证-≤m≤，因m为直线y=2x+m在y轴上的截距，由图（4）可知：当直线y=2x+m过点（，0）时，m有最小值为m=-；当直线y=2x+m与椭圆上半部分相切时，m有最大值。
由y=2x+m9x+y=4得：13m+4mx+m-4=0
令△=4（52-9m）=0得：
m=或m=-（舍）
即m的最大值为，
故-≤m≤，即-≤-2x≤.
四、构造方程证明不等式
方程观点则是等量思想的具体体现，是已知量与未知量的矛盾统一，应用方程观点则是将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型亦或构造出关于主元的方程加以解决。一些不等式的证明我们可以构造方程来证明，下面举例说明。
例8：若x，y∈R，且x+y=1，证明：（1+）（1+）≥9.
证明：由已知x，y∈R，且x+y=1，可设A=（1+）（1+），则A＞1，且xy=.
又∵x+y=1，根据韦达定理x，y是关于t的二次方程t-t+=0的实根，
故△=1-≥0?圳A≥9，∴（1+）（1+）≥9.
五、运用构造复数证明不等式
例9：若a，b，c为非负实数，试证：++≥（a+b+c）.
证明：设z=a+bi，z=b+ci，z=c+ai，
则z+z+z=（a+b+c）（1+i）
∵|z|+|z|+|z|≥|z+z+z|
∴++≥|（a+b+c）（1+i）|=（a+b+c）
点评：通过模的性质|z|+|z|≥|z+z|，构造复数可以证明不等式.
由以上诸例可知，构造法是一种创造性的数学方法，它通过在条件和结论之间建立中转站，使条件迅速向结论转化。在不等式的证明中，可以根据不等式的结构特点构造适当的函数、方程、向量、几何图形、平面曲线等方法来证明常常会使问题简单化。不失时机地运用构造法，不但能激发和培养学生的探索精神与创造性思维，而且能让学生感受到数学的无穷乐趣和魅力。
参考文献：
［1］全日制普通高级中学教科书.数学（第二册（上））.（人民教育出版社），2006，（11）.12.
［2］全日制普通高级中学教科书.数学（第二册（上））.（人民教育出版社），2006，（11）.17.
［3］傅荣强.龙门专题·不等式.［M］.北京：龙门书局出版社，2003，（10）.163.
［4］希扬.发散思维大课堂（高二数学（上））［M］.北京：化学工业出版社，2004，（5）.24.