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[摘要]“机械能守恒定律”一章概念多、规律多，怎样复习好呢？利用思维导图将零散的知识结构化和系统化是一种可行的方法，这种方法便于学生理解、记忆和应用。
[关键词]思维导图；问题串；思维提升
[中图分类号]G633.7[文献标识码]A[文章编号]16746058（2018）05003704
“机械能守恒定律”一章中的功能观点是解决物理力学问题的三大“法宝”之一，也是历年高考中重点考查的规律之一。高考中，涉及功能概念或规律的试题，既可在选择题中出现，又会在综合性的计算题中出现，题目设置为多过程的恒力作用、变力作用、临界分析等运动情景问题，综合性比较强。
这部分内容主要有功、功率、动能、势能、机械能、内能等基本概念，以及功能关系，特别是动能定理、能量守恒（包括机械能守恒）定律，物理模型包含直线运动和曲线运动，运动形式有斜面、圆形轨道、传送带等，连接方式有弹簧、绳、杆等。
为了将这部分知识串联起来，形成知识网络，同时将思维的过程可视化，笔者结合思维导图复习这部分内容。如“思维导图一”所示为这部分的三大块重点内容：基本概念、功能关系和能量守恒。
一、功能概念
这部分内容涉及的概念主要有：功、功率、动能、势能、机械能，其知识串如“思维导图二”所示，复习时可采用“先总、后分、再总”的方法建构知识网络。同时可设置递进式问题，让学生厘清基本概念。
1.关于功
掌握有关功两个方面的知识：一是会判断常见的力，如弹力、摩擦力，作用力、反作用力等做功的正负；二是会计算物体所受某个力、合力的功，这些力可能是恒力，也可能是变力。
问题串：功的定义、公式是什么？正功、负功的含义是什么？列举弹力和摩擦力做正功和负功的情况；弄清作用力与反作用力做功的大小和正负。
【随堂例题1】如图1所示，质量为m的小球用长为L的轻绳悬挂于O点，用水平恒力F拉着小球从最低点运动到使轻绳与竖直方向成θ角的位置，求此过程中，各力对小球做的功及总功。
思维提升
（1）在求力做功时，要明确是求某个力的功，还是求合力的功；是求恒力的功，还是求变力的功。
（2）恒力做功与物体运动的路径无关，等于力与物体在力方向上的位移的乘积。
（3）变力做功，要考虑应用动能定理或将变力做功转化为恒力做功进行求解。
解析：小球在F方向的位移大小为Lsinθ，方向与F同向，则WF=FLsinθ；
小球在重力方向的位移大小为L·（1-cosθ），方向与重力反向，则WG=-mgL（1-cosθ）；
绳的拉力FT时刻与运动方向垂直，则WFT=0；
故W总=WF WG WFT=FLsinθ-mgL（1-cosθ）。
【注意点】本题中小球所受的合力为变力，不能直接用功的公式求合力的功，而应转化为求各个力做功之和。
2.关于功率
相关重点知识：两个公式的区别和应用，即P=W/t是求平均功率，而公式P=Fvcosα，既能求瞬时功率，也能计算平均功率。若v是瞬时值，则求出的功率是瞬时值，若v是平均值，则求出的功率是平均值。
问题串：功率的定义、物理意义及相关公式分别是什么？两个公式有何不同？若F和v的方向不在一条直线上，如何求这个力的瞬时功率？对机车以额定功率启动和以匀加速启动两种情况，应分别分析机车的受力情况和运动情况。
【随堂例题2】如图2所示，物体受到水平推力F的作用，在粗糙水平面上做直线运动。监测到推力F、物体速度v随时间t变化的规律如图2所示。取g=10m/s2，则（）。
A.第1s内推力做功为1J
B.第2s内物体克服摩擦力做的功为W=2.0J
C.第1.5s时推力F的功率为2W
D.第2s内推力F做功的平均功率P=1.5W
解析：第1s内物体保持静止状态，在推力方向上无位移，故做功为零，A错；由图像知第3s内物体做匀速运动，F=2N，故F=Ff=2N，由v-t图像知第2s内物体的位移x=12×1×2m=1m，第2s内物体克服摩擦力做的功W=Ff·x=2.0J，B对；第1.5s时物体的速度为1m/s，故推力的功率为3W，C错；第2s内推力F=3N，推力做的功为WF=F·x=3.0J，故第2s内推力F做功的平均功率P=WF/t=3W，故D错。正确答案为B。
