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武维民 北京市特级教师，全国优秀教师，吴正宪小学数学教师工作站核心组成员。27年来一直耕耘在教育教学第一线，先后参与教育部农村教师远程培训、小学数学课标网络培训、国培等项目的培训工作，曾荣获北京市基础教育成果一等奖、全国基础教育优秀成果一等奖。
主编或参与了《吴正宪儿童数学教育》《听吴正宪老师评课》等10本书的编写，《让思维历险》等26篇文章发表在《人民教育》等国家级刊物上，并应邀在北京、河北、河南、内蒙古、兰州、合肥等地做教学交流。在实践中始终坚持儿童数学教育的观点，坚守和践行“友善儿童”立场，努力站在儿童的视角下看待数学学习，得到一线教师的认可。
《数学课程标准》（2011年版）已将培养学生的“运算能力”定为课程的一项核心内容。如何实施和达成这一课程目标，使学生真正具有“能够根据法则和运算律正确地进行计算的能力”是我们一直在思考和实践的课题。为此，我们从一年级开始，认真地开展了对学生运算能力的培养与研究。我们的研究方法是：选择每一个年级的一个重点单元为载体，从调研入手，按新授课、练习课和复习课等不同课型来设计、研究不同学段的计算教学。下面以一年级的“20以内进位加和退位减”的教学为例，谈谈我们的实践性探究过程，以及对培养学生计算能力的一些思考和建议。
一、调研过程
选择“20以内进位加和退位减”的教学为切入点进行研究，其主要原因有三：（1）20以内进位加和退位减是学生今后学习多位数计算的基础；（2）20以内进位加和退位减是学生入学以后遇到的第一个计算难点，它影响着学生对今后计算的兴趣；（3）《数学课程标准》（2011年版）对20以内的运算技能有明确要求：在第一学段要求学生能熟练地口算20以内的加减法（每分钟8—10题）。有了这样的检测标准，就便于我们对学生进行考核和评价。
1.调研设计
为了把握学生在学习20以内进位加和退位减之前的已有知识基础和计算经验，我们对学生进行了相关知识的前测。前测的内容主要包括三个方面：（1）10以内加减法1分钟的测试；（2）20以内进位加和退位减的测试；（3）对一部分学生进行访谈。访谈的内容是10的组成和十几的组成、分解情况，以及20以内进位加和退位减口算情况，目的是了解学生在计算此段内容时大多采用的方法。
我们从本校六个一年级教学班中随机选取了一个班级进行前测，班级学生人数是33人。
2.前测结果及分析
通过对学生10以内加减法的计算的检测，可以看出学生不仅百分之百能够达到课标要求，而且从正确率、平均每分钟做题的题数都足以支持学生进行20以内进位加和退位减的学习。
通过对学生20以内进位加和退位减的检测情况进行分析后，我们发现：
（1）学生已经具有20以内进位加和退位减的计算基础。
（2）在进位加的计算中有三分之二的学生能达到课标要求，平均每分钟做题数达到12道，正确率达到92%。只有三分之一的学生达不到课标要求，但所有的学生都能计算出至少两道加法，说明还是有一定的方法基础的。
（3）在退位减法中有三分之一的学生达到课标要求，平均每分钟做题数达到7道，正确率达到91.4%。有三分之二的学生达不到课标要求，可见有相当一部分学生对20以内退位减法的计算还是有困难的。
（4）通过对进位加和退位减的对比，可以明显地看出学生进位加的基础高于退位减的基础。
二、实施教学设计
科学地培养学生的计算能力，主要渠道在课堂。在课堂教学中，教师可以创设丰富的教学情境，让学生体会计算的兴趣；可以通过算理、算法的逻辑推导，让学生掌握灵活多样的计算方法；还可以通过适时适度的评价使学生树立学好计算的信心，养成良好的计算习惯。所以，重视课堂教学是科学培养学生计算能力的有效途径。我们根据新授课、练习课和复习课的不同特点，精心设计了培养学生计算能力的不同侧重点和教学方案。
1.新授课重在理解算理、掌握算法
（1）强化操作，理解算理
