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[摘 要] 高中数学教学是借助于数学知识培养学生思维的过程，关注思维的广度与深度，需要借助于教学经验. “正弦函数的性质与图象”在三角函数知识教学中有承上启下的作用，以之为例进行分析，可以发现培养学生思维广度与深度的有效途径.
[关键词] 数学教学；思维广度；思维深度；正弦函数
高中数学教学本质上是借助数学知识提升学生思维能力，进而促进学生数学素养提升的过程，在这个过程中，学生的思维是数学学习的保证，同时利用数学知识的构建来完善思维的缜密性等. 从教师教学的角度来看，研究教学中思维的广度与深度，就是抓住了教学的核心.
北师大版高中数学必修四中“正弦函数的性质与图象”上承三角函数中的周期现象、角的概念与推广、弧度制及正弦函数的定义等知识，下启余弦函数的图象与性质、正切函数及三角函数的简单应用等知识，具有显著的承上启下的特征，需要在教学中高度重视. 根据笔者的研究，该知识的教学如果能够在思维的广度与深度上做足文章，那这节课的教学就能起到深化原有知识认识的作用，同时还能让学生在后面的知识的学习中更多地发挥自己的自主性，从而促进自主学习更为有效地进行. 本文试从如下三个方面进行阐述.
基于教学经验的数学思维的广度与深度分析
思维的广度与深度一般来说有着严格的学术定义，因为思维本身就是教育心理学研究的重要内容，同时思维也是数学教师研究的核心概念之一，关于思维及其广度与深度研究的成果可谓是汗牛充栋，但是笔者不想过多地从学术定义的角度来阐述，而想从教学经验的角度来阐述，这样与实际教学的距离可能会更近一些. 当然，笔者会提醒自己不要经验化，或者说经验性的思维广度与深度理解不能脱离最基本的思维定义.
在“正弦函数的性质与图象”这课的教学中，北师大版的教材以“从单位圆看正弦函数的性质”来引入，笔者以为这是一个看似朴实实则有着相当的内涵的教学环节. 教材给出的是一个单位圆，然后根据正弦函数y=sinx的定义，“看出”正弦函数具有这样的一些性质：1. 正弦函数的定义域是全体实数；2. 最大值是1，而最小值是-1，值域是[-1，1]；3. 正弦函数是周期函数，其周期是2π；4. 在[0，2π]上单调性为：在0，上是增加的；在，π上是减少的，在，上是减少的，在，2π是增加的. 然后提出“思考交流”的要求：请根据正弦函数的定义，结合单位圆说明正弦函数具有上述性质的理由.
这样的教学设计充满了思维的含量，可以从广度与深度两个角度来分别阐述：从思维的广度来看，笔者在教学中发现学生在阅读这段教材的时候，感觉相对比较轻松，也就是说并不具有太大的思维难度，毕竟这些性质确定可以从单位圆上来发现，即使让学生结合单位圆去说明这些性质的理由，学生也大致上能够说个八九不离十. 但笔者将自己的教学经验做了一个对比，回想自己以前不是通过这种方式教学的情形. 以前曾经试过直接提出问题，让学生从定义域、值域、最大值、最小值、周期性、单调性等角度，去自主探究正弦函数的性质.在这样的问题驱动之下，学生的思维表现得与此有着较大的不同，学生会花费很长的时间去探究，这个探究过程是有些散乱的，因不同学生的思维切入口是不同的，有的学生会盯着正弦函数的表达式去想办法，有的学生则尝试通过图象、表格等去探究性质，还有的学生利用特殊值去尝试发现.
笔者就想：为什么在没有提出利用单位圆的情况下，学生的思维难以不约而同地从单位圆的角度来思考呢？这个问题实际上就是指向了学生的思维广度问题，一方面学生的发散思维表明不同学生的思维方向是不一样的，但同时对于单位圆的忽视也确实说明了学生的思维广度是不够的，笔者以为只有学生个体善于从不同角度对同一问题进行思考，才能具有思维的广度，而在不同思维切入点的对比中寻找到最佳方案，那才是广度之上的深度.
在本环节的学习中，从单位圆的角度结合正弦函数的定义来得出正弦函数的性质，应当是最为简洁的方案. 而进一步研究教学经验可以发现，如果给予学生足够的时间去比较优化，或者在教师做出适当的关于利用单位圆进行分析的前提下，学生就会自主发现单位圆在探究正弦函数性质中所能起到的作用. 而这也正是笔者近几年来采用的教学方式，即既不散乱地让学生去没有方向地寻找探究突破口，也不是直接将单位圆的方法告诉学生，而是让学生在自主探究的基础上，经过教师的适当提醒，然后去比较优化，以发现单位圆在此中存在的巨大价值. 这样的教学，实际上就达到了一定的思维深度.