思維提升
本题要从F-t图像推出质点的运动情况及F的做功情况。区分平均功率和瞬时功率，以及明确瞬时功率的求法，这些是解决本题的关键。
对机车启动问题，应注意弄清机车的启动方式，是以恒定功率启动，还是以恒定加速度启动。要解决好这类问题要抓住下面三个重要关系式。
（1）机车的速度达到最大时，牵引力Fmin最小，其值等于阻力Ff，即vm=P/Ff。
（2）机车以恒定加速度启动时，要注意匀加速阶段速度的最大值，此时机车的功率达到额定功率。
（3）机车以额定功率启动时，常用动能定理：Pt-Ff·x=ΔEk来求解机车以恒定功率启动过程中的位移大小或时间。
【随堂例题3】水平面上静止放置一质量为m=0.2kg的物块，固定在同一水平面上的小型电动机通过水平细线牵引物块，使物块由静止开始做匀加速直线运动，2秒末达到额定功率，其v-t图线如图3所示，物块与水平面间的动摩擦因数为μ=0.1，g=10m/s2，电动机与物块间的距离足够远。求：
（1）物块做匀加速直线运动时受到的牵引力大小；
（2）电动机的额定功率；
（3）物块在电动机牵引下，最终能达到的最大速度。 解析：（1）由题图知物块在匀加速阶段加速度大小a=Δv/Δt=0.4m/s2。
物块受到的摩擦力大小Ff=μmg，设牵引力大小为F，则有：F-Ff=ma，得F=0.28N。
（2）当v=0.8m/s时，电动机达到额定功率，则P=Fv=0.224W。
（3）物块达到最大速度vm时，物块所受的牵引力大小等于摩擦力大小，有F1=μmg，
P=F1vm，解得vm=1.12m/s。
【注意点】本题需要将物块的实际运动情况与其运动的v-t图像一一对应起来，即数形结合，特别要进行受力分析、状态分析、过程分析和临界分析。
思维提升
（1）机车启动的方式不同，则其运动的规律就不同，涉及的物理量（如功率、速度、加速度、牵引力）就不同。
（2）机车在额定功率下的运动是变加速直线运动，机车牵引力做的功用W=Pt计算，因为F是变力，所以不能用W=Fl计算。
（3）机车以恒力加速运动的过程中，其功率不断增加，但因F是恒力，所以可用W=Fl计算牵引力的功，因为功率P是变化的，也就不能用W=Pt计算。
3.关于能
理解动能、重力势能、弹性势能、机械能、内能的物理意义及公式，其中不要求用弹性势能公式进行计算。
问题串：试区分动能、重力势能、弹性势能、机械能、内能；它们各自的大小由什么决定？表达式是什么？
【随堂例题4】如图4所示，轻弹簧竖立在地面上，正上方有一钢球，从A处自由下落，落到B处时开始与弹簧接触，此时向下压缩弹簧。小球运动到C处时，弹簧对小球的弹力与小球的重力平衡。小球运动到D处时，到达最低点。不计空气阻力，以下描述正确的有（）。
A.小球由A向B运动的过程中，小球的机械能减少
B.小球运动到C时，小球的动能最大
C.小球由B向C运动的过程中，小球的重力势能减小，弹簧的弹性势能增加
D.小球由C向D运动的过程中，小球的重力势能减少
解析：小球由A向B运动的过程中，做自由落体运动，加速度等于竖直向下的重力加速度g，处于完全失重状态，此过程中只有重力做功，小球的机械能守恒，A错误；小球由B向C运动的过程中，重力大于弹簧的弹力，加速度向下，小球处于失重状态，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，弹簧的弹性势能增加，小球的重力势能减少，由于小球向下加速运动，小球的动能还是增大的，B正确，C错误；小球由C向D运动的过程中，弹簧的弹力大于小球的重力，加速度方向向上，处于超重状态，弹簧继续被压缩，弹性势能继续增大，小球的重力势能继续减小，D正确。故答案为B、D。
【注意点】弄清小球的受力情况和运动情况是解决本题的前提，明确各种能量的影响因素是最终解决问题的关键。如，本题中小球在C点时重力和弹力平衡，此时加速度a=0，速度达到最大值。
二、功能关系
功是能量转化的量度，具体的功能关系可见“思维导图三”，其中最常用的就是动能定理。
问题串：在利用功能关系解题时，应注意引导学生有序思考问题。研究对象是什么？其受力情况和各力做功情况是怎样的？能量改变对应的是哪些力做的功？
