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点子图在小学数学教学中运用较广。在教学中，利用点子图这种直观图形，既能充分体现数形结合的数学思想，又能体现出数学学科的重要性，还能使学生更容易理解和接受。
在运算律的教学中，我们发现，学生对运算律中算理的掌握和区分感到困难。那么，在教学中，能不能利用点子图，帮助学生解决运算律中关于算理的困惑呢？又如何利用点子图的直观特点，让点子图成为一个有效载体，真正让图形直观成为思维的源泉呢？下面笔者结合自己的教学实例，以乘法交换律、乘法结合律及乘法分配律为例，谈谈做法和体会。
理解乘法交换律
利用点子图的直观，可以抓住乘法意义的本质，以知识本身为基本点，帮助学生理解、感悟，提升思维品质。在乘法交换律中，如何利用点子图来理解其算理呢？以下图为例，笔者认为可以这样进行，首先出示点子图，如图1所示：
横着看，可以看成5个12相加，写成乘法算式是12×5;竖着可以看成12个5相加，写成乘法算式是5×12;接着进一步指出，它们表示的是同一个点子图，点子数量是不变的，也就是12×5=5×12。这样，在复习巩固乘法意义的同时，自然而然地就引出了乘法交换律。然后，可以出示更多的点子图进行扩展、推广，进行验证，最后用字母表示，得出乘法交换律的一般式a×b=b×a。这样，用点子图直观呈现的方式，学生更容易理解，更容易接受，印象更深刻，同时，在这个过程中，逐步养成举例验证的数学思维习惯，培养严谨求实的科学态度。
理解乘法结合律
在教乘法结合律时，都是通过对算式的计算来引入的。如通过计算（6×2）×5和6×（2×5），计算哪一个算式的速度快些，使学生自己体会到得到整十数、整百数等会使计算速度快的感悟。学生自己有了深刻的体验，感受到学习乘法结合律的必要性，知道运用乘法结合律可以使计算变得简便。那么，为什么可以这样算，其计算道理又在哪里？学生会感到一定困难，可以借助点子图来帮助学生理解。根据上面的算式，可以出示点子图，如图2所示：
横着看，每行的点子数是2个6，写成算式是6×2，共5行，因此图2中点子总数是：（6×2）×5。也可以看成每行有2个格子，有5行，共有2×5个格子，每个格子里面有6个点，图2中点子总数是：6×（2×5）。接着进一步指出，他们的表示的是同一个点子图，点子数量是不变的，也就是：（6×2）×5=6×（2×5）;这样一来，学生就理解到了数量的多少这一本质没有变。同理，我们可以出示更多的点子图进行扩展、推广，进行验证，最后用字母表示，得出乘法结合律的一般式（a×b）×c=a×（b×c）。在这个过程中，通过点子图，采用数形结合的思想，使学生明白了乘法给合律的算理，掌握了其本质，培养了数感，然后通过练习，达到熟练运用的目的。
理解乘法分配律
在乘法分配律的教学中发现，学生屡屡犯错，其根本原因就是：没有很好地在头脑中构建“形”和“质”之间的联系，没有把握乘法分配律的形变而质不变的（即量的守恒）这一本质。乘法分配律成为小学生学习的难点和易错點。如何突破乘法分配律的教学难点，让学生理解其算理，让学生灵活地掌握解决此类问题的方法，笔者认为，借用点子图的直观，可以让学生理解并掌握。如图3所示：
先把每一行的12个点子分成两个部分，即2个点和10个点，横着看，每一行都是（2 10），共有5行，求总共的点子数，可以列式（2 10）×5个。再竖着看，分成左右两个部分，左边点子数是5个2，即（2×5）个，右边点子数是5个10，即（10×5）个，总共的点子数就是2×5 10×5。不管从哪个角度看，不管用哪种方法算，数量的多少没有变，即：（2 10）×5=2×5 10×5。
由此扩展、推广，进行更多的验证，从特殊到一般，进行归纳总结，得出一般式：（a b）×c=a×c b×c。
在这个过程中，以点子图作为支撑，采用数形结合的思想，加深对“量不变”这一本质的理解，利用学生已有的知识经验和对图形的敏感，真实、真正准确地把握了乘法分配律的算理和本质，突破学习难点。