实际教学中拓宽思维广度与深度的教学策略
从以上分析可以看出，高中数学教学中关注思维的广度与深度，是需要讲究策略的. 在上一点阐述的基础上，笔者再做一些梳理.
其一，尊重学生的自主性，是拓展思维广度与深度的唯一前提. 在教育中有一句经典名言，那就是“如果要将全部教育心理学归纳成一句话的话，那我将说，弄清学生知道什么并据此进行教学.” 教师如何才能知道学生已经知道了什么呢？笔者以为最佳的途径就是让学生自主去学习与探究，在学习与探究中暴露出他们的真实思维，教师一旦对此有了掌握，那么要拓宽学生思维的广度与深度就是相对容易的事情了. 在“正弦函数的图象”教学，北师大版的教材设计让学生画出[0，2π]上正弦函数的图象，然后利用正弦函数的周期性延伸到整个定义域上，具体的采用的是列表法，再描点得出图象. 实际教学中，笔者没有直接将这些步骤告诉学生，而是让学生先尝试自己去寻找方法，事实上绝大多数学生是可以想到图表法与描点法的，只是少数学生忽视了周期性而已，而也正是在此基础上教师稍加点拨，正弦函数的周期性性质反而可以在学生的思维中有更为深刻的印象.
其二，尊重学生的创造性，可有效突破学生原有的思维范围与水平.在教材中，为了进一步认识正弦函数的图象，教材设计在直角坐标x轴上的（-1，0）点左侧任作一单位圆（注意与前面单位圆的作用进行对应），然后通过在其上取一些特殊值（16等份），过各分点作x轴的垂线，于是就得到16个对应角，把这些角的正弦线向右平移，同样可以得到正弦函数的图象. 这样的方法在学生的思维中是没有原型的，因而就是一个拓宽学生思维广度与深度的极好机会. 实际教学中，笔者引导学生可以通过单位圆来完成正弦函数图象的建构，同时也提醒学生可以借助描点法的思路（描点法实际上就是利用特殊值的地位借助于图象平滑的性质完成的）. 教学经验表明，此时只要提醒学生可以将单位圆放到坐标系中，往往即可打开学生的思路.事实上，在学生探究结束之后，笔者借助于几何画板制成的动画，在多媒体中呈现一幅动态的根据单位圆生成正弦函数图象的过程时，学生此前思维中的一些难以衔接的地方迅速连贯，从而在学生的思维中构成一个完整的、动态的正弦函数生成的画面. 用学生的话说，自己在纸上画的图象是死的，而看到活的图象之后才感觉到正弦函数的图象是如此的神奇. 学生有这样的认识，实际上就是思维的深度与广度得到了拓宽.
其三，尊重学生思维的构建性，引导学生学会在总结中拓宽思维. 思维是一个神奇的东西，不仅体现在学习过程中，也体现在学习总结的过程中. 高中数学教学由于应试的原因，由于教学进度的原因，很少舍得花时间给学生去自行总结，这实际上制约了学生的思维发展，也导致学生所认知的数学学习就是无穷无尽地做题目. 事实上在学习过程中如果让学生去注意总结，那学生就可以完善自己思维的完整性，可以弥补当初思考中的一些不足，从而让思维能力更强，这实际上就满足了思维的深度与广度的培养要求. 在“正弦函数的性质与图象”教学中，笔者让学生反思“单位圆在构建正弦函数的性质与图象中的作用”这一问题，学生的思维就围绕单位圆在其中所起的作用，有效地回忆起了正弦函数性质与图象的得出过程，这个回忆过程相对于当时的探究而言，其具有完整性，同时又借助于单位圆这一个概念，完成全部知识的构建，实际上又扩大了学生的建构容量. 事实表明，通过这样的总结，学生很好地完善了本知识的结构，同时也在完善的过程中进一步认识到单位圆所起的作用，这对之后的余弦、正切等知识的学习也奠定了基础.
培养学生增加自身思维广度、深度的学习习惯
学生学习的过程严格来说是属于学生自己的，教师在其中只起到了辅助、引导的作用，这就意味着包括思维广度与深度的培养方面，需要着力于引导学生自己形成相关的习惯.
这样的教学认识，意味着最关键的一点，就是在教学中要善于赋予学生空余时间，要让学生有时间探究，有时间反思，有时间总结. 只有给足了时间，学生的思维才有可能在这些时间中自主打开（而不是用这些时间去完成教师布置的海量的习题），于是不同学生个体可以根据自己的实际情况去发现需要加工的地方. 由于学生个体差异性，故在统一赋时的前提下，不同学生的思维过程其实上是不一样的，但目标又是一样的，那就是拓宽思维. 只要做到这一点，学生的思维广度与深度一定能够得到培养.