【随堂例题5】如图5所示，一固定斜面倾角为30°，一质量为m的小物块自斜面底端以一定的初速度，沿斜向上做匀减速运动，加速度的大小等于重力加速度的大小g 。若物块上升的最大高度为H，则此过程中，物体块的（）。
A.物体的重力势能增加了mgH
B.物体的动能减少了FH
C.物体的机械能增加了FH
D.物体势能增加量小于动能的减少量
解析：运动过程中有摩擦力做功，考虑动能定理和功能关系。物块以大小为g加速度沿斜面向上做匀减速运动，运动过程中F合=mg，由受力分析知摩擦力Ff=12mg，当上升高度为H时，小物块的位移x=2H，由动能定理得ΔEk=-2mgH；由功能关系知ΔE=Wf=-12mgx=-mgH，选项A、C正确。
【注意点】本题考查了“功是能量转化的量度”的具体含义，尤其是机械能的变化，应立即联想到除重力外其他力做的功。
思维提升
求解一个问题往往有两个途径，一是直接求，二是间接求，显然本题间接求更快捷，如题中要求机械能的变化，只要看除重力以外的其他力做功的多少。
动能定理是解决力学问题常用的规律，思考过程为：确定研究对象，明确研究对象的运动过程，分析物体的受力，特别是有变力参与的情况，分析各力的做功情况，及初末态的速度，最后用动能定理列式求解。
【随堂例题6】如图6所示，传送带A、B之间的距离为L=3.2m，与水平面间夹角θ=37°，传送带沿顺时针方向转动，速度恒为v=2m/s，在上端A点无初速度放置一个质量为m=1kg、大小可视为质点的金属块，它与传送带的动摩擦因数为μ=0.5，金属块滑离传送带后，经过弯道，沿半径R=0.4m的光滑圆轨道做圆周运动，刚好能通过最高点E，已知B、D两点的竖直高度差为h=0.5m（取g=10m/s2）。求：
（1）金属块经过D点时的速度大小；
（2）金属块在BCD弯道上克服摩擦力做的功。
解析：（1）对金属块在E点有mg=mvE2/R，解得vE=2m/s；
在从D到E的过程中，由动能定理得：
-mg·2R=12mv2E-12mv2D，
解得vD=25m/s。
（2）金屬块在传送带上运行时有，mgsinθ μmgcosθ=ma1，解得a1=10m/s2。
设经位移x1金属块与传送带达到共同速度，则v2=2ax1，解得x1=0.2m<3.2m。
[关键词]思维导图；问题串；思维提升
[中图分类号]G633.7[文献标识码]A[文章编号]16746058（2018）05003704
“机械能守恒定律”一章中的功能观点是解决物理力学问题的三大“法宝”之一，也是历年高考中重点考查的规律之一。高考中，涉及功能概念或规律的试题，既可在选择题中出现，又会在综合性的计算题中出现，题目设置为多过程的恒力作用、变力作用、临界分析等运动情景问题，综合性比较强。
这部分内容主要有功、功率、动能、势能、机械能、内能等基本概念，以及功能关系，特别是动能定理、能量守恒（包括机械能守恒）定律，物理模型包含直线运动和曲线运动，运动形式有斜面、圆形轨道、传送带等，连接方式有弹簧、绳、杆等。
为了将这部分知识串联起来，形成知识网络，同时将思维的过程可视化，笔者结合思维导图复习这部分内容。如“思维导图一”所示为这部分的三大块重点内容：基本概念、功能关系和能量守恒。
一、功能概念
这部分内容涉及的概念主要有：功、功率、动能、势能、机械能，其知识串如“思维导图二”所示，复习时可采用“先总、后分、再总”的方法建构知识网络。同时可设置递进式问题，让学生厘清基本概念。
1.关于功
掌握有关功两个方面的知识：一是会判断常见的力，如弹力、摩擦力，作用力、反作用力等做功的正负；二是会计算物体所受某个力、合力的功，这些力可能是恒力，也可能是变力。
问题串：功的定义、公式是什么？正功、负功的含义是什么？列举弹力和摩擦力做正功和负功的情况；弄清作用力与反作用力做功的大小和正负。
【随堂例题1】如图1所示，质量为m的小球用长为L的轻绳悬挂于O点，用水平恒力F拉着小球从最低点运动到使轻绳与竖直方向成θ角的位置，求此过程中，各力对小球做的功及总功。
思维提升
（1）在求力做功时，要明确是求某个力的功，还是求合力的功；是求恒力的功，还是求变力的功。
（2）恒力做功与物体运动的路径无关，等于力与物体在力方向上的位移的乘积。
