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[摘要]引入平面向量的概念后，几何图形与代数运算得以交融，图形语言的直观美与向量语言的简洁美融会贯通.中学生对平面向量之所以“望而生畏”往往是由于对平面向量的双属性理解不透.通过对以平行四边形为内核的一类平面向量问题进行深入分析，能让学生更好地理解平面向量的数形之美.
[关键词]平面向量；平行四边形；数形结合
[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2018）05002502
引入平面向量后，全等和平行（平移）、相似、垂直等就可转化为向量的加减法、数乘向量、数量积等运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系，实现“形”与“数”的交融，贯通图形语言的直观美与向量语言的简洁美.课标要求，通过向量知识与方法的学习，学生能理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学与物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力.实际学习中，学生往往由于对向量的双属性特征理解不透，而畏于处理向量与几何的综合题目.本文对以平行四边形为内核的一类平面向量问题进行分析.
典型例题：已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：
P1：|a b|>1θ∈0，2π3
P2：|a b|>1θ∈2π3，π
P3：|a-b|>1θ∈0，π3
P4：|a-b|>1θ∈π3，π
其中的真命题是.
分析：此题可运用公式|a|2=a2、数量积公式及简单的余弦函数知识得出答案.不过，稍加分析不难发现此题实际是一个以单位向量a、b为邻边的平行四边形模型，其实质是保持平行四边形的边长不变，研究角的变化.
如图1所示，不妨设|a b|=|AC|，|a-b|=|DB|.
当|a b|=1时，|AC|=|DC|=|AD|，即△ADC是等边三角形，
此时∠A=2π3；
|a b|>1，意味着线段AC变长，此时θ变小，
即θ∈0，2π3
.
同理|a-b|=1时，|AD|=|AB|=|BD|，即△ABD是等边三角形，此时
∠A=
π3
；|a-b|>1，意味着线段BD变长，此时θ变大，即θ∈
π3，π
.
变式1：向量a，b满足：|a|=|b|=|a b|=1，则|a-tb|（t∈R）的最小值是.
分析：在平行四边形ABCD中，|AB|=|AD|=
|AC|=1，∠DAC=∠BAC=60°，∠A=120°.由向量减法的三角形法则可知，向量a-tb的起点在
直线DA上，终点是点B.|a-tb|就是指B点与直线DA上任意
点之间的线段长度.
过点B引直线DA的垂线BH交DA于点H（如图2所示），
则|a-tb|的最小值就是垂线段DH的长，即32.
变式2：已知a、b、c是单位向量，且|a b|=3，
则（a-c）·（b c）的取值范围是.
分析：如图3所示，在菱形ABCD中，|AD|=|DC|=1，
|AC|=3.直角三角形△AMD中，cos∠DAM=32
，则∠DAM=30°，
所以∠A=60°，|DB|=1，
即|a-b|=1.
又（a-b）·c=|a-b|·|c|cosθ（θ是a-b与c的夹角），且-1≤cosθ≤1.
所以-1≤（a-b）·c≤1，
所以（a-c）·（b c）=a·b （a-b）·c-1=（a-b）·c-12，
所以（a-c）·（b c）的取值范围是-32
12
.
变式3：若a，b是两个非零向量，且|a|=|b|=
λ|a b|，λ∈22，1
，则向量b与a-b夹角的取值范围是.
分析：在平行四边形ABCD中，当∠BAC从0°增大到180°时，|AC|从2|a|连续减小到0，同时|DB|从0连续增大到2|a|，当然∠ADB亦是连续变化.因此，只需计算λ=22
及λ=1的情况即可.
当λ=22时，∠D=90°，则∠ADB=45°，此时b与a-b的夹角是135°.
当λ=1时，∠D=60°，则∠ADB=30°，此时b與a-b的夹角是150°.
所以，b与a-b的夹角的取值范围是
3π4，5π6
.
变式4：已知向量a、b满足：cos〈a b，a〉=12，
cos〈a b，b〉=22，则|a||b|=.
分析：此题仍然是一个平行四边形模型，本质是保持角度
不变，研究边的相关问题.如图4所示，平行四边形ABCD中，AB=a，
|AD|=b，则a b=AC
，所以∠DAC=π4，
∠BAC=π3，
在△ABC中，由正弦定理可得
|a||b|
=|AB||AC|=
sinπ4
sinπ3
=63
.
可以看到，基于向量的加减法、数乘向量和数量积
等运算，用向量语言来表述图形关系具有很强的简洁
性.比如向量式
a=λb中就蕴含一组平行关系；向量式a b则指代一个平行四边形；而向量式（a b）·（a-b）=0中，则包含一个菱形；向量式|a b|=|a-b|则暗含一个矩形；向量式|a|=|b|=|a b|，则蕴含一个内角是120°的菱形；向量式a·b=0中即可找到一个圆，又可找到矩形.看到如此精美的向量式，就需要看到它所蕴含的几何图形，如此便可将向量的简洁美与图形的直观美合二为一，灵活应用向量的双属性特征解决综合问题.
[参考文献]
[1]秉正.几何问题向量构筑——探析平面向量的几何意义[J].新高考（高一数学），2017（1）.
[2]薛红利.平面向量运算的几何意义在解题中的应用[J].数学学习与研究（教研版），2017（7）.
