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摘 要：2015年2月9日，我国境内首只股票期权——上证50ETF期权正式上市交易，打开了我国证券市场权益期权时代的大门，将对我国整个金融市场的发展产生深远且持久的影响，因此对研究该期權的定价问题有着深刻的意义。本文主要用基于历史波动率和基于GARCH模型预测的波动率的B-S模型为期权定价，并用平均偏离度量化结果进行分析，得出基于GARCH模型的B-S期权定价方法预测的效果好于其历史波动率的B-S期权定价效果的结论。
关键词：上证50ETF期权 B-S期权定价公式 GARCH模型 平均偏离度
中图分类号：F832.5 文献标识码：A 文章编号：2096-0298（2017）11（c）-022-03
在2005年2月23日，首个采用华夏上证50指数作为跟踪标的ETF产品正式登陆我国证券交易市场，上证50ETF上市后交易非常活跃，充分说明了投资者对这一品种的认可程度。上证50ETF期权是一种股票期权，从长期来看股票期权有助于完善资本市场的风险管理功能和价格发现机制，有利于丰富交易品种和交易机制，所以ETF期权的发展迅速，该产品的交易已经由美国扩展到其他国家主要市场。在2015年2月9日，我国境内首只上证50ETF期权正式上市交易，推开了我国证券市场权益期权时代的大门，将对我国金融市场的发展有着深远且持久的影响。合理定价是期权合约设计的基础，有效的合约设计则是期权市场稳定运行的关键。因此我们在此研究该期权的定价问题有着深刻的意义，如何准确地对股票期权定价不仅是金融学的重要理论命题之一，同时也是一个重要的实践问题。
1 模型基础
1.1 BSM模型
1900年，Louis Bachelier 历史性的将布朗运动抽象成数学模型，证明了布朗运动可以解释股票价格行为的特征，用数理方法建立了长周期下股票价格波动的概率法则，给出了最早期的期权定价模型。
不足之处就是股价可能为负数，他没有考虑货币自身的时间价值。
随后，Sprenkle认为股票价格服从对数正态分布，引入了股票价格的平均增长率P和投机者的风险态度A，建立了新的模型。
风险态度A是非常主观和不可测的因素，难以量化，同时也没有考虑货币的时间价值。
1964年James Boness认为，期权的价格受到股价增长率P的影响，同时股票价格波动性也是影响期权价格的重要因素，并假设风险等级一样的股票具有相同的P，P服从对数正态分布，认购认沽期权投资者对风险的态度对称。建立改善模型：
不足之处在于过渡依赖股价增长率P，未考虑期权和股票之间的风险差异。之后，Samuelson将前人研究结果统一，认为期权本身也是一种风险产品，引入期权价格预期增长率μ衡量期权的风险：
1969年，Fisher Black，Myron Scholes以无套利理论作为基础，运用有效市场理论、无套利理论等，求出现在的B-S偏微分方程。1973年，最终在“期权定价与公司债务”（the pricing of options and corporate liability）中提出著名的衍生品价格的偏微分方程——Black-Scholes公式：
假设标的资产的交易是连续的，衍生产品的价格变动也是连续的，并且都遵循几何布朗运动，在完整无摩擦的市场即不存在无风险套利机会，没有交易费用和税收，并且允许卖空机制。
假设标的价格S遵循几何维纳过程，则
C是期权理论值，S为标的资产价格，X是期权行权价，r为无风险利率，σ为波动率，T-t即期权有效期，实际是期权有效天数与一年365天的比值，N（d1），N（d2）是正态分布变量的累积概率分布函数。
尽管B-S模型的假设条件过于严密，参数估计有些缺陷，但是B-S模型仍不失为评价期权价值的最有力的工具。
1.2 GARCH模型
应用 B-S公式对股票期权进行定价需要先估计标的资产价格波动率，传统做法是采用历史波动率替代，但历史波动率法对波动率变化的反映存在时滞，且上证50ETF期权定价属于金融时间序列问题，金融时间序列一般具有条件异方差和波动聚凝性问题，所以我们采用GARCH模型（广义自回归条件异方差模型）弥补这些问题。