（3）变力做功，要考虑应用动能定理或将变力做功转化为恒力做功进行求解。
解析：小球在F方向的位移大小为Lsinθ，方向与F同向，则WF=FLsinθ；
小球在重力方向的位移大小为L·（1-cosθ），方向与重力反向，则WG=-mgL（1-cosθ）；
绳的拉力FT时刻与运动方向垂直，则WFT=0；
故W总=WF WG WFT=FLsinθ-mgL（1-cosθ）。
【注意点】本题中小球所受的合力为变力，不能直接用功的公式求合力的功，而应转化为求各个力做功之和。
2.关于功率
相关重点知识：两个公式的区别和应用，即P=W/t是求平均功率，而公式P=Fvcosα，既能求瞬时功率，也能计算平均功率。若v是瞬时值，则求出的功率是瞬时值，若v是平均值，则求出的功率是平均值。
问题串：功率的定义、物理意义及相关公式分别是什么？两个公式有何不同？若F和v的方向不在一条直线上，如何求这个力的瞬时功率？对机车以额定功率启动和以匀加速启动两种情况，应分别分析机车的受力情况和运动情况。
【随堂例题2】如图2所示，物体受到水平推力F的作用，在粗糙水平面上做直线运动。监测到推力F、物体速度v随时间t变化的规律如图2所示。取g=10m/s2，则（）。
A.第1s内推力做功为1J
B.第2s内物体克服摩擦力做的功为W=2.0J
C.第1.5s时推力F的功率为2W
D.第2s内推力F做功的平均功率P=1.5W
解析：第1s内物体保持静止状态，在推力方向上无位移，故做功为零，A错；由图像知第3s内物体做匀速运动，F=2N，故F=Ff=2N，由v-t图像知第2s内物体的位移x=12×1×2m=1m，第2s内物体克服摩擦力做的功W=Ff·x=2.0J，B对；第1.5s时物体的速度为1m/s，故推力的功率为3W，C错；第2s内推力F=3N，推力做的功为WF=F·x=3.0J，故第2s内推力F做功的平均功率P=WF/t=3W，故D错。正确答案为B。
思維提升
本题要从F-t图像推出质点的运动情况及F的做功情况。区分平均功率和瞬时功率，以及明确瞬时功率的求法，这些是解决本题的关键。
对机车启动问题，应注意弄清机车的启动方式，是以恒定功率启动，还是以恒定加速度启动。要解决好这类问题要抓住下面三个重要关系式。
（1）机车的速度达到最大时，牵引力Fmin最小，其值等于阻力Ff，即vm=P/Ff。
（2）机车以恒定加速度启动时，要注意匀加速阶段速度的最大值，此时机车的功率达到额定功率。
（3）机车以额定功率启动时，常用动能定理：Pt-Ff·x=ΔEk来求解机车以恒定功率启动过程中的位移大小或时间。
【随堂例题3】水平面上静止放置一质量为m=0.2kg的物块，固定在同一水平面上的小型电动机通过水平细线牵引物块，使物块由静止开始做匀加速直线运动，2秒末达到额定功率，其v-t图线如图3所示，物块与水平面间的动摩擦因数为μ=0.1，g=10m/s2，电动机与物块间的距离足够远。求：
（1）物块做匀加速直线运动时受到的牵引力大小；
（2）电动机的额定功率；
（3）物块在电动机牵引下，最终能达到的最大速度。 解析：（1）由题图知物块在匀加速阶段加速度大小a=Δv/Δt=0.4m/s2。
物块受到的摩擦力大小Ff=μmg，设牵引力大小为F，则有：F-Ff=ma，得F=0.28N。
（2）当v=0.8m/s时，电动机达到额定功率，则P=Fv=0.224W。
（3）物块达到最大速度vm时，物块所受的牵引力大小等于摩擦力大小，有F1=μmg，
P=F1vm，解得vm=1.12m/s。
【注意点】本题需要将物块的实际运动情况与其运动的v-t图像一一对应起来，即数形结合，特别要进行受力分析、状态分析、过程分析和临界分析。
思维提升
（1）机车启动的方式不同，则其运动的规律就不同，涉及的物理量（如功率、速度、加速度、牵引力）就不同。
（2）机车在额定功率下的运动是变加速直线运动，机车牵引力做的功用W=Pt计算，因为F是变力，所以不能用W=Fl计算。
（3）机车以恒力加速运动的过程中，其功率不断增加，但因F是恒力，所以可用W=Fl计算牵引力的功，因为功率P是变化的，也就不能用W=Pt计算。
3.关于能
