论文部分内容阅读
（1.安徽省高速公路试验检测科研中心 安徽 合肥 230601；
2.合肥市市重点工程建设管理局 安徽 合肥 230001;
3.安徽省发展和改革委员会 安徽 合肥 230001）
【摘 要】为了丰富扭转波在低应变中数值计算理论与应用，提出了完整桩的一维扭转振动数值计算模型,并利用交错网格有限差分法计算了完整桩中扭转振动的动力响应,得到了其桩顶的理论速度时域曲线。计算结果表明,采用交错网格有限差分法较常规的差分法有更高的计算精度。
【关键词】完整桩；扭转波；一维扭转振动；交错网格有限差分法
Dynamic Response of One Dimensional Torsional Vibration of Integrity Pile
Zhu Wan-li1 ,Cheng Xiao-dong1,Wang Xu-chu2,3
(1.Anhui Expressway Research Center of Trail and Test Hefei Anhui 230601;
2.Hefei Adminstrative Bureau of key Engneering project Hefei Anhui 230001;
3.Anhui Development and Reforn Commission Hefei Anhui 230001)
【Abstract】In order to enrich the theories and applications of torsional waves in the numerical calculation of low strain,one-dimensional numerical calculation mode of torsional vibration in integrity pile is presented,and dynamic reponse of torsional vibration in integrity pile is computed by finite difference method of staggered grid,what's more,the theoretical velocity curve in time domain on the top of the pile is obtained.The calculation results show that the finite difference method of staggered grid has higher accuracy than the conventional difference method and the better consistency with field curve.
【Key words】Integrity pile; Torsional wave; One-dimensiona torsional vibration; Finite difference method of staggered grid
1. 前言
桩与土的相互作用是一个复杂的动力接触问题，是动力基础设计、振动打桩、抗震结构设计中的重要研究课题。近几十年来，许多学者对基桩振动理论进行了深入的研究[1-10]。测定桩在受纵向激振力作用下桩顶的速度时域曲线也是目前判定桩身完整性的最常用和最准确的方法，但是随着波动理论的发展与进步，扭转波、地震波（横波）、瑞利波等对基桩的作用而产生相应的动力响应，同时起到丰富纵波理论的作用，并能弥补纵波在基桩完整性检测方面的不足[5-6，10]。本文在假设桩的长径比很大的前提下，提出桩身为一维线弹性直杆，根据桩土系统扭转振动模型[3]，提出了均匀土中完整桩在瞬态扭矩的作用下扭转振动的数值计算模型，并利用交错网格有限差分法[2，10]计算了完整桩在扭转振动下的动力响应,得到了其桩顶的扭转振动理论速度时域曲线。计算结果表明由于交错网格有限差分法计算时采用的时采用的是中间差分，所以具有较一般常规网格差分法有更高一阶的计算精度，计算结果也更加接近实际。
2. 计算模型及桩土系统扭转振动定解问题
如图1所示，假设保持平截面假定的前提下研究均匀圆截面桩的纯扭转运动，采用物质坐标，如果以M表示扭矩，φ表示扭转角，而以ω 和θ 分别表示角速度和单位扭转角，则有：
其中:Cs=G/ρ为弹性扭转波速。由于G=E/2(1+μ)，泊松比μ介于0～0.5之间（桩一般本文通过刘东甲所提出的桩土系统扭转振动模型[5]，提出了完整桩在瞬态激振力矩作用下扭转振动的数值计算模型[1]，并确定边界条件与初始条件，利用交错网格有限差分法计算了完整桩的扭转振动，得出了完整桩桩顶面的时域理论曲线，为工程实测曲线的反演提供理论的依据。
