由一道典型题引发的探索与发现

• 作 者: 唐双华
• 出 处: 语数外学习·中旬
• 发表日期: 2014年6期
• 关键词: 直角三角形 中点 连接 线段 解法 等腰

　　一、原题呈现
　　已知：等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点G为BC中点，CF⊥AG 交AB于F点，求证：AG＝CF＋FG。
　　分析：一般用截长补短法。取线段AB的中点G0，
　　连接CG0交AG于K点, 连接GG0
　　∵CG0⊥AB, CF⊥AG，
　　可证∠G0AK＝∠G0CF ，
　　可证△AG0K≌△CG0F
　　∴G0K＝G0F且AK＝CF，
　　又∠GG0K＝∠GG0F＝45°
　　可证△GG0K≌△GG0F
　　∴GK＝GF，∴AG＝AK＋KG＝CF＋FG. （本题的解法较多）
　　二、原题改编 （某地调考题）
　　已知：等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别AC、BC在上，且CD＝CE，CF⊥AG 交AB于F点，过F点作FG⊥BD交AE的延长线于G点。
　　求证：AG＝CF＋FG
　　分析：过点B作BN⊥CB交CF延长线于N点，设AE与BD交于K。连接CK，可证△AKC≌△BCK≌△CFB知AK＝CF，故只证KG＝FG。
　　设GF交BC于M，又由△ACE≌△CBN,知AE＝CN，∴KE＝FN
　　可证∠1＝∠5，又∠5＋∠6＝∠4＋∠6=180°
　　∴∠4＝∠5＝∠1，又∠1＝∠2，∠3＝∠4 ，∴∠2＝∠3，∴EG＝GM，
　　又可证△ACE≌△CBN，∴∠1＝∠N＝∠4
　　∴可证△FMB≌△FNB，∴FN＝FM，
　　∴KE＝FM，又EG＝GM∴KG＝FG，∴AG＝AK＋KG＝CF＋FG.
　　三、比较猜想
　　比较两个题可以发现：将原题的条件“点G为BC中点”改为 “CD＝CE，过F点作FG⊥BD交AE的延长线于G点”(相当于将原题的条件改为“CE＝BM”)就变成了第二题，于是猜想：将原题条件“点G为BC中点”改为“点G为BC中垂线l上任意一点”，则结论AG＝CF＋FG是否总成立？
　　四、探索论证
　　（1）如图3，若点G在直线l（其中直线l为线段BC中垂线）与线段BC的交点G1时，这就是原题，显然AG＝CF＋FG成立，
　　（2）如图3，若点G在线段G0G1（其中点G0为直线l与AB的交点）的延长线上时，
　　分析：易证点G0 为AB的中点， 连接CG0交AG于K点，
　　∵CG0⊥AB，CF⊥AG，可证∠3＝∠4，可证△AG0K≌△CG0F
　　∴G0K＝G0F且AK＝CF，又∠2＝∠1＝45°
　　可证△GG0K≌△GG0F
　　∴GK＝GF，∴AG＝AK＋KG＝CF＋FG.
　　（3）如图4，若点G在线段G1G0上时，
　　分析：易证点G0 为AB的中点， 连接CG0交AG于K点，
　　∵CG0⊥AB，CF⊥AG，
　　可证∠G0AK＝∠G0CF，
　　可证△AG0K≌△CG0F
　　∴G0K＝G0F且AK＝CF，
　　又∠GG0K＝∠GG0F＝45°，
　　又可证△GG0K≌△GG0F
　　∴GK＝GF，
　　∴AG＝AK＋KG＝CF＋FG.
　　（4）如图5，当点G在线段G0G2(过点A作AG2∥G0C交直线l于G2)上时，
　　分析：易证点G0 为AB的中点， 直线CG0交AG的延长线于K点，
　　∵CG0⊥AB，CF⊥AG，
　　可证∠G0AK＝∠G0CF，可证△AG0K≌△CG0F
　　∴G0K＝G0F且AK＝CF，又∠2＝∠1＝45°，
　　又可证△GG0K≌△GG0F
　　∴GK＝GF，∴AG＝AK－KG＝CF－FG.
　　新的结论!
　　（5）如图6，若点G在G0G2延长线上时，
　　分析：易证点G0 为AB的中点，延长G0C交GA延长线于K，连接KF，
　　∵CG0⊥AB，CF⊥AG，
　　可证∠G0KA＝∠G0FC，
　　可证△AG0K≌△CG0F
　　∴G0K＝G0F且AK＝CF，
　　又∠GG0K＝∠GG0F＝135°，
　　又可证△GG0K≌△GG0F
　　∴GK＝GF，∴AG＝GK－AK＝FG－CF.
　　新的结论!
　　五、发现规律
　　由 （1）-（5）可知：
　　①若点G在线段G2G0延长线上时， 则AG＝CF＋FG成立。
　　②若点G在线段G0G2时，则AG＝CF－FG成立。
　　③若点G在线段G0G2延长线上时， 则AG＝FG－CF成立。