[关键词] 数学教学；思维广度；思维深度；正弦函数
高中数学教学本质上是借助数学知识提升学生思维能力，进而促进学生数学素养提升的过程，在这个过程中，学生的思维是数学学习的保证，同时利用数学知识的构建来完善思维的缜密性等. 从教师教学的角度来看，研究教学中思维的广度与深度，就是抓住了教学的核心.
北师大版高中数学必修四中“正弦函数的性质与图象”上承三角函数中的周期现象、角的概念与推广、弧度制及正弦函数的定义等知识，下启余弦函数的图象与性质、正切函数及三角函数的简单应用等知识，具有显著的承上启下的特征，需要在教学中高度重视. 根据笔者的研究，该知识的教学如果能够在思维的广度与深度上做足文章，那这节课的教学就能起到深化原有知识认识的作用，同时还能让学生在后面的知识的学习中更多地发挥自己的自主性，从而促进自主学习更为有效地进行. 本文试从如下三个方面进行阐述.
基于教学经验的数学思维的广度与深度分析
思维的广度与深度一般来说有着严格的学术定义，因为思维本身就是教育心理学研究的重要内容，同时思维也是数学教师研究的核心概念之一，关于思维及其广度与深度研究的成果可谓是汗牛充栋，但是笔者不想过多地从学术定义的角度来阐述，而想从教学经验的角度来阐述，这样与实际教学的距离可能会更近一些. 当然，笔者会提醒自己不要经验化，或者说经验性的思维广度与深度理解不能脱离最基本的思维定义.
在“正弦函数的性质与图象”这课的教学中，北师大版的教材以“从单位圆看正弦函数的性质”来引入，笔者以为这是一个看似朴实实则有着相当的内涵的教学环节. 教材给出的是一个单位圆，然后根据正弦函数y=sinx的定义，“看出”正弦函数具有这样的一些性质：1. 正弦函数的定义域是全体实数；2. 最大值是1，而最小值是-1，值域是[-1，1]；3. 正弦函数是周期函数，其周期是2π；4. 在[0，2π]上单调性为：在0，上是增加的；在，π上是减少的，在，上是减少的，在，2π是增加的. 然后提出“思考交流”的要求：请根据正弦函数的定义，结合单位圆说明正弦函数具有上述性质的理由.
这样的教学设计充满了思维的含量，可以从广度与深度两个角度来分别阐述：从思维的广度来看，笔者在教学中发现学生在阅读这段教材的时候，感觉相对比较轻松，也就是说并不具有太大的思维难度，毕竟这些性质确定可以从单位圆上来发现，即使让学生结合单位圆去说明这些性质的理由，学生也大致上能够说个八九不离十. 但笔者将自己的教学经验做了一个对比，回想自己以前不是通过这种方式教学的情形. 以前曾经试过直接提出问题，让学生从定义域、值域、最大值、最小值、周期性、单调性等角度，去自主探究正弦函数的性质.在这样的问题驱动之下，学生的思维表现得与此有着较大的不同，学生会花费很长的时间去探究，这个探究过程是有些散乱的，因不同学生的思维切入口是不同的，有的学生会盯着正弦函数的表达式去想办法，有的学生则尝试通过图象、表格等去探究性质，还有的学生利用特殊值去尝试发现.
笔者就想：为什么在没有提出利用单位圆的情况下，学生的思维难以不约而同地从单位圆的角度来思考呢？这个问题实际上就是指向了学生的思维广度问题，一方面学生的发散思维表明不同学生的思维方向是不一样的，但同时对于单位圆的忽视也确实说明了学生的思维广度是不够的，笔者以为只有学生个体善于从不同角度对同一问题进行思考，才能具有思维的广度，而在不同思维切入点的对比中寻找到最佳方案，那才是广度之上的深度.
在本环节的学习中，从单位圆的角度结合正弦函数的定义来得出正弦函数的性质，应当是最为简洁的方案. 而进一步研究教学经验可以发现，如果给予学生足够的时间去比较优化，或者在教师做出适当的关于利用单位圆进行分析的前提下，学生就会自主发现单位圆在探究正弦函数性质中所能起到的作用. 而这也正是笔者近几年来采用的教学方式，即既不散乱地让学生去没有方向地寻找探究突破口，也不是直接将单位圆的方法告诉学生，而是让学生在自主探究的基础上，经过教师的适当提醒，然后去比较优化，以发现单位圆在此中存在的巨大价值. 这样的教学，实际上就达到了一定的思维深度.