目前，GARCH族模型在预测股价波动率方面被广泛认可，GARCH模型是在条件均值的假设和条件方差假设基础上，建立时间序列模型。
根据前人学者的研究经验，例如苏岩，杨振海在利用GARCH，EGARCH与IGARCH模型对人民币兑日元汇率分析后，结果显示GARCH（1，1）模型与实际情况最为接近，并进一步得出结论为GARCH（1，1）是我国金融市场数据建模的首选模型。GARCH（1，1）模型公式。
我们使用上证50etf数据对于GARCH（1，1）模型参数进行估计，然后层层迭代得出波动率。
2 实证研究
2.1 数据的选择
（1）我们要分析数据结构，根据选取的数据，用histfit函数和QQplot函数做统计分析如图1所示。
根据图1可知，上证50ETF收益率的偏度（skewness）为0.743，有正偏现象，且上证50ETF的收益率的峰度（kurtosis）等于1.689，小于3，这说明了50etf收益率不满足正态分布。非正态的属性说明我们利用GARCH（1，1）模型对波动率进行拟合预测，再利用公式计算期权的价格，具有合理性。
（2）检验平稳性，采用单位根检验，用adftest函数，得出结果为1，拒绝原假设，说明序列平稳性良好。
（3）检验收益序列的相关性，使用自相关函数（autocorr）和偏自相关函数（parcorr），结果如图2所示。
根据图2可知，上证50ETF期权并不存在明显的自相关性与偏自相关性，基本在上下两条分界线内，说明序列不相关。
（4）检验是否具有ARCH效应，我们对上证50etf收益率与收益率的一阶差分做回归，得到残差序列，用archtest函数，对残差做arch效应检验，得出结果为1，拒绝原假设，说明存在异方差，所以我们可以选择GARCH（1，1）模型。
（5）用Mdl1 = garch（1，1）；
[EstMdl1，EstParamCov1，logL（1）] = estimate（Mdl1，r）；
numParams（1） = sum（any（EstParamCov1））；
[aic，bic] = aicbic（logL（1），numParams（1），T）
得出GARCH（1，1）模型結果，具体情况如表1所示。
根据表1，我们可以发现系数估计是显著的，它们的赤池系数AIC=-1.167e+03和贝叶斯系数BIC=-1.158e+03都非常小，说明模型效果较好。得到GARCH（1，1）模型的公式：
2.4 基于B-S公式的期权价格结果
我们将历史波动率，GARCH预测波动率分别带入B-S公式，分别估计出未来10天的看涨看跌期权价格，并与实际价格整理结果如表3所示。
3 结语
基于表3的数据，我们对于两种方法的比较，我们采用量化的手法，根据平均偏离度公式：
其中K表示期权实际的价格，Ct表示各期期权的理论值，Ut表示各时期的偏离度，我们分别计算基于不同波动率期权定价的平均偏离度，结果如表4所示。
从表4数据可知，B-S公式期权定价在对看跌期权定价效果好于看涨期权，基于Garch模型预测波动率的BS期权定价公式的定价效果相对好于基于历史波动率的BS期权定价公式。
本文对B-S期权定价公式做了用GARCH估计波动率代替历史波动率的尝试，B-S期权定价公式还有很多值得改进和尝试的方面。
参考文献
[1] 陈浪南，黄杰鲲.中国股票市场波动非对称性的实证研究[J].金融研究，2002（5）.
[2] 黄本尧.B-S期权定价模型的精确性及适用性分析[J].财贸研究，2002（6）.
[3] 李秉祥.对欧式期权B-S模型的推广[J].西安理工大学学报， 2003（4）.
[4] 宋逢明，江婕.中国股票市场波动性特性的实证研究[J].金融研究，2003（4）.
[5] 苏岩，杨振海.GARCH（1，1）模型及其在汇率条件波动预测中的应用[J].数理统计与管理，2007（7）.