假设完整桩在瞬态激振力矩m(t)作用下，桩周土为水平层状，每层土均是均匀各向同性的线弹性体，桩底土为均匀各向同性的弹性半无限空间，桩身为直立、线弹性分段均匀圆杆，桩土界面无分离，将桩身分成n各相互连接的微分单元。第j桩段的桩参数为：密度ρj，
上述运动方程、边界条件和初始条件就构成了其桩身微元段微分方程的定解问题。
3. 微分方程的数值计算
为了实现上述微分方程的数值计算，本文利用交错网格有限差分法对其微分方程进行差分离散化[5]，可以得出上述方程的差分离散形式。ν(n，m+1)-2ν(n,m)+ν(n,m-1)t2-α2ν(n+1，m)-2ν(n,m)+ν(n-1,m)h2+2β(n，m+1)-ν(n,m-1)2t+ω2ν(n，m)=0
m=2，3，…，M-1 ； n=2，3，…，N-1 (13)
v(n,1) = 0； v(n，2)-v(n，1)t=0 n=2,3,...,N (14)
GJν(2，m)-ν(1，m)h=-rtdm(t)dt|t=(m-1)τ(15)
GJν(N，m)-ν(N-1，m)h+cb ν(N，m)-ν(N，m-1)t+kbν(N，m)=0(16)
其中M，N表示切分段数；h、t分别为长度步长和时间步长；当at/h≤1时，上述方程是稳定收敛的。
4. 计算实例
针对上述桩身微元段微分方程离散化的差分形式，利用MATLAB计算语言编制相应的计算程序对其完整桩扭转振动进行数值计算，能得到完整桩桩顶理论速度时域曲线。
图2表示采用交错网格有限差分法计算的完整桩桩顶理论速度时域曲线，桩土参数取值如下：l=14m；d0=0.7m；ρ=2400Kg/m3；μ=0.28； E=3.11×1010N/m2；ρs=1600Kg/m3；vs=30m/s；ub=0.4；ρb=1600Kg/m3； vsb=40m/s； t0=0.001s； I=1N•s。从图中不难看出，桩顶某一点扭转振动速度随时间的变化规律,与纵波在完整桩中传播得到的图形类似。其数值计算的理论速度时域曲线与理论结果相符。
图2 完整桩扭转振动理论速度时域曲线
5. 结论
本文在前人的理论基础上[1-10]，研究了在线弹性材料下，桩身完整性检测的低应变反射波法中新方法（扭转波），主要结论如下：
建立了线弹性材料完整桩的一维扭转振动模型，结合桩身微元段的微分方程、边界条件与初始条件，利用交错网格有限差分法，编制了Matlab计算程序，数值模拟了完整桩顶面某一点的扭转振动理论速度时域曲线，由于交错网格有限差分法在计算时采用的是中心差分，所以其计算精度比常规分网格的差分法高一阶，在激振力作用时间很短的条件下，交错网格有限差分法更适用于此类数值计算，计算结果更加精确。
参考文献
［1］ Wang J.T. and Ding M.Y, Quantitative analysis for pile integrity［A］,Proc. of the Fifth International Conference on Application of Stress Wave Theory to Piles［C］,Orlando,FL,1996,936-944
［2］ Frank Schubert，Alexander Peiffer，Bernd Kchler. The elastodynamic finite integration technique for waves in cylindrical geometries［J］. J.Acoust Soc. Am, 1998,104 (5): 2604-2614.
［3］ 刘东甲. 不均匀土中多缺陷桩的轴向动力响应［J］，岩土工程学报，2000, 22(4): 391-395.
［4］ 刘东甲. 完整桩瞬态纵向振动的参数影响分析［J］. 合肥工业大学学报，2000, 23(6): 1014-1018.
［5］ 刘东甲. 扭转波应用于低应变动力测桩的理论研究［J］. 岩土工程学报，2003, 25(3): 283-287.
［6］刘东甲，周安，刘煜洲.有限长完整桩中的扭转波［J］，应力力学学报，2005，22（2）：258-263.
［7］ 雷林源，杨长特.桩基瞬态动测响应的数学模型及基本特性［J］，地球物理学报，1992，5（4）：501-509.
［8］ 柯宅邦，刘东甲，廖旭涛.非完整桩扭转振动问题的数值计算［J］，合肥工业大学学报， 2005，28（11）：1446-1448.
［9］ 段军，刘东甲，程晓东，柯宅邦.桩的一维纵向振动问题的交叉网格有限差分法数值计算［J］. 工程地球物理学报，2008，5（1）：54-59.
［10］ 程晓东.空间轴对称条件下基桩扭转波动测的理论与实验研究［A］. 合肥工业大学硕士研究生毕业论文，2008.
［11］ 杨晓明，程晓东，朱梅林.大直径桩的三维效应［J］. 山西建筑，2008，34（36）：3-4.
［12］ 葛德彪，闫玉波.电磁波时域有限差分方法［M］，西安：西安电子科技大学出版社，2005.118-119.