实际教学中拓宽思维广度与深度的教学策略
从以上分析可以看出，高中数学教学中关注思维的广度与深度，是需要讲究策略的. 在上一点阐述的基础上，笔者再做一些梳理.
其一，尊重学生的自主性，是拓展思维广度与深度的唯一前提. 在教育中有一句经典名言，那就是“如果要将全部教育心理学归纳成一句话的话，那我将说，弄清学生知道什么并据此进行教学.” 教师如何才能知道学生已经知道了什么呢？笔者以为最佳的途径就是让学生自主去学习与探究，在学习与探究中暴露出他们的真实思维，教师一旦对此有了掌握，那么要拓宽学生思维的广度与深度就是相对容易的事情了. 在“正弦函数的图象”教学，北师大版的教材设计让学生画出[0，2π]上正弦函数的图象，然后利用正弦函数的周期性延伸到整个定义域上，具体的采用的是列表法，再描点得出图象. 实际教学中，笔者没有直接将这些步骤告诉学生，而是让学生先尝试自己去寻找方法，事实上绝大多数学生是可以想到图表法与描点法的，只是少数学生忽视了周期性而已，而也正是在此基础上教师稍加点拨，正弦函数的周期性性质反而可以在学生的思维中有更为深刻的印象.
其二，尊重学生的创造性，可有效突破学生原有的思维范围与水平.在教材中，为了进一步认识正弦函数的图象，教材设计在直角坐标x轴上的（-1，0）点左侧任作一单位圆（注意与前面单位圆的作用进行对应），然后通过在其上取一些特殊值（16等份），过各分点作x轴的垂线，于是就得到16个对应角，把这些角的正弦线向右平移，同样可以得到正弦函数的图象. 这样的方法在学生的思维中是没有原型的，因而就是一个拓宽学生思维广度与深度的极好机会. 实际教学中，笔者引导学生可以通过单位圆来完成正弦函数图象的建构，同时也提醒学生可以借助描点法的思路（描点法实际上就是利用特殊值的地位借助于图象平滑的性质完成的）. 教学经验表明，此时只要提醒学生可以将单位圆放到坐标系中，往往即可打开学生的思路.事实上，在学生探究结束之后，笔者借助于几何画板制成的动画，在多媒体中呈现一幅动态的根据单位圆生成正弦函数图象的过程时，学生此前思维中的一些难以衔接的地方迅速连贯，从而在学生的思维中构成一个完整的、动态的正弦函数生成的画面. 用学生的话说，自己在纸上画的图象是死的，而看到活的图象之后才感觉到正弦函数的图象是如此的神奇. 学生有这样的认识，实际上就是思维的深度与广度得到了拓宽.
其三，尊重学生思维的构建性，引导学生学会在总结中拓宽思维. 思维是一个神奇的东西，不仅体现在学习过程中，也体现在学习总结的过程中. 高中数学教学由于应试的原因，由于教学进度的原因，很少舍得花时间给学生去自行总结，这实际上制约了学生的思维发展，也导致学生所认知的数学学习就是无穷无尽地做题目. 事实上在学习过程中如果让学生去注意总结，那学生就可以完善自己思维的完整性，可以弥补当初思考中的一些不足，从而让思维能力更强，这实际上就满足了思维的深度与广度的培养要求. 在“正弦函数的性质与图象”教学中，笔者让学生反思“单位圆在构建正弦函数的性质与图象中的作用”这一问题，学生的思维就围绕单位圆在其中所起的作用，有效地回忆起了正弦函数性质与图象的得出过程，这个回忆过程相对于当时的探究而言，其具有完整性，同时又借助于单位圆这一个概念，完成全部知识的构建，实际上又扩大了学生的建构容量. 事实表明，通过这样的总结，学生很好地完善了本知识的结构，同时也在完善的过程中进一步认识到单位圆所起的作用，这对之后的余弦、正切等知识的学习也奠定了基础.
培养学生增加自身思维广度、深度的学习习惯
学生学习的过程严格来说是属于学生自己的，教师在其中只起到了辅助、引导的作用，这就意味着包括思维广度与深度的培养方面，需要着力于引导学生自己形成相关的习惯.
这样的教学认识，意味着最关键的一点，就是在教学中要善于赋予学生空余时间，要让学生有时间探究，有时间反思，有时间总结. 只有给足了时间，学生的思维才有可能在这些时间中自主打开（而不是用这些时间去完成教师布置的海量的习题），于是不同学生个体可以根据自己的实际情况去发现需要加工的地方. 由于学生个体差异性，故在统一赋时的前提下，不同学生的思维过程其实上是不一样的，但目标又是一样的，那就是拓宽思维. 只要做到这一点，学生的思维广度与深度一定能够得到培养.