[6] 任智格，何朗，黄樟灿.一种无风险利率时变条件下的BlackScholes期权定价模型[J].数学杂志，2015（1）.
[7] 叶永刚.股票期权[M].武汉大学出版社，2000.
①基金项目：首都经济贸易大学研究生科技创新资助项目。
关键词：上证50ETF期权 B-S期权定价公式 GARCH模型 平均偏离度
中图分类号：F832.5 文献标识码：A 文章编号：2096-0298（2017）11（c）-022-03
在2005年2月23日，首个采用华夏上证50指数作为跟踪标的ETF产品正式登陆我国证券交易市场，上证50ETF上市后交易非常活跃，充分说明了投资者对这一品种的认可程度。上证50ETF期权是一种股票期权，从长期来看股票期权有助于完善资本市场的风险管理功能和价格发现机制，有利于丰富交易品种和交易机制，所以ETF期权的发展迅速，该产品的交易已经由美国扩展到其他国家主要市场。在2015年2月9日，我国境内首只上证50ETF期权正式上市交易，推开了我国证券市场权益期权时代的大门，将对我国金融市场的发展有着深远且持久的影响。合理定价是期权合约设计的基础，有效的合约设计则是期权市场稳定运行的关键。因此我们在此研究该期权的定价问题有着深刻的意义，如何准确地对股票期权定价不仅是金融学的重要理论命题之一，同时也是一个重要的实践问题。
1 模型基础
1.1 BSM模型
1900年，Louis Bachelier 历史性的将布朗运动抽象成数学模型，证明了布朗运动可以解释股票价格行为的特征，用数理方法建立了长周期下股票价格波动的概率法则，给出了最早期的期权定价模型。
不足之处就是股价可能为负数，他没有考虑货币自身的时间价值。
随后，Sprenkle认为股票价格服从对数正态分布，引入了股票价格的平均增长率P和投机者的风险态度A，建立了新的模型。
风险态度A是非常主观和不可测的因素，难以量化，同时也没有考虑货币的时间价值。
1964年James Boness认为，期权的价格受到股价增长率P的影响，同时股票价格波动性也是影响期权价格的重要因素，并假设风险等级一样的股票具有相同的P，P服从对数正态分布，认购认沽期权投资者对风险的态度对称。建立改善模型：
不足之处在于过渡依赖股价增长率P，未考虑期权和股票之间的风险差异。之后，Samuelson将前人研究结果统一，认为期权本身也是一种风险产品，引入期权价格预期增长率μ衡量期权的风险：
1969年，Fisher Black，Myron Scholes以无套利理论作为基础，运用有效市场理论、无套利理论等，求出现在的B-S偏微分方程。1973年，最终在“期权定价与公司债务”（the pricing of options and corporate liability）中提出著名的衍生品价格的偏微分方程——Black-Scholes公式：
假设标的资产的交易是连续的，衍生产品的价格变动也是连续的，并且都遵循几何布朗运动，在完整无摩擦的市场即不存在无风险套利机会，没有交易费用和税收，并且允许卖空机制。
假设标的价格S遵循几何维纳过程，则
C是期权理论值，S为标的资产价格，X是期权行权价，r为无风险利率，σ为波动率，T-t即期权有效期，实际是期权有效天数与一年365天的比值，N（d1），N（d2）是正态分布变量的累积概率分布函数。
尽管B-S模型的假设条件过于严密，参数估计有些缺陷，但是B-S模型仍不失为评价期权价值的最有力的工具。
1.2 GARCH模型
应用 B-S公式对股票期权进行定价需要先估计标的资产价格波动率，传统做法是采用历史波动率替代，但历史波动率法对波动率变化的反映存在时滞，且上证50ETF期权定价属于金融时间序列问题，金融时间序列一般具有条件异方差和波动聚凝性问题，所以我们采用GARCH模型（广义自回归条件异方差模型）弥补这些问题。
目前，GARCH族模型在预测股价波动率方面被广泛认可，GARCH模型是在条件均值的假设和条件方差假设基础上，建立时间序列模型。