传统的计算教学只注重计算结果，忽视算理的推导。课改初期的计算教学则跳到了另一个极端，过分强调学生的自主经验型计算，强调算法的多样化，而缺少计算方法的优化和提炼。因此，寻求计算教学的理性回归，寻求算理算法的平衡点，突出培养学生的计算能力，促进学生的全面发展成为我们研究的核心。要使学生会算，首先必须让学生理解算理，掌握算法。在教学时，教师应以清晰的理论指导学生理解算理，在理解算理的基础上帮助学生掌握计算方法，使学生既“知其然”，也“知其所以然”。
学生对20以内进位加和退位减的算理的理解和算法的掌握，是通过操作来实现的。因此在教学时，我们非常重视学生的操作活动，重视将20以内进位加和退位减的智力活动过程“外化”成动手操作的过程，让学生通过学具拼摆的物化活动，形成算法的直观表象，再利用这个表象中介，把计算的基本方法（凑十法、破十法或想加做减）内化到头脑中去。
案例：“9加几”新授部分
师：（先出示种好的9棵小树，再出示没有种的5棵小树）根据这幅图，你能知道什么？
生：知道一共有14棵树。
师：你是怎么算的？
生1：我是数的。从9开始数5棵，数到14（生1再数一遍）。
生2：我是用小棒摆的。
师：怎么摆的，你能把算的过程摆出来，让其他小朋友一看就知道是几个吗？
生2：先从5根小棒中拿出一根与9根合成10根，再用10根加上5根中剩下的4根合成14根。
生3：我是先算10 5得15，再用15-1得14。
建构知识的初级阶段，我们要注意充分调动学生主动思维的积极性，让学生根据各自已有的基础，进行自主建构，并体验解决问题方法的多样性与灵活性。 师：这位小朋友摆得真好，让我们大家一看就知道9 5得14。这种方法真好！下面我们也来用这种方法摆一摆，摆出9 5的计算过程。
师：同桌互相检查，互相说说是怎样摆的。
师：刚才我们学习了9 5的计算方法。9 5，先把5分成1和4，9和1合成10，10加4得14。（板书过程）看着算式叙述口算思考过程。
让学生再一次经历操作过程，然后引导他们只看算式，在脑中摆小棒、拨算珠，口述计算过程。
[实物操作 表象操作 符号操作
摆小棒 脑中摆小棒 算式运算
（具体） （半具体、半直观） （抽象）]
这一过程是使实物操作自然地过渡到抽象算式的数学化的过程，学生的思维在具体→半具体和半抽象→抽象的过程中逐步提升，促进了算理和算法的有效联结。
（2）构建交流反思的平台
在学生经历了理解算理、探索算法的过程之后，接下来的活动便是组织学生积极地开展交流。通过交流，力求达到以下目的：①培养学生的数学语言表达能力。学生通过用自己的话来叙述操作活动的过程，不但深化了对操作活动的理解，而且培养了用语言表述数学活动本质的能力。如计算9 5=？，学生用自己的语言表述：“可以先把较小的数5分成1和4，再用9加1等于10，10 4=14。”这样，学生在叙述的过程中也掌握了20以内进位加的一般方法，也就是通法。②促进多样算法的学习和交流。有些学生在计算9 5=？时，不是“看大数，拆小数”，而是“看小数，拆大数”。他们想：“9”可以分成5和4，5加5得10，10 4=14。通过交流，使其他学生明白，在用“凑十法”计算时，不一定要“看大数，拆小数”，应根据数的特点来决定算法。又如，8 7=？，可以拆较小的数7（2和5），也可以拆较大的数8（3和5）。这样的交流，为学生选择自己喜欢的计算方法拓展了空间。
2.上好练习课，重在熟练算法，灵活计算
（1）巩固算法，提高计算的正确率和速度
在新授课中，教学的核心是设计适合学生的教学活动，让学生理解算理，初步掌握算法。而练习课的教学重点之一则是，通过一定量的练习，使基本算法达到熟练，提高运算的正确率和速度。因此，我们设计了如下一些基本练习让学生练习，通过这样的练习，使所有的学生基本达到教学要求。例如，本节课中的练习有：①出示卡片指名口算的练习。②说计算过程的练习。如在9加几的练习课上，设计摆一摆、说一说，画一画、写一写的练习，在摆图片、画过程、写方法的过程中，使学生进一步理解算理、掌握算法。③变换形式的练习：连线题、比较大小、写出正确答案订正等。通过这些练习，使学生对9加几的计算进一步得到强化，并基本上达到熟练的程度。在练习课中，教师还要注意引导学生对基本计算方法进行抽象概括，使学生逐渐掌握“凑十”（看大数想凑数、分小数）、“看减想加或破十”的基本方法，为提高20以内的加、减计算水平打下良好的基础。
