一次“忽视学生需求”的尴尬教学设计

• 作 者: 廖支斌
• 出 处: 数学学习与研究
• 发表日期: 2011年23期

　　无论是人教社的老教材还是新课程标准实验教科书（必修）中，对“点到直线的距离”公式的推导中，求P到直线l的距离d时，教材都是这样分析的：由方程思想求垂足Q的坐标，再根据两点之间的距离公式求|PQ|，即为P到直线l的距离.此法虽然思路十分自然，但具体运算较繁，而介绍了构造直角三角形，用面积法求解.
　　在教学设计中我也多次按此思路进行讲解，然而有一次，正当我为漂亮地完成此公式推导而欣赏时，学生1突然站起来对这样的处理说了“不”字，他认为这一分析推导思路太突然，不易想到.接着他将提前预习的思路及推导过程展示在黑板上：图 1
　　如图1所示，已知点P(x0,y0)，直线l的方程为Ax+By+C=0，过P作PQ⊥l，设垂足为Q(m,n)，当A≠0时有Am+Bn+C=0,n-y0m-x0=BA.
　　∵d=(m-x0)2+(n-y0)2=(m-x0)2+B2A2(m-x0)2=1+B2A2(m-x0)2，
　　于是方程组可变形为
　　n-y0=BA(m-x0),A(m-x0)+B(n-y0)=-(Ax0+By0+C)，
　　解得(m-x0)2=A2(A2+B2)2(Ax0+By0+C)2，
　　∴d=1+B2A2(m-x0)2
　　=A2+B2A2•A2（A2+B2）2(Ax0+By0+C)2
　　=|Ax0+By0+C|A2+B2.
　　当A=0时，d=|By0+C|B2=By0+CB=y0--CB，由Am+Bn+C=0，A=0，得n=-CB，∴d=|y0-n|=y0+CB，公式仍然成立（全班学生给予了热烈的掌声）.
　　师：这种顺应自然的思路，巧妙回避求垂足坐标的运算技巧，很好！整体代换的思想方法运用得十分成功.教材构思虽巧妙，但不属通法，学生1敢于挑战的学习钻劲值得大家学习！即时的鼓励表扬，使得“一石激起千层浪”，又有学生2站了起来.
　　学生2：求P到直线l的距离公式，教材中采取由一般到特殊的处理方式不好接受，对过P作x轴（或y轴）的平行线太突然，不易想到，如果按特殊到一般的思想方法易探索出这一证法.
　　（1）当直线l的方程为Ax+C=0时，如图2，P到l的距离d=|x0-m|=-x0--CA=Ax0+CA.
　　（2）当直线l的方程为By+C=0时，如图3，P到l的距离d=|y0-n|=By0+CB .
　　（3）当直线l的方程为Ax+By+C=0(AB≠0)时，在（1）（2）的基础上很容易地想到如图4.过P作出与x轴、y轴平行的辅助线来，从而利用教材的思路处理求P到l的距离d（全班学生掌声一片）.
　　师：学生2由特殊到一般的这种数学思想是探究数学问题的常用方法，精彩的叙述和思路得到了大家的赞许.学生2的思路的流露，良好的铺垫，教材的构思则自然形成.教师的肯定，激发了同学们的热情，思路的闸门大开，接着学生3发言.
　　学生3板书了自己的推导证明:当B≠0时,在直线l上任取一点,不妨设P10,-CB，直线l的法向量n=(A,B)，则P到l的距离等于向量P1P在向量n方向上的射影长度d,P1P=x0,y0+CB.
　　d=P1P•n|n|=x0,y0+CB•(A,B)A2+B2=Ax0+By0+CA2+B2 .
　　当B=0时,可直接由图形证(略)（掌声又是一片）.
　　师:学生3另辟蹊径，用向量方法，不需添辅助线,方法简明易掌握,体现了知识的综合运用，还没等我说完，就被学生4的发言打断，他也叙述并板书了过程:在直线l上任取一点B(x1,y1),设PQ与PB的夹角为θ,则直线l的法向量n=(A,B),∴d=|PB|•cosθ=|PB|•PB•PQ|PB|•|PQ|=|PB•n||n|=|(x1-x0，y1-y0)•(A,B)|A2+B2=|Ax0+By0+C|A2+B2.
　　此节课我已“无法”按预先设计的走下去了，同学们探究的热情空前高涨，我只好顺应学生的需求，让他们大胆继续探索.
　　学生5：我是利用平几中的相似三角形.当A，B，C均不为零时，过P作x轴的垂线交l于点Sx0，-Ax0+CB，则△PQS∽△MNO，∴d|ON|=|PS||MN|dCA=y0+Ax0+CBCA2+B2ABd=|Ax0+By0+C|A2+B2.易验证C=0或A，B之一为零时，公式也成立.
　　此时，下课铃声已响，我只好无耐地请同学们下课后继续探究.
　　也许是这节课给同学们留下了深刻印象，当学到圆的知识点时，又有两名同学给出了如下两种证法.
　　学生6：利用点关于直线对称的点的性质.
　　P和P1(x1,y1)关于直线l对称，
　　∴AB•y1-y0x1-x0=1，A•x0+x12+B•y0+y12+C=0.
　　P1-(A2-B2)x0+2ABy0+2ACA2+B2，-2ABx0-(A2-B2)y0+2BCA2+B2，
　　∴2d=(x0-x1)2+(y0-y1)2
　　=x0+(A2-B2)x0+2ABy0+2ACA2+B22+y0+2ABx0-(A2-B2)y0+2BCA2+B22
　　=2|Ax0+By0+C|A2+B2d=|Ax0+By0+C|A2+B2.
　　学生7：利用圆和直线相切的条件.
　　Ax+By+C=0，(x-x0)2+(y-y0)2=d2，由直线方程得y=-Ax-CB.代入圆的方程，经整理得(A2+B2)x2-2［B2x0-A(By0+C)］x+［B2(x20-d2)+(By0+C)2］=0，∴Δ=0，从而得(Ax0+By0+C)2=(A2+B2)d2d=|Ax0+By0+C|A2+B2.
　　还有学生8利用阅读的课外知识(行列式),利用等积变换证明了此公式.
　　∵S△PMN=12x0y01-CA010-CB1=C(Ax0+By0+C)2AB，又S△PMN=12|MN|•|PQ|=12CA2+B2ABd，
　　∴A2+B2•d=|Ax0+By0+C|d=|Ax0+By0+C|A2+B2.
　　反思 课堂教学活动是教师事先设计好的，学生被老师牵着鼻子走，学生缺少发现问题、提出问题的机会，解决问题基本上也是在教师的指导点拨下进行的，学生的主观能动性没有得到很好地发挥，不同的学生的不同发展需求没有得到很好地体现，这种忽视学生需求的教学设计，偏离了以学生发展为本的教学理念.
　　学习过程认知的主体是学生，而不是教师，教师的作用主要是组织、启发和诱导.课堂教学不仅要让学生掌握相应的知识，还要给学生提供一种经历，使他们在这种经历中，能够实现情感态度、意志品质、创新意识和实践能力等方面的协调发展.如果学生缺少学习的主动性和积极性，教学就将成为无帆之船，缺少方向性，从而显得苍白无力.因此，在进行教学设计时，要根据学生的年龄特点，从学生的认知需求、心理需求、发展需求出发，注意创设问题情景，引起学生的认知冲突，设法启动学生的思维闸门和想象的翅膀，让学生积极、主动地投入到学习活动中去，从而提高数学教学的实效性.