理解动能、重力势能、弹性势能、机械能、内能的物理意义及公式，其中不要求用弹性势能公式进行计算。
问题串：试区分动能、重力势能、弹性势能、机械能、内能；它们各自的大小由什么决定？表达式是什么？
【随堂例题4】如图4所示，轻弹簧竖立在地面上，正上方有一钢球，从A处自由下落，落到B处时开始与弹簧接触，此时向下压缩弹簧。小球运动到C处时，弹簧对小球的弹力与小球的重力平衡。小球运动到D处时，到达最低点。不计空气阻力，以下描述正确的有（）。
A.小球由A向B运动的过程中，小球的机械能减少
B.小球运动到C时，小球的动能最大
C.小球由B向C运动的过程中，小球的重力势能减小，弹簧的弹性势能增加
D.小球由C向D运动的过程中，小球的重力势能减少
解析：小球由A向B运动的过程中，做自由落体运动，加速度等于竖直向下的重力加速度g，处于完全失重状态，此过程中只有重力做功，小球的机械能守恒，A错误；小球由B向C运动的过程中，重力大于弹簧的弹力，加速度向下，小球处于失重状态，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，弹簧的弹性势能增加，小球的重力势能减少，由于小球向下加速运动，小球的动能还是增大的，B正确，C错误；小球由C向D运动的过程中，弹簧的弹力大于小球的重力，加速度方向向上，处于超重状态，弹簧继续被压缩，弹性势能继续增大，小球的重力势能继续减小，D正确。故答案为B、D。
【注意点】弄清小球的受力情况和运动情况是解决本题的前提，明确各种能量的影响因素是最终解决问题的关键。如，本题中小球在C点时重力和弹力平衡，此时加速度a=0，速度达到最大值。
二、功能关系
功是能量转化的量度，具体的功能关系可见“思维导图三”，其中最常用的就是动能定理。
问题串：在利用功能关系解题时，应注意引导学生有序思考问题。研究对象是什么？其受力情况和各力做功情况是怎样的？能量改变对应的是哪些力做的功？
【随堂例题5】如图5所示，一固定斜面倾角为30°，一质量为m的小物块自斜面底端以一定的初速度，沿斜向上做匀减速运动，加速度的大小等于重力加速度的大小g 。若物块上升的最大高度为H，则此过程中，物体块的（）。
A.物体的重力势能增加了mgH
B.物体的动能减少了FH
C.物体的机械能增加了FH
D.物体势能增加量小于动能的减少量
解析：运动过程中有摩擦力做功，考虑动能定理和功能关系。物块以大小为g加速度沿斜面向上做匀减速运动，运动过程中F合=mg，由受力分析知摩擦力Ff=12mg，当上升高度为H时，小物块的位移x=2H，由动能定理得ΔEk=-2mgH；由功能关系知ΔE=Wf=-12mgx=-mgH，选项A、C正确。
【注意点】本题考查了“功是能量转化的量度”的具体含义，尤其是机械能的变化，应立即联想到除重力外其他力做的功。
思维提升
求解一个问题往往有两个途径，一是直接求，二是间接求，显然本题间接求更快捷，如题中要求机械能的变化，只要看除重力以外的其他力做功的多少。
动能定理是解决力学问题常用的规律，思考过程为：确定研究对象，明确研究对象的运动过程，分析物体的受力，特别是有变力参与的情况，分析各力的做功情况，及初末态的速度，最后用动能定理列式求解。
【随堂例题6】如图6所示，传送带A、B之间的距离为L=3.2m，与水平面间夹角θ=37°，传送带沿顺时针方向转动，速度恒为v=2m/s，在上端A点无初速度放置一个质量为m=1kg、大小可视为质点的金属块，它与传送带的动摩擦因数为μ=0.5，金属块滑离传送带后，经过弯道，沿半径R=0.4m的光滑圆轨道做圆周运动，刚好能通过最高点E，已知B、D两点的竖直高度差为h=0.5m（取g=10m/s2）。求：
（1）金属块经过D点时的速度大小；
（2）金属块在BCD弯道上克服摩擦力做的功。
解析：（1）对金属块在E点有mg=mvE2/R，解得vE=2m/s；
在从D到E的过程中，由动能定理得：
-mg·2R=12mv2E-12mv2D，
解得vD=25m/s。
（2）金屬块在传送带上运行时有，mgsinθ μmgcosθ=ma1，解得a1=10m/s2。
设经位移x1金属块与传送带达到共同速度，则v2=2ax1，解得x1=0.2m<3.2m。