对一道中考试题解法的探究

• 作 者: 李景财
• 出 处: 语数外学习·上旬
• 发表日期: 2013年4期
• 关键词: 中考 初中毕业升学考试 切线 延长线 武汉市 试题 垂足 垂线

　　试题：（2011年武汉市初中毕业升学考试第22题）
　　如图1，PA为⊙O的切线，A为切点. 过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B. 延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E.
　　（1） 求证：PB为⊙O的切线；
　　（2） 若tan∠ABE=，求sin∠E的值.
　　第（1）问是圆中的常见问题，因为点B在圆上，连半径OB，证明∠OBP=90° 即可. 这里的关键是发现OP是弦AB的中垂线，通过三角形全等或等腰三角形的性质可证∠OBP=90°. 证明过程不再赘述.
　　第（2）问综合性强，对同学们的能力要求较高，解答方法多样，本文主要探讨第（2）问的证明方法.
　　图1
　　一、 构造相似三角形
　　解法1： “A”型与勾股定理
　　如图1，由tan∠ABE=，设OC=k，则BC=2k，BO=k，OP=5k.
　　由∠ABE=∠BPO，得PC=2BC=4k，BP=2 k.
　　由（1）得∠OAE=∠PBE=90°.
　　又∵∠OEA=∠PEB，
　　∴△OAE∽△PBE，
　　===，
　　即=.
　　整理，得AE=2DE.
　　设DE=t，则AE=2t.
　　在Rt△OAE中，（2t）2+ （k）2=（k+t）2，
　　解得t=，
　　∴OE=，
　　sin∠E==.
　　解法2 ： “A”型与切线长定理
　　如图2，∵BD为直径，∴∠BAD=90°，
　　∴AD∥OP，
　　∴AD=2OC=2k， △ADE∽△POE，
　　∴==.
　　图2
　　设AE=2t，PE=5t，则PA=3t.
　　∵PA=PB ∴PB=3t.
　　∴sin∠E==.
　　解法3： “A”型与合比性质
　　由解法2 知，==，
　　由比例的合比性质，得==，即=，
　　∴DE=，
　　∴OE=DE+OE=，
　　∴sin∠E==.
　　解法4： “A”型与“射影定理图”
　　如图3，过O点作OF⊥OA交AB于F.
　　∵AE⊥OA ，∴OF∥AE，
　　∴=.
　　图3
　　由解法1可知OC=k，AC=BC=2k，OA=OB=k.
　　∵OF⊥OA，OC⊥AF，∴△AOC∽△OFC.
　　∴OC2=AC·CF ，∴CF=k.
　　∴BF=BC-CF=k，AF=AC+CF=k.
　　sin∠E====.
　　二、面积法
　　解法5：转换目标角
　　如图4，由解法1 知PA=PB=2k，PC=4k，AB=4k.
　　过A点作AF⊥PB于F，由三角形面积公式得AF·PB=AB·PC，
　　∴AF=.
　　在Rt△APF中，PF==.
　　∵EB⊥PB，AF⊥PB，∴EB∥AF，
　　∴∠E=∠PAF，
　　∴sin∠E=sin∠PAF==.
　　图4
　　三、 构造辅助圆
　　解法6： 圆的性质与勾股定理
　　如图5，由第1问可知，∠PBO=∠PAO=90°，
　　图5
　　∴A、P、B、O四点共圆.
　　设圆心为N，连接BN.
　　∴∠AOE=∠APB.
　　∵OP⊥AB， ∴∠BNC=∠APB，
　　∴∠AOE=∠BNC.
　　又∵∠OAE=∠BCN，
　　∴∠E=∠CBN.
　　由解法1得，OC=k，BC=2k.
　　设⊙N的半径为r，则CN=r-k，BN=r，
　　在Rt△BCN中，（2k）2+（r-k）2 =r2，
　　解得r=k，
　　∴CN=k-k=k，
　　∴sin∠E=sin∠CBN==.