2.合肥市市重点工程建设管理局 安徽 合肥 230001;
3.安徽省发展和改革委员会 安徽 合肥 230001）
【摘 要】为了丰富扭转波在低应变中数值计算理论与应用，提出了完整桩的一维扭转振动数值计算模型,并利用交错网格有限差分法计算了完整桩中扭转振动的动力响应,得到了其桩顶的理论速度时域曲线。计算结果表明,采用交错网格有限差分法较常规的差分法有更高的计算精度。
【关键词】完整桩；扭转波；一维扭转振动；交错网格有限差分法
Dynamic Response of One Dimensional Torsional Vibration of Integrity Pile
Zhu Wan-li1 ,Cheng Xiao-dong1,Wang Xu-chu2,3
(1.Anhui Expressway Research Center of Trail and Test Hefei Anhui 230601;
2.Hefei Adminstrative Bureau of key Engneering project Hefei Anhui 230001;
3.Anhui Development and Reforn Commission Hefei Anhui 230001)
【Abstract】In order to enrich the theories and applications of torsional waves in the numerical calculation of low strain,one-dimensional numerical calculation mode of torsional vibration in integrity pile is presented,and dynamic reponse of torsional vibration in integrity pile is computed by finite difference method of staggered grid,what's more,the theoretical velocity curve in time domain on the top of the pile is obtained.The calculation results show that the finite difference method of staggered grid has higher accuracy than the conventional difference method and the better consistency with field curve.
【Key words】Integrity pile; Torsional wave; One-dimensiona torsional vibration; Finite difference method of staggered grid
1. 前言
桩与土的相互作用是一个复杂的动力接触问题，是动力基础设计、振动打桩、抗震结构设计中的重要研究课题。近几十年来，许多学者对基桩振动理论进行了深入的研究[1-10]。测定桩在受纵向激振力作用下桩顶的速度时域曲线也是目前判定桩身完整性的最常用和最准确的方法，但是随着波动理论的发展与进步，扭转波、地震波（横波）、瑞利波等对基桩的作用而产生相应的动力响应，同时起到丰富纵波理论的作用，并能弥补纵波在基桩完整性检测方面的不足[5-6，10]。本文在假设桩的长径比很大的前提下，提出桩身为一维线弹性直杆，根据桩土系统扭转振动模型[3]，提出了均匀土中完整桩在瞬态扭矩的作用下扭转振动的数值计算模型，并利用交错网格有限差分法[2，10]计算了完整桩在扭转振动下的动力响应,得到了其桩顶的扭转振动理论速度时域曲线。计算结果表明由于交错网格有限差分法计算时采用的时采用的是中间差分，所以具有较一般常规网格差分法有更高一阶的计算精度，计算结果也更加接近实际。
2. 计算模型及桩土系统扭转振动定解问题
如图1所示，假设保持平截面假定的前提下研究均匀圆截面桩的纯扭转运动，采用物质坐标，如果以M表示扭矩，φ表示扭转角，而以ω 和θ 分别表示角速度和单位扭转角，则有：
其中:Cs=G/ρ为弹性扭转波速。由于G=E/2(1+μ)，泊松比μ介于0～0.5之间（桩一般本文通过刘东甲所提出的桩土系统扭转振动模型[5]，提出了完整桩在瞬态激振力矩作用下扭转振动的数值计算模型[1]，并确定边界条件与初始条件，利用交错网格有限差分法计算了完整桩的扭转振动，得出了完整桩桩顶面的时域理论曲线，为工程实测曲线的反演提供理论的依据。
假设完整桩在瞬态激振力矩m(t)作用下，桩周土为水平层状，每层土均是均匀各向同性的线弹性体，桩底土为均匀各向同性的弹性半无限空间，桩身为直立、线弹性分段均匀圆杆，桩土界面无分离，将桩身分成n各相互连接的微分单元。第j桩段的桩参数为：密度ρj，