根据前人学者的研究经验，例如苏岩，杨振海在利用GARCH，EGARCH与IGARCH模型对人民币兑日元汇率分析后，结果显示GARCH（1，1）模型与实际情况最为接近，并进一步得出结论为GARCH（1，1）是我国金融市场数据建模的首选模型。GARCH（1，1）模型公式。
我们使用上证50etf数据对于GARCH（1，1）模型参数进行估计，然后层层迭代得出波动率。
2 实证研究
2.1 数据的选择
（1）我们要分析数据结构，根据选取的数据，用histfit函数和QQplot函数做统计分析如图1所示。
根据图1可知，上证50ETF收益率的偏度（skewness）为0.743，有正偏现象，且上证50ETF的收益率的峰度（kurtosis）等于1.689，小于3，这说明了50etf收益率不满足正态分布。非正态的属性说明我们利用GARCH（1，1）模型对波动率进行拟合预测，再利用公式计算期权的价格，具有合理性。
（2）检验平稳性，采用单位根检验，用adftest函数，得出结果为1，拒绝原假设，说明序列平稳性良好。
（3）检验收益序列的相关性，使用自相关函数（autocorr）和偏自相关函数（parcorr），结果如图2所示。
根据图2可知，上证50ETF期权并不存在明显的自相关性与偏自相关性，基本在上下两条分界线内，说明序列不相关。
（4）检验是否具有ARCH效应，我们对上证50etf收益率与收益率的一阶差分做回归，得到残差序列，用archtest函数，对残差做arch效应检验，得出结果为1，拒绝原假设，说明存在异方差，所以我们可以选择GARCH（1，1）模型。
（5）用Mdl1 = garch（1，1）；
[EstMdl1，EstParamCov1，logL（1）] = estimate（Mdl1，r）；
numParams（1） = sum（any（EstParamCov1））；
[aic，bic] = aicbic（logL（1），numParams（1），T）
得出GARCH（1，1）模型結果，具体情况如表1所示。
根据表1，我们可以发现系数估计是显著的，它们的赤池系数AIC=-1.167e+03和贝叶斯系数BIC=-1.158e+03都非常小，说明模型效果较好。得到GARCH（1，1）模型的公式：
2.4 基于B-S公式的期权价格结果
我们将历史波动率，GARCH预测波动率分别带入B-S公式，分别估计出未来10天的看涨看跌期权价格，并与实际价格整理结果如表3所示。
3 结语
基于表3的数据，我们对于两种方法的比较，我们采用量化的手法，根据平均偏离度公式：
其中K表示期权实际的价格，Ct表示各期期权的理论值，Ut表示各时期的偏离度，我们分别计算基于不同波动率期权定价的平均偏离度，结果如表4所示。
从表4数据可知，B-S公式期权定价在对看跌期权定价效果好于看涨期权，基于Garch模型预测波动率的BS期权定价公式的定价效果相对好于基于历史波动率的BS期权定价公式。
本文对B-S期权定价公式做了用GARCH估计波动率代替历史波动率的尝试，B-S期权定价公式还有很多值得改进和尝试的方面。
参考文献
[1] 陈浪南，黄杰鲲.中国股票市场波动非对称性的实证研究[J].金融研究，2002（5）.
[2] 黄本尧.B-S期权定价模型的精确性及适用性分析[J].财贸研究，2002（6）.
[3] 李秉祥.对欧式期权B-S模型的推广[J].西安理工大学学报， 2003（4）.
[4] 宋逢明，江婕.中国股票市场波动性特性的实证研究[J].金融研究，2003（4）.
[5] 苏岩，杨振海.GARCH（1，1）模型及其在汇率条件波动预测中的应用[J].数理统计与管理，2007（7）.
[6] 任智格，何朗，黄樟灿.一种无风险利率时变条件下的BlackScholes期权定价模型[J].数学杂志，2015（1）.
[7] 叶永刚.股票期权[M].武汉大学出版社，2000.
①基金项目：首都经济贸易大学研究生科技创新资助项目。