（2）合理计算，逐步形成技能技巧
当学生会应用20以内进位加和退位减的基本方法进行口算后，引导他们根据问题中数的特点，合理、灵活地进行计算。如计算7 8=？，除了用凑十法外，还可以这样想：如果知道8 8=16，7比8少1，则和也少1。又如：计算11-9、12-9、13-9、14-9，除了用做减想加或破十法以外，还可以这样想：9比10少1，用十几减10加1即可算出结果。通过计算这一组式题的计算，使学生想到：十几减9，只要将个位上的数与1相加，就是所求的结果。同样的道理，看到十几减8（7、6），只要将个位上的数与2（3、4）相加，就是所求的结果。这样，通过一定数量习题的练习，学生就能逐步形成20以内进位加和退位减的技能技巧。
3.上好复习课重在总结规律，灵活运用
复习课是为了让学生更好地建构知识系统，积累计算经验，感悟思想方法，提升计算能力。本单元中安排了两个整理与复习。上好这两节课，有利于学生更好地理解和巩固20以内进位加和退位减的算理，掌握计算方法，有利于培养学生对知识进行整理和复习的能力。
（1）重视加法表和减法表的合理使用
在20以内进位加和退位减的复习与整理过程中，合理、正确地使用加法表和减法表是十分重要的。在使用过程中可以分为以下几个层次：第一是自主整理进位加和退位减的表格，可以个人整理也可以分小组整理，然后展示学生的作品。这一过程是学生自主建构知识的过程，也是培养学生有序思考的过程，对于今后的复习建构知识起到了一定的指导作用。第二是让学生认真观察表格，找出里面隐藏的规律。第三是应用这个表格进行各种形式的练习，提高学生计算的兴趣。
（2）重视数学思想方法的渗透
在教学计算方法的同时，要关注相关思想方法的渗透。在本单元的学习中，除了要渗透凑整的方法、转换的方法之外，还要渗透一个重要的数学思想——函数思想。
三、研究结论
通过对20以内进位加和退位减的研究，我们发现它不仅仅是学生今后学习计算的基础，而且对于培养学生数学学习的兴趣，养成良好的计算习惯等非智力因素都有着重要意义。在计算教学中，我们要根据学生的心理认知特点和知识内容，设计合理的教学和训练方案，使学生在快乐中享受数学学习带来的兴趣。通过对本单元的教学实践研究和反思总结，我们得到如下启迪。
1.全面了解学生是培养学生运算能力的基础
随着学生生活环境和知识环境的变化，教师在教学前进行必要的前测是很重要的。前测是了解学生的重要方法，在前测的过程中我们一般使用问卷法和座谈法。问卷的设计既要包括学习这部分知识的基础，学生的认知水平和生活经验，还要包括学生对学习这部分知识的态度、情趣等。前测后教师要对掌握的情况进行分析，找准学生的认知起点，然后制定因材施教的教学方案。
2.明确算理是培养学生运算能力的核心
算理是算法的依据，是计算教学的核心。学生只有理解了算理，才能掌握好算法，才能逻辑地进行思考，才能在用算法进行计算时，逐步达到熟练程度并形成一定的技能技巧。因此，在教学中教师要精心创设适合学生、适合教学内容的学习环境，让学生在既动手又动脑的活动中愉悦地理解算理、掌握算法。
3.良好习惯是培养学生运算能力的关键
学生的计算错误一般是由审题马虎、计算粗心、书写不规范造成的。因此，我们特别注意培养学生如下的学习习惯：
（1）校对的习惯。计算都要抄题，要求学生凡是抄下来的都校对，做到不错不漏。
（2）审题的习惯。这是计算正确、迅速的前提。一要审数字和符号，并观察它们之间有什么特点，有什么内在联系。二要审运算顺序，明确先算什么，后算什么。三要审计算方法的合理、简便，分析运算和数据的特点，联系运算性质和定律，能否简算，不能直接简算的可否通过分、合、转换、省略等方法使运算简便，然后再动手解题。
（3）仔细计算、规范书写的习惯。要求按格式书写，字迹端正，不潦草、不涂改、不粘贴，保持作业整洁美观。?
