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摘 要：《普通高中数学课程标准（2017年版）》的课程目标中明确指出，要提升学生的数学学科核心素养.本文基于二项式定理第一课时的课堂教学，以“鱼”与“渔”两种不同的教学设计理念，展示了两种不同的教学设计，揭示了通过加强过程教学促进学生思维发展的实践价值，提出了要关注真实教学情境、提升数学核心素养开展教学设计的观点。
关键词：数学课堂教学；鱼与渔；二项式定理；数学核心素养
一、 贯穿数学“鱼”的二项式定理教学设计
【问题1】请同学们利用多项式乘法的运算法则（多项式乘法公式）将下列各式展开并观察每一项是由哪几个字母组成？
（1）（a1 b1）（a2 b2） （2）（a1 b1）（a2 b2）（a3 b3） （3）（a b）2 （4）（a b）3
【预设回答】（1）原式=a1a2 a1b2 b1a2 b1b2
（2）原式=a1a2a3 a1a2b3 a1b2a3 a1b2b3 b1a2a3 b1a2b3 b1b2a3 b1b2b3
（3）原式=a2 2ab b2
（4）原式=a3 3a2b 3ab2 b3
归纳后提出下面的问题
【问题2】猜想（a1 b1）（a2 b2）（a3 b3）（a4 b4）运算后每一项由几个字母相乘？有多少项？猜想（a1 b1）（a2 b2）（a3 b3）…（an bn）运算后每一项由几个字母相乘？会有多少项？
【预设回答】每一项由4个字母相乘，利用列举的方式将（a1 b1）（a2 b2）（a3 b3）（a4 b4）展开后每一项表达出来。
归纳出（a1 b1）（a2 b2）（a3 b3）…（an bn）的乘法运算是将每一个因式中分别取出一个字母相乘，每一个因式都有2种取法，取完所有字母需要分成n个步骤，所以共有2n项。
【问题3】猜想（a b）4展开后有多少项？每一项是如何构成的？
【预设回答】（a b）4展开后有5项，由a4、a3b、a2b2、ab3、b4构成。
【问题4】（a b）4展开式中的各项系数又是如何呢？
于是教师引导学生类比问题2的解答过程看看有何发现？此时不少学生开始动手计算并陆续获得启发。学生归纳出（a b）4展开式的各项系数。但是，并没有发现其中的组合数原理。课堂中遇到了学生难以突破的问题。
教师进一步引导（a b）3的展开式中a3b这一项的系数是由（a b）3的3个因式中取1个b其余因式取a得到，即C13
【问题5】（a b）n展开式如何？
【预设回答】（a b）n=C0nan C1nan-1b … Crnan-rbr … Cnnbn
二、 基于数学“渔”的二项式定理教学设计
【课前导语】今天我们来学习二项式定理。什么是二项式定理呢？即：（a b）n=……的展开式。（a b）n=……的展开式是一个等式，到底是一个什么样的等式？这节课我们主要就是研究这个等式是什么。如何去研究这样的等式呢？你又有怎样的经验呢？
（学生经过思考，小声议论着可以将（a b）n中的n进行赋值可将n=2这样就可以研究（a b）2，然而（a b）2=a2 2ab b2即为一个等式）
【问题1】你能证明等式（a b）2=a2 2ab b2成立吗？
（有些疑惑……这是常用的完全平方公式还需要证明吗？会有学生想起来初中学过的利用矩形的面积证明完全平方公式成立）
【问题2】要是當n=3时，利用矩形的面积还能证明（a b）3成立吗？那么，这种方法只能证明（a b）2=a2 2ab b2等式成立，我们要实现（a b）n=……这个等式就无法达成。（学生表示认同，但是，不太知道该如何解决，陷入沉思……）
（a b）2可以看成（a b）（a b），在2个因式（括号）中各取一个字母相乘得到等式右边的一项，其中第一个因式中取a，第二因式中取b得到因式ab，另外，第一个因式取b，第二个因式取a得到因式ba，ab与ba属于同类项，合并之后得到2ab这一项。换言之，从两个因式中各取一个字母，取到一个a，一个b有C12=2种取法，所以，（a b）2=a2 2ab b2的等式右边ab的系数为2。
（同学们的想法非常好！不仅说明了等式的成立，而且运用了我们刚刚学习过的组合数计数模型）
【问题3】请同学们猜想一下（a b）3展开式中a2b这一项的系数应该是什么？对于（a b）3看以看成3个（a b）相乘，每个因式中取一个字母，而a2b相当于3个（a b）因式中有一个因式取b，剩余两个因式取a，哪个因式取b有C13=3种不同的取法。
【问题4】请同学们根据前面学习的经验猜想一下（a b）n的展开式的右边应该是什么样？（学生先自己独立思考，然后进行交流）
得出（a b）n=C0nan C1nan-1b … Crnan-rbr … Cnnbn
这样的课堂教学凸显了数学课堂的“渔”。首先，课前导入直接明确二项式定理展开为一个等式，明确了本节课是研究代数式的等量关系。其次通过对n的赋值以及（a b）3中a2b的系数探究，是利用特殊到一般的推理过程，也是落实逻辑推理学科素养的体现。并且在应用已学过的数学知识（完全平方公式）演绎推理要学习的知识恰好是数学的应用。体现了在学习数学中应用数学完成数学学科素养的落实。最后，在二项式定理证明过程中应用了计数原理的组合数模型，更是渗透数学建模的学科素养。数学中的“渔”是新课堂教学改革所提倡的，数学中的“鱼”更是解决问题所需要的。数学课堂教学中不能只关注“鱼”不关注“渔”，更不能注关注“渔”不关注“鱼”，二者必须兼得。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准[S].北京，人民教育出版社，2017.