上述运动方程、边界条件和初始条件就构成了其桩身微元段微分方程的定解问题。
3. 微分方程的数值计算
为了实现上述微分方程的数值计算，本文利用交错网格有限差分法对其微分方程进行差分离散化[5]，可以得出上述方程的差分离散形式。ν(n，m+1)-2ν(n,m)+ν(n,m-1)t2-α2ν(n+1，m)-2ν(n,m)+ν(n-1,m)h2+2β(n，m+1)-ν(n,m-1)2t+ω2ν(n，m)=0
m=2，3，…，M-1 ； n=2，3，…，N-1 (13)
v(n,1) = 0； v(n，2)-v(n，1)t=0 n=2,3,...,N (14)
GJν(2，m)-ν(1，m)h=-rtdm(t)dt|t=(m-1)τ(15)
GJν(N，m)-ν(N-1，m)h+cb ν(N，m)-ν(N，m-1)t+kbν(N，m)=0(16)
其中M，N表示切分段数；h、t分别为长度步长和时间步长；当at/h≤1时，上述方程是稳定收敛的。
4. 计算实例
针对上述桩身微元段微分方程离散化的差分形式，利用MATLAB计算语言编制相应的计算程序对其完整桩扭转振动进行数值计算，能得到完整桩桩顶理论速度时域曲线。
图2表示采用交错网格有限差分法计算的完整桩桩顶理论速度时域曲线，桩土参数取值如下：l=14m；d0=0.7m；ρ=2400Kg/m3；μ=0.28； E=3.11×1010N/m2；ρs=1600Kg/m3；vs=30m/s；ub=0.4；ρb=1600Kg/m3； vsb=40m/s； t0=0.001s； I=1N•s。从图中不难看出，桩顶某一点扭转振动速度随时间的变化规律,与纵波在完整桩中传播得到的图形类似。其数值计算的理论速度时域曲线与理论结果相符。
图2 完整桩扭转振动理论速度时域曲线
5. 结论
本文在前人的理论基础上[1-10]，研究了在线弹性材料下，桩身完整性检测的低应变反射波法中新方法（扭转波），主要结论如下：
建立了线弹性材料完整桩的一维扭转振动模型，结合桩身微元段的微分方程、边界条件与初始条件，利用交错网格有限差分法，编制了Matlab计算程序，数值模拟了完整桩顶面某一点的扭转振动理论速度时域曲线，由于交错网格有限差分法在计算时采用的是中心差分，所以其计算精度比常规分网格的差分法高一阶，在激振力作用时间很短的条件下，交错网格有限差分法更适用于此类数值计算，计算结果更加精确。
参考文献
［1］ Wang J.T. and Ding M.Y, Quantitative analysis for pile integrity［A］,Proc. of the Fifth International Conference on Application of Stress Wave Theory to Piles［C］,Orlando,FL,1996,936-944
［2］ Frank Schubert，Alexander Peiffer，Bernd Kchler. The elastodynamic finite integration technique for waves in cylindrical geometries［J］. J.Acoust Soc. Am, 1998,104 (5): 2604-2614.
［3］ 刘东甲. 不均匀土中多缺陷桩的轴向动力响应［J］，岩土工程学报，2000, 22(4): 391-395.
［4］ 刘东甲. 完整桩瞬态纵向振动的参数影响分析［J］. 合肥工业大学学报，2000, 23(6): 1014-1018.
［5］ 刘东甲. 扭转波应用于低应变动力测桩的理论研究［J］. 岩土工程学报，2003, 25(3): 283-287.
［6］刘东甲，周安，刘煜洲.有限长完整桩中的扭转波［J］，应力力学学报，2005，22（2）：258-263.
［7］ 雷林源，杨长特.桩基瞬态动测响应的数学模型及基本特性［J］，地球物理学报，1992，5（4）：501-509.
［8］ 柯宅邦，刘东甲，廖旭涛.非完整桩扭转振动问题的数值计算［J］，合肥工业大学学报， 2005，28（11）：1446-1448.
［9］ 段军，刘东甲，程晓东，柯宅邦.桩的一维纵向振动问题的交叉网格有限差分法数值计算［J］. 工程地球物理学报，2008，5（1）：54-59.
［10］ 程晓东.空间轴对称条件下基桩扭转波动测的理论与实验研究［A］. 合肥工业大学硕士研究生毕业论文，2008.
［11］ 杨晓明，程晓东，朱梅林.大直径桩的三维效应［J］. 山西建筑，2008，34（36）：3-4.
［12］ 葛德彪，闫玉波.电磁波时域有限差分方法［M］，西安：西安电子科技大学出版社，2005.118-119.