[3]王仁朋.平面向量数量积几何意义的一类应用[J].中学生数理化（学习研版），2017（6）.
（责任编辑黄桂坚）
[关键词]平面向量；平行四边形；数形结合
[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2018）05002502
引入平面向量后，全等和平行（平移）、相似、垂直等就可转化为向量的加减法、数乘向量、数量积等运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系，实现“形”与“数”的交融，贯通图形语言的直观美与向量语言的简洁美.课标要求，通过向量知识与方法的学习，学生能理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学与物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力.实际学习中，学生往往由于对向量的双属性特征理解不透，而畏于处理向量与几何的综合题目.本文对以平行四边形为内核的一类平面向量问题进行分析.
典型例题：已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：
P1：|a b|>1θ∈0，2π3
P2：|a b|>1θ∈2π3，π
P3：|a-b|>1θ∈0，π3
P4：|a-b|>1θ∈π3，π
其中的真命题是.
分析：此题可运用公式|a|2=a2、数量积公式及简单的余弦函数知识得出答案.不过，稍加分析不难发现此题实际是一个以单位向量a、b为邻边的平行四边形模型，其实质是保持平行四边形的边长不变，研究角的变化.
如图1所示，不妨设|a b|=|AC|，|a-b|=|DB|.
当|a b|=1时，|AC|=|DC|=|AD|，即△ADC是等边三角形，
此时∠A=2π3；
|a b|>1，意味着线段AC变长，此时θ变小，
即θ∈0，2π3
.
同理|a-b|=1时，|AD|=|AB|=|BD|，即△ABD是等边三角形，此时
∠A=
π3
；|a-b|>1，意味着线段BD变长，此时θ变大，即θ∈
π3，π
.
变式1：向量a，b满足：|a|=|b|=|a b|=1，则|a-tb|（t∈R）的最小值是.
分析：在平行四边形ABCD中，|AB|=|AD|=
|AC|=1，∠DAC=∠BAC=60°，∠A=120°.由向量减法的三角形法则可知，向量a-tb的起点在
直线DA上，终点是点B.|a-tb|就是指B点与直线DA上任意
点之间的线段长度.
过点B引直线DA的垂线BH交DA于点H（如图2所示），
则|a-tb|的最小值就是垂线段DH的长，即32.
变式2：已知a、b、c是单位向量，且|a b|=3，
则（a-c）·（b c）的取值范围是.
分析：如图3所示，在菱形ABCD中，|AD|=|DC|=1，
|AC|=3.直角三角形△AMD中，cos∠DAM=32
，则∠DAM=30°，
所以∠A=60°，|DB|=1，
即|a-b|=1.
又（a-b）·c=|a-b|·|c|cosθ（θ是a-b与c的夹角），且-1≤cosθ≤1.
所以-1≤（a-b）·c≤1，
所以（a-c）·（b c）=a·b （a-b）·c-1=（a-b）·c-12，
所以（a-c）·（b c）的取值范围是-32
12
.
变式3：若a，b是两个非零向量，且|a|=|b|=
λ|a b|，λ∈22，1
，则向量b与a-b夹角的取值范围是.
分析：在平行四边形ABCD中，当∠BAC从0°增大到180°时，|AC|从2|a|连续减小到0，同时|DB|从0连续增大到2|a|，当然∠ADB亦是连续变化.因此，只需计算λ=22
及λ=1的情况即可.
当λ=22时，∠D=90°，则∠ADB=45°，此时b与a-b的夹角是135°.
当λ=1时，∠D=60°，则∠ADB=30°，此时b與a-b的夹角是150°.
所以，b与a-b的夹角的取值范围是
3π4，5π6
.
变式4：已知向量a、b满足：cos〈a b，a〉=12，
cos〈a b，b〉=22，则|a||b|=.
分析：此题仍然是一个平行四边形模型，本质是保持角度
不变，研究边的相关问题.如图4所示，平行四边形ABCD中，AB=a，
|AD|=b，则a b=AC
，所以∠DAC=π4，
∠BAC=π3，
在△ABC中，由正弦定理可得
|a||b|
=|AB||AC|=
sinπ4
sinπ3
=63
.
可以看到，基于向量的加减法、数乘向量和数量积
等运算，用向量语言来表述图形关系具有很强的简洁
性.比如向量式
a=λb中就蕴含一组平行关系；向量式a b则指代一个平行四边形；而向量式（a b）·（a-b）=0中，则包含一个菱形；向量式|a b|=|a-b|则暗含一个矩形；向量式|a|=|b|=|a b|，则蕴含一个内角是120°的菱形；向量式a·b=0中即可找到一个圆，又可找到矩形.看到如此精美的向量式，就需要看到它所蕴含的几何图形，如此便可将向量的简洁美与图形的直观美合二为一，灵活应用向量的双属性特征解决综合问题.
[参考文献]
[1]秉正.几何问题向量构筑——探析平面向量的几何意义[J].新高考（高一数学），2017（1）.
[2]薛红利.平面向量运算的几何意义在解题中的应用[J].数学学习与研究（教研版），2017（7）.
[3]王仁朋.平面向量数量积几何意义的一类应用[J].中学生数理化（学习研版），2017（6）.
（责任编辑黄桂坚）