作者简介：
王建民，李德俊，北京市，北京市延庆区教育科学研究中心。
关键词：数学课堂教学；鱼与渔；二项式定理；数学核心素养
一、 贯穿数学“鱼”的二项式定理教学设计
【问题1】请同学们利用多项式乘法的运算法则（多项式乘法公式）将下列各式展开并观察每一项是由哪几个字母组成？
（1）（a1 b1）（a2 b2） （2）（a1 b1）（a2 b2）（a3 b3） （3）（a b）2 （4）（a b）3
【预设回答】（1）原式=a1a2 a1b2 b1a2 b1b2
（2）原式=a1a2a3 a1a2b3 a1b2a3 a1b2b3 b1a2a3 b1a2b3 b1b2a3 b1b2b3
（3）原式=a2 2ab b2
（4）原式=a3 3a2b 3ab2 b3
归纳后提出下面的问题
【问题2】猜想（a1 b1）（a2 b2）（a3 b3）（a4 b4）运算后每一项由几个字母相乘？有多少项？猜想（a1 b1）（a2 b2）（a3 b3）…（an bn）运算后每一项由几个字母相乘？会有多少项？
【预设回答】每一项由4个字母相乘，利用列举的方式将（a1 b1）（a2 b2）（a3 b3）（a4 b4）展开后每一项表达出来。
归纳出（a1 b1）（a2 b2）（a3 b3）…（an bn）的乘法运算是将每一个因式中分别取出一个字母相乘，每一个因式都有2种取法，取完所有字母需要分成n个步骤，所以共有2n项。
【问题3】猜想（a b）4展开后有多少项？每一项是如何构成的？
【预设回答】（a b）4展开后有5项，由a4、a3b、a2b2、ab3、b4构成。
【问题4】（a b）4展开式中的各项系数又是如何呢？
于是教师引导学生类比问题2的解答过程看看有何发现？此时不少学生开始动手计算并陆续获得启发。学生归纳出（a b）4展开式的各项系数。但是，并没有发现其中的组合数原理。课堂中遇到了学生难以突破的问题。
教师进一步引导（a b）3的展开式中a3b这一项的系数是由（a b）3的3个因式中取1个b其余因式取a得到，即C13
【问题5】（a b）n展开式如何？
【预设回答】（a b）n=C0nan C1nan-1b … Crnan-rbr … Cnnbn
二、 基于数学“渔”的二项式定理教学设计
【课前导语】今天我们来学习二项式定理。什么是二项式定理呢？即：（a b）n=……的展开式。（a b）n=……的展开式是一个等式，到底是一个什么样的等式？这节课我们主要就是研究这个等式是什么。如何去研究这样的等式呢？你又有怎样的经验呢？
（学生经过思考，小声议论着可以将（a b）n中的n进行赋值可将n=2这样就可以研究（a b）2，然而（a b）2=a2 2ab b2即为一个等式）
【问题1】你能证明等式（a b）2=a2 2ab b2成立吗？
（有些疑惑……这是常用的完全平方公式还需要证明吗？会有学生想起来初中学过的利用矩形的面积证明完全平方公式成立）
【问题2】要是當n=3时，利用矩形的面积还能证明（a b）3成立吗？那么，这种方法只能证明（a b）2=a2 2ab b2等式成立，我们要实现（a b）n=……这个等式就无法达成。（学生表示认同，但是，不太知道该如何解决，陷入沉思……）
（a b）2可以看成（a b）（a b），在2个因式（括号）中各取一个字母相乘得到等式右边的一项，其中第一个因式中取a，第二因式中取b得到因式ab，另外，第一个因式取b，第二个因式取a得到因式ba，ab与ba属于同类项，合并之后得到2ab这一项。换言之，从两个因式中各取一个字母，取到一个a，一个b有C12=2种取法，所以，（a b）2=a2 2ab b2的等式右边ab的系数为2。
（同学们的想法非常好！不仅说明了等式的成立，而且运用了我们刚刚学习过的组合数计数模型）
【问题3】请同学们猜想一下（a b）3展开式中a2b这一项的系数应该是什么？对于（a b）3看以看成3个（a b）相乘，每个因式中取一个字母，而a2b相当于3个（a b）因式中有一个因式取b，剩余两个因式取a，哪个因式取b有C13=3种不同的取法。
【问题4】请同学们根据前面学习的经验猜想一下（a b）n的展开式的右边应该是什么样？（学生先自己独立思考，然后进行交流）
得出（a b）n=C0nan C1nan-1b … Crnan-rbr … Cnnbn
这样的课堂教学凸显了数学课堂的“渔”。首先，课前导入直接明确二项式定理展开为一个等式，明确了本节课是研究代数式的等量关系。其次通过对n的赋值以及（a b）3中a2b的系数探究，是利用特殊到一般的推理过程，也是落实逻辑推理学科素养的体现。并且在应用已学过的数学知识（完全平方公式）演绎推理要学习的知识恰好是数学的应用。体现了在学习数学中应用数学完成数学学科素养的落实。最后，在二项式定理证明过程中应用了计数原理的组合数模型，更是渗透数学建模的学科素养。数学中的“渔”是新课堂教学改革所提倡的，数学中的“鱼”更是解决问题所需要的。数学课堂教学中不能只关注“鱼”不关注“渔”，更不能注关注“渔”不关注“鱼”，二者必须兼得。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准[S].北京，人民教育出版社，2017.
作者简介：
王建民，李德俊，北京市，北京市延庆区教育科学研究中心。