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一元二次方程中字母系数的求法，涉及的知识点很多，它与一元二次方程的定义、根的定义、根的判别式等都有着紧密的联系，是一元二次方程问题中的一个难点.为了帮助同学们提高解题效率，现对一元二次方程中字母系数的求解思路进行归纳说明，以供同学们参考.
一、利用一元二次方程的定义求解
只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程，一般形式为 （a ≠ 0）. 根据一元二次方程的定义求方程中字母系数的值时，要注意以下几点：①弄清楚谁是未知数;②含有未知数的项的最高次数必须是2;③最高次项的未知数的系数不为0.
点评：此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握未知数的次数与系数是解题关键.
二、利用一元二次方程的根的定义求解
若 m 是关于 x 的一元二次方程 ax
2 + bx +
c = 0 的一个根，则可得 的一个根，则可得 ;反之，若 ，则 m 是关于 x 的一元二次方程 的一个根.这就是一元二次方程的根的定义.当已知一元二次方程的一个根或两个根时，将其带入原方程，构造新的方程或方程组，解方程或方程组即可求得字母系数的值.
点评：解答本题的关键是正确理解一元二次方程的根的概念：能使一元二次方程左右两
边相等的未知数的值是一元二次方程的根.
三、利用一元二次方程的求根公式求解
将一元二次方程 进行配方， 式称为一元二次方程的求根公式.若题目已知一元二次方程有两个根，可将两个根用含有字母系数的求根公式表示出来，然后根据根的情况确定字母系数的值或取值范围.
例3 已知关于 x的方程
（1）讨论此方程根的情况;
（2）若方程有两个整数根，求正整数 k的值.
分析：（1）由于 k 的值不能确定，故应分k + 1=0 和 k + 1 ≠ 0 两种情况进行分类讨论;（2）先根据求根公式用 k 表示出 x 的值，再根据方程有两个整数根，求出正整数 k的值即可.
解：（1）当 k= - 1 时，方程 -4x - 4=0 为一元一次方程，此方程有一个实数根;
点评：一元二次方程的根是由系数 a ，b ，c 决定的，求根公式体现了一元二次方程根与系数最直接的关系，若已知根的情况就可以求出字母系数的值.
四、利用一元二次方程的根的判别式求解
一元二次方程 的根的判别式为 .当 时，则一元二次方程有两个相等实根;当 时，则一元二次方程有两个不相等实根;当 时，则一元二次方程无实根.利用根的情况求字母系数的值或范围，一般是利用根的判别式和已知条件列出关于字母系数的方程或不等式，然后求解.要注意判別式的应用条件，即二次项系数不为0.
例 4 已知关于 x 的一元二次方程（ 有两个不相等的实数根.
（1）求 k 的取值范围;
（2）如果此方程有两个相等实数根，请求出这个实数根.
分析：（1）先根据方程有两个不相等的实数根知Δ>0，据此求出 k 的范围，再结合一元二次方程的定义和二次根式有意义的条件可得答案;（2）由方程有两个相等实数根知Δ=0，据此求出 k 的值，代入方程，再利用因式分解法求解可得.
点评：若已知一元二次方程有实数根或无实数根，可利用判别式求得字母系数的取值范围.若已知一元二次方程有相等实数根，可利用判别式求得字母系数的值.
五、利用一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系.已知方程两根的关系求字母系数的值时，先根据根与系数的关系用待定的字母表示两根之和与两根之积，然后将已知两根的关系式进行变形，再将两根的和与两根的积整体代入，列出以字母系数为未知数的方程，进而求出字母系数的值.
例5 关于 x的方程 是否存在负数 k 使方程的两个实数根的倒数和等于4？若存在，求出满足条件的 k 的值;若不存在，说明理由.
所以存在负数 k = -1，满足条件.
点评：运用根与系数的关系解题的前提条件是方程有实数根，即Δ≥0.在利用根与系数的关系求方程中的字母系数的值时，必须代入根的判别式中进行检验.
六、构造二次函数，利用函数图象求解
一元二次方程与二次函数是有紧密联系的.解二次方程的实质是求二次函数的零点，反映在图象上，就是抛物线与 x 轴交点的横坐标值.因此，对于一元二次方程含字母系数的问题，可通过构造函数，利用函数图象的直观性求解.