主编或参与了《吴正宪儿童数学教育》《听吴正宪老师评课》等10本书的编写，《让思维历险》等26篇文章发表在《人民教育》等国家级刊物上，并应邀在北京、河北、河南、内蒙古、兰州、合肥等地做教学交流。在实践中始终坚持儿童数学教育的观点，坚守和践行“友善儿童”立场，努力站在儿童的视角下看待数学学习，得到一线教师的认可。
《数学课程标准》（2011年版）已将培养学生的“运算能力”定为课程的一项核心内容。如何实施和达成这一课程目标，使学生真正具有“能够根据法则和运算律正确地进行计算的能力”是我们一直在思考和实践的课题。为此，我们从一年级开始，认真地开展了对学生运算能力的培养与研究。我们的研究方法是：选择每一个年级的一个重点单元为载体，从调研入手，按新授课、练习课和复习课等不同课型来设计、研究不同学段的计算教学。下面以一年级的“20以内进位加和退位减”的教学为例，谈谈我们的实践性探究过程，以及对培养学生计算能力的一些思考和建议。
一、调研过程
选择“20以内进位加和退位减”的教学为切入点进行研究，其主要原因有三：（1）20以内进位加和退位减是学生今后学习多位数计算的基础；（2）20以内进位加和退位减是学生入学以后遇到的第一个计算难点，它影响着学生对今后计算的兴趣；（3）《数学课程标准》（2011年版）对20以内的运算技能有明确要求：在第一学段要求学生能熟练地口算20以内的加减法（每分钟8—10题）。有了这样的检测标准，就便于我们对学生进行考核和评价。
1.调研设计
为了把握学生在学习20以内进位加和退位减之前的已有知识基础和计算经验，我们对学生进行了相关知识的前测。前测的内容主要包括三个方面：（1）10以内加减法1分钟的测试；（2）20以内进位加和退位减的测试；（3）对一部分学生进行访谈。访谈的内容是10的组成和十几的组成、分解情况，以及20以内进位加和退位减口算情况，目的是了解学生在计算此段内容时大多采用的方法。
我们从本校六个一年级教学班中随机选取了一个班级进行前测，班级学生人数是33人。
2.前测结果及分析
通过对学生10以内加减法的计算的检测，可以看出学生不仅百分之百能够达到课标要求，而且从正确率、平均每分钟做题的题数都足以支持学生进行20以内进位加和退位减的学习。
通过对学生20以内进位加和退位减的检测情况进行分析后，我们发现：
（1）学生已经具有20以内进位加和退位减的计算基础。
（2）在进位加的计算中有三分之二的学生能达到课标要求，平均每分钟做题数达到12道，正确率达到92%。只有三分之一的学生达不到课标要求，但所有的学生都能计算出至少两道加法，说明还是有一定的方法基础的。
（3）在退位减法中有三分之一的学生达到课标要求，平均每分钟做题数达到7道，正确率达到91.4%。有三分之二的学生达不到课标要求，可见有相当一部分学生对20以内退位减法的计算还是有困难的。
（4）通过对进位加和退位减的对比，可以明显地看出学生进位加的基础高于退位减的基础。
二、实施教学设计
科学地培养学生的计算能力，主要渠道在课堂。在课堂教学中，教师可以创设丰富的教学情境，让学生体会计算的兴趣；可以通过算理、算法的逻辑推导，让学生掌握灵活多样的计算方法；还可以通过适时适度的评价使学生树立学好计算的信心，养成良好的计算习惯。所以，重视课堂教学是科学培养学生计算能力的有效途径。我们根据新授课、练习课和复习课的不同特点，精心设计了培养学生计算能力的不同侧重点和教学方案。
1.新授课重在理解算理、掌握算法
（1）强化操作，理解算理
传统的计算教学只注重计算结果，忽视算理的推导。课改初期的计算教学则跳到了另一个极端，过分强调学生的自主经验型计算，强调算法的多样化，而缺少计算方法的优化和提炼。因此，寻求计算教学的理性回归，寻求算理算法的平衡点，突出培养学生的计算能力，促进学生的全面发展成为我们研究的核心。要使学生会算，首先必须让学生理解算理，掌握算法。在教学时，教师应以清晰的理论指导学生理解算理，在理解算理的基础上帮助学生掌握计算方法，使学生既“知其然”，也“知其所以然”。
