如何学好锐角三角函数

• 作 者: 姚彬
• 出 处: 数学学习与研究
• 发表日期: 2011年23期

　　锐角三角函数是研究初等数学的基础知识，在物理、化学等学科里都有广泛的应用，掌握锐角三角函数的概念及性质更是学好解直角三角形的关键，因此学习时应注意掌握以下几个要点：
　　一、熟练掌握锐角三角函数的定义
　　研究锐角三角函数的定义时，是将锐角放在直角三角形中给出的，即在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角∠A的正弦、余弦、正切、余切函数分别记作sinA=ac，cosA=bc，tanA=ab，cotA=ba.由此可见，锐角三角函数值是一个比值，四个三角函数值随角度的变化而变化.当锐角确定时，它的四个三角函数值也就确定了.
　　例1 在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13，则sinA的值是().
　　A.513
　　B.1213
　　C.512
　　D.125
　　简析 在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13，所以sinA=BCAB=513.故选A.
　　二、熟练掌握特殊角的三角函数值
　　对于任意角的三角函数值都可以利用计算器求得，但对于特殊角（即0°，30°，45°，60°，90°）的三角函数值应当熟练掌握，这样便于运用它们进行计算、求值或解直角三角形.
　　例2 计算sin230°-cos45°•tan60°.
　　简析 由特殊角的三角函数值，可得
　　sin230°-cos45°•tan60°=122-22×3=1-264.
　　三、熟练掌握锐角三角函数的有关性质
　　锐角三角函数主要有以下几个重要性质：
　　1.如果0°<α<90°，那么00，cotα>0.
　　2.如果0°<α<β<90°，那么sinαcotβ.
　　3.（1）如果0°<α<45°，那么sinα　　（2）如果45°<α<90°，那么sinα>cosα，tanα>cotα.
　　例3 在①0cos78°，③sin0°>tan45°，④sin25°=cos65°这四个式子中，正确的是().
　　A.①③
　　B.②④
　　C.①④
　　D.③④
　　简析 由于0°≤α≤90°，则0≤cosα≤1，所以淘汰①.由于45°<78°<90°，所以sin78°>cos78°成立.又sin0°=0，tan45°=1，所以③sin0°>tan45°不正确，所以又淘汰③.而sin25°=sin(90°-65°)=cos65°，所以sin25°=cos65°成立.故应选B.
　　四、锐角三角函数的应用
　　掌握仰角、俯角、坡角、坡度、方位角等概念.能根据题意在所给的图形（或根据题意自己画出图形）中恰当地构造直角三角形，运用解直角三角形（有时还需要借助方程）的有关知识解决实际问题.能够运用解直角三角形的有关知识，动手设计解决现实生活中的测量高度、长度的方案.能够解决与解直角三角形有关的综合性问题和探索性问题.
　　图 1
　　例4 如图1，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB.已知AB=43，那么AD=.
　　解析 在Rt△ABC中，易知∠1=∠2=∠3=30°，AC=AB•sin30°=43×12=23.
　　在Rt△ACD中，cos30°=ACAD，
　　故AD=ACcos30°=4.
　　例5 如图2，一轮船原在A处，它的北偏东45°方向上有一灯塔P，轮船沿着北偏西30°方向航行4小时到达B处，这时灯塔P正好在轮船的正东方向上，已知轮船的航速为25海里／时，求轮船在B处时与灯塔P的距离.（结果可保留根号）
　　图 2
　　图 3
　　解析 如图3，构造两个直角三角形——△ABC和△APC，运用直角三角形中的边角关系求出CB和CP，然后相加即可.
　　CB=AB•sin30°=4×25×12=50（海里），
　　CP=CA=AB•cos30°=4×25×32=503（海里），
　　所以PB=CB+CP=（50+503）(海里).