点评：可以把一元二次方程看作是二次函数中的一种特殊情况.根据一元二次方程根的情况，再利用二次函数的图像的性质，可以快速便捷地求出方程中字母系数的取值范围.
一、利用一元二次方程的定义求解
只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程，一般形式为 （a ≠ 0）. 根据一元二次方程的定义求方程中字母系数的值时，要注意以下几点：①弄清楚谁是未知数;②含有未知数的项的最高次数必须是2;③最高次项的未知数的系数不为0.
点评：此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握未知数的次数与系数是解题关键.
二、利用一元二次方程的根的定义求解
若 m 是关于 x 的一元二次方程 ax
2 + bx +
c = 0 的一个根，则可得 的一个根，则可得 ;反之，若 ，则 m 是关于 x 的一元二次方程 的一个根.这就是一元二次方程的根的定义.当已知一元二次方程的一个根或两个根时，将其带入原方程，构造新的方程或方程组，解方程或方程组即可求得字母系数的值.
点评：解答本题的关键是正确理解一元二次方程的根的概念：能使一元二次方程左右两
边相等的未知数的值是一元二次方程的根.
三、利用一元二次方程的求根公式求解
将一元二次方程 进行配方， 式称为一元二次方程的求根公式.若题目已知一元二次方程有两个根，可将两个根用含有字母系数的求根公式表示出来，然后根据根的情况确定字母系数的值或取值范围.
例3 已知关于 x的方程
（1）讨论此方程根的情况;
（2）若方程有两个整数根，求正整数 k的值.
分析：（1）由于 k 的值不能确定，故应分k + 1=0 和 k + 1 ≠ 0 两种情况进行分类讨论;（2）先根据求根公式用 k 表示出 x 的值，再根据方程有两个整数根，求出正整数 k的值即可.
解：（1）当 k= - 1 时，方程 -4x - 4=0 为一元一次方程，此方程有一个实数根;
点评：一元二次方程的根是由系数 a ，b ，c 决定的，求根公式体现了一元二次方程根与系数最直接的关系，若已知根的情况就可以求出字母系数的值.
四、利用一元二次方程的根的判别式求解
一元二次方程 的根的判别式为 .当 时，则一元二次方程有两个相等实根;当 时，则一元二次方程有两个不相等实根;当 时，则一元二次方程无实根.利用根的情况求字母系数的值或范围，一般是利用根的判别式和已知条件列出关于字母系数的方程或不等式，然后求解.要注意判別式的应用条件，即二次项系数不为0.
例 4 已知关于 x 的一元二次方程（ 有两个不相等的实数根.
（1）求 k 的取值范围;
（2）如果此方程有两个相等实数根，请求出这个实数根.
分析：（1）先根据方程有两个不相等的实数根知Δ>0，据此求出 k 的范围，再结合一元二次方程的定义和二次根式有意义的条件可得答案;（2）由方程有两个相等实数根知Δ=0，据此求出 k 的值，代入方程，再利用因式分解法求解可得.
点评：若已知一元二次方程有实数根或无实数根，可利用判别式求得字母系数的取值范围.若已知一元二次方程有相等实数根，可利用判别式求得字母系数的值.
五、利用一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系.已知方程两根的关系求字母系数的值时，先根据根与系数的关系用待定的字母表示两根之和与两根之积，然后将已知两根的关系式进行变形，再将两根的和与两根的积整体代入，列出以字母系数为未知数的方程，进而求出字母系数的值.
例5 关于 x的方程 是否存在负数 k 使方程的两个实数根的倒数和等于4？若存在，求出满足条件的 k 的值;若不存在，说明理由.
所以存在负数 k = -1，满足条件.
点评：运用根与系数的关系解题的前提条件是方程有实数根，即Δ≥0.在利用根与系数的关系求方程中的字母系数的值时，必须代入根的判别式中进行检验.
六、构造二次函数，利用函数图象求解
一元二次方程与二次函数是有紧密联系的.解二次方程的实质是求二次函数的零点，反映在图象上，就是抛物线与 x 轴交点的横坐标值.因此，对于一元二次方程含字母系数的问题，可通过构造函数，利用函数图象的直观性求解.
点评：可以把一元二次方程看作是二次函数中的一种特殊情况.根据一元二次方程根的情况，再利用二次函数的图像的性质，可以快速便捷地求出方程中字母系数的取值范围.