学生对20以内进位加和退位减的算理的理解和算法的掌握，是通过操作来实现的。因此在教学时，我们非常重视学生的操作活动，重视将20以内进位加和退位减的智力活动过程“外化”成动手操作的过程，让学生通过学具拼摆的物化活动，形成算法的直观表象，再利用这个表象中介，把计算的基本方法（凑十法、破十法或想加做减）内化到头脑中去。
案例：“9加几”新授部分
师：（先出示种好的9棵小树，再出示没有种的5棵小树）根据这幅图，你能知道什么？
生：知道一共有14棵树。
师：你是怎么算的？
生1：我是数的。从9开始数5棵，数到14（生1再数一遍）。
生2：我是用小棒摆的。
师：怎么摆的，你能把算的过程摆出来，让其他小朋友一看就知道是几个吗？
生2：先从5根小棒中拿出一根与9根合成10根，再用10根加上5根中剩下的4根合成14根。
生3：我是先算10 5得15，再用15-1得14。
建构知识的初级阶段，我们要注意充分调动学生主动思维的积极性，让学生根据各自已有的基础，进行自主建构，并体验解决问题方法的多样性与灵活性。 师：这位小朋友摆得真好，让我们大家一看就知道9 5得14。这种方法真好！下面我们也来用这种方法摆一摆，摆出9 5的计算过程。
师：同桌互相检查，互相说说是怎样摆的。
师：刚才我们学习了9 5的计算方法。9 5，先把5分成1和4，9和1合成10，10加4得14。（板书过程）看着算式叙述口算思考过程。
让学生再一次经历操作过程，然后引导他们只看算式，在脑中摆小棒、拨算珠，口述计算过程。
[实物操作 表象操作 符号操作
摆小棒 脑中摆小棒 算式运算
（具体） （半具体、半直观） （抽象）]
这一过程是使实物操作自然地过渡到抽象算式的数学化的过程，学生的思维在具体→半具体和半抽象→抽象的过程中逐步提升，促进了算理和算法的有效联结。
（2）构建交流反思的平台
在学生经历了理解算理、探索算法的过程之后，接下来的活动便是组织学生积极地开展交流。通过交流，力求达到以下目的：①培养学生的数学语言表达能力。学生通过用自己的话来叙述操作活动的过程，不但深化了对操作活动的理解，而且培养了用语言表述数学活动本质的能力。如计算9 5=？，学生用自己的语言表述：“可以先把较小的数5分成1和4，再用9加1等于10，10 4=14。”这样，学生在叙述的过程中也掌握了20以内进位加的一般方法，也就是通法。②促进多样算法的学习和交流。有些学生在计算9 5=？时，不是“看大数，拆小数”，而是“看小数，拆大数”。他们想：“9”可以分成5和4，5加5得10，10 4=14。通过交流，使其他学生明白，在用“凑十法”计算时，不一定要“看大数，拆小数”，应根据数的特点来决定算法。又如，8 7=？，可以拆较小的数7（2和5），也可以拆较大的数8（3和5）。这样的交流，为学生选择自己喜欢的计算方法拓展了空间。
2.上好练习课，重在熟练算法，灵活计算
（1）巩固算法，提高计算的正确率和速度
在新授课中，教学的核心是设计适合学生的教学活动，让学生理解算理，初步掌握算法。而练习课的教学重点之一则是，通过一定量的练习，使基本算法达到熟练，提高运算的正确率和速度。因此，我们设计了如下一些基本练习让学生练习，通过这样的练习，使所有的学生基本达到教学要求。例如，本节课中的练习有：①出示卡片指名口算的练习。②说计算过程的练习。如在9加几的练习课上，设计摆一摆、说一说，画一画、写一写的练习，在摆图片、画过程、写方法的过程中，使学生进一步理解算理、掌握算法。③变换形式的练习：连线题、比较大小、写出正确答案订正等。通过这些练习，使学生对9加几的计算进一步得到强化，并基本上达到熟练的程度。在练习课中，教师还要注意引导学生对基本计算方法进行抽象概括，使学生逐渐掌握“凑十”（看大数想凑数、分小数）、“看减想加或破十”的基本方法，为提高20以内的加、减计算水平打下良好的基础。