借助点子图的直观，运用数形结合的思想，提供给学生支撑点，让学生有思维的源泉，他们就能在其中找到并理解知识的本质，既明白了联系，又凸显了区别，还能提升思维品质，让学生受益。
（作者单位：广东省深圳市南山区同乐学校）
在运算律的教学中，我们发现，学生对运算律中算理的掌握和区分感到困难。那么，在教学中，能不能利用点子图，帮助学生解决运算律中关于算理的困惑呢？又如何利用点子图的直观特点，让点子图成为一个有效载体，真正让图形直观成为思维的源泉呢？下面笔者结合自己的教学实例，以乘法交换律、乘法结合律及乘法分配律为例，谈谈做法和体会。
理解乘法交换律
利用点子图的直观，可以抓住乘法意义的本质，以知识本身为基本点，帮助学生理解、感悟，提升思维品质。在乘法交换律中，如何利用点子图来理解其算理呢？以下图为例，笔者认为可以这样进行，首先出示点子图，如图1所示：
横着看，可以看成5个12相加，写成乘法算式是12×5;竖着可以看成12个5相加，写成乘法算式是5×12;接着进一步指出，它们表示的是同一个点子图，点子数量是不变的，也就是12×5=5×12。这样，在复习巩固乘法意义的同时，自然而然地就引出了乘法交换律。然后，可以出示更多的点子图进行扩展、推广，进行验证，最后用字母表示，得出乘法交换律的一般式a×b=b×a。这样，用点子图直观呈现的方式，学生更容易理解，更容易接受，印象更深刻，同时，在这个过程中，逐步养成举例验证的数学思维习惯，培养严谨求实的科学态度。
理解乘法结合律
在教乘法结合律时，都是通过对算式的计算来引入的。如通过计算（6×2）×5和6×（2×5），计算哪一个算式的速度快些，使学生自己体会到得到整十数、整百数等会使计算速度快的感悟。学生自己有了深刻的体验，感受到学习乘法结合律的必要性，知道运用乘法结合律可以使计算变得简便。那么，为什么可以这样算，其计算道理又在哪里？学生会感到一定困难，可以借助点子图来帮助学生理解。根据上面的算式，可以出示点子图，如图2所示：
横着看，每行的点子数是2个6，写成算式是6×2，共5行，因此图2中点子总数是：（6×2）×5。也可以看成每行有2个格子，有5行，共有2×5个格子，每个格子里面有6个点，图2中点子总数是：6×（2×5）。接着进一步指出，他们的表示的是同一个点子图，点子数量是不变的，也就是：（6×2）×5=6×（2×5）;这样一来，学生就理解到了数量的多少这一本质没有变。同理，我们可以出示更多的点子图进行扩展、推广，进行验证，最后用字母表示，得出乘法结合律的一般式（a×b）×c=a×（b×c）。在这个过程中，通过点子图，采用数形结合的思想，使学生明白了乘法给合律的算理，掌握了其本质，培养了数感，然后通过练习，达到熟练运用的目的。
理解乘法分配律
在乘法分配律的教学中发现，学生屡屡犯错，其根本原因就是：没有很好地在头脑中构建“形”和“质”之间的联系，没有把握乘法分配律的形变而质不变的（即量的守恒）这一本质。乘法分配律成为小学生学习的难点和易错點。如何突破乘法分配律的教学难点，让学生理解其算理，让学生灵活地掌握解决此类问题的方法，笔者认为，借用点子图的直观，可以让学生理解并掌握。如图3所示：
先把每一行的12个点子分成两个部分，即2个点和10个点，横着看，每一行都是（2 10），共有5行，求总共的点子数，可以列式（2 10）×5个。再竖着看，分成左右两个部分，左边点子数是5个2，即（2×5）个，右边点子数是5个10，即（10×5）个，总共的点子数就是2×5 10×5。不管从哪个角度看，不管用哪种方法算，数量的多少没有变，即：（2 10）×5=2×5 10×5。
由此扩展、推广，进行更多的验证，从特殊到一般，进行归纳总结，得出一般式：（a b）×c=a×c b×c。
在这个过程中，以点子图作为支撑，采用数形结合的思想，加深对“量不变”这一本质的理解，利用学生已有的知识经验和对图形的敏感，真实、真正准确地把握了乘法分配律的算理和本质，突破学习难点。
借助点子图的直观，运用数形结合的思想，提供给学生支撑点，让学生有思维的源泉，他们就能在其中找到并理解知识的本质，既明白了联系，又凸显了区别，还能提升思维品质，让学生受益。
（作者单位：广东省深圳市南山区同乐学校）