（2）合理计算，逐步形成技能技巧
当学生会应用20以内进位加和退位减的基本方法进行口算后，引导他们根据问题中数的特点，合理、灵活地进行计算。如计算7 8=？，除了用凑十法外，还可以这样想：如果知道8 8=16，7比8少1，则和也少1。又如：计算11-9、12-9、13-9、14-9，除了用做减想加或破十法以外，还可以这样想：9比10少1，用十几减10加1即可算出结果。通过计算这一组式题的计算，使学生想到：十几减9，只要将个位上的数与1相加，就是所求的结果。同样的道理，看到十几减8（7、6），只要将个位上的数与2（3、4）相加，就是所求的结果。这样，通过一定数量习题的练习，学生就能逐步形成20以内进位加和退位减的技能技巧。
3.上好复习课重在总结规律，灵活运用
复习课是为了让学生更好地建构知识系统，积累计算经验，感悟思想方法，提升计算能力。本单元中安排了两个整理与复习。上好这两节课，有利于学生更好地理解和巩固20以内进位加和退位减的算理，掌握计算方法，有利于培养学生对知识进行整理和复习的能力。
（1）重视加法表和减法表的合理使用
在20以内进位加和退位减的复习与整理过程中，合理、正确地使用加法表和减法表是十分重要的。在使用过程中可以分为以下几个层次：第一是自主整理进位加和退位减的表格，可以个人整理也可以分小组整理，然后展示学生的作品。这一过程是学生自主建构知识的过程，也是培养学生有序思考的过程，对于今后的复习建构知识起到了一定的指导作用。第二是让学生认真观察表格，找出里面隐藏的规律。第三是应用这个表格进行各种形式的练习，提高学生计算的兴趣。
（2）重视数学思想方法的渗透
在教学计算方法的同时，要关注相关思想方法的渗透。在本单元的学习中，除了要渗透凑整的方法、转换的方法之外，还要渗透一个重要的数学思想——函数思想。
三、研究结论
通过对20以内进位加和退位减的研究，我们发现它不仅仅是学生今后学习计算的基础，而且对于培养学生数学学习的兴趣，养成良好的计算习惯等非智力因素都有着重要意义。在计算教学中，我们要根据学生的心理认知特点和知识内容，设计合理的教学和训练方案，使学生在快乐中享受数学学习带来的兴趣。通过对本单元的教学实践研究和反思总结，我们得到如下启迪。
1.全面了解学生是培养学生运算能力的基础
随着学生生活环境和知识环境的变化，教师在教学前进行必要的前测是很重要的。前测是了解学生的重要方法，在前测的过程中我们一般使用问卷法和座谈法。问卷的设计既要包括学习这部分知识的基础，学生的认知水平和生活经验，还要包括学生对学习这部分知识的态度、情趣等。前测后教师要对掌握的情况进行分析，找准学生的认知起点，然后制定因材施教的教学方案。
2.明确算理是培养学生运算能力的核心
算理是算法的依据，是计算教学的核心。学生只有理解了算理，才能掌握好算法，才能逻辑地进行思考，才能在用算法进行计算时，逐步达到熟练程度并形成一定的技能技巧。因此，在教学中教师要精心创设适合学生、适合教学内容的学习环境，让学生在既动手又动脑的活动中愉悦地理解算理、掌握算法。
3.良好习惯是培养学生运算能力的关键
学生的计算错误一般是由审题马虎、计算粗心、书写不规范造成的。因此，我们特别注意培养学生如下的学习习惯：
（1）校对的习惯。计算都要抄题，要求学生凡是抄下来的都校对，做到不错不漏。
（2）审题的习惯。这是计算正确、迅速的前提。一要审数字和符号，并观察它们之间有什么特点，有什么内在联系。二要审运算顺序，明确先算什么，后算什么。三要审计算方法的合理、简便，分析运算和数据的特点，联系运算性质和定律，能否简算，不能直接简算的可否通过分、合、转换、省略等方法使运算简便，然后再动手解题。
（3）仔细计算、规范书写的习惯。要求按格式书写，字迹端正，不潦草、不涂改、不粘贴，保持作业整洁美观。?