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【摘要】问题是数学的心脏。学生问题意识的淡薄，不敢、不愿或不善于提出数学问题是目前数学教学中的普遍状况。要培养学生提出数学问题的能力，则要激活学生的问题意识，教会学生提出数学问题的策略性知识，使学生敢提、想提、乐提、多提、善提。
【关键词】数学；问题；提出问题；培养
【中图分类号】G622【文献标识码】A【文章编号】1001-4128（2011）04-0173-03
新一轮的教学改革的核心任务之一是培养学生的创新精神，而创新源于问题。创造、发明往往是在实践或理论中发现了问题，进而引发人们去探索解决问题。问题是数学的心脏，提出问题是数学活动的显著特点。爱因斯坦说过：“提出一个问题，往往比解决问题更重要。”可见科学家对提出问题的重视。因此作为数学教育工作者，如何在教学中培养学生的问题意识，提高学生提出数学问题的能力是一项迫切的任务。笔者在对目前教学状况分析的基础上，结合中学数学教学实践，进行了培养学生提出数学问题能力的探讨。
1 目前的教学状况
虽然新课改已如火如荼的进行了好几年，但在目前的数学教学课堂中仍然普遍存在学生问题意识的淡薄，不愿或不敢提出问题的现象。究其原因分析，主要有以下几种。
1.1 主观上，学生不愿或不敢提出问题，主要有以下几个因素。其一是学生怕在课堂上冒然提出问题，打断教师的正常教学秩序，引起教师的反感，被教师批评；其二是学生的自尊心比较强，怕提出的问题太简单或与课堂无关，被其他同学嘲笑打击；其三是即使学生有问题想提，但不知如何用清晰准确的语言表达出来；其四是学生胆小，缺乏提出问题的勇气，对提出问题有紧张感；其五是学生个人由于储备的知识和能力不够，根本无从可问。
1.2 教师忽视对学生问题意识的培养。教师习惯以自我为中心，以课本为中心，用自已对教学内容的理解化成的问题代替学生自我发现的问题，在课堂上只需要学生进行解答，不提倡或不喜欢学生提出问题，久而久之，学生的问题意识淡化了。
1.3 现在的数学教学状况普遍存在重数学结果，轻数学过程；重标准答案，轻潜力开发；重基础知识，轻实践活动的现象。教师在教学活动中，比较重视学生分析问题和解决问题的训练与培养，忽视提出问题的能力培养与训练，学生缺乏提出数学问题的策略性知识，从而使大多数学生不会提出数学问题。【sup】［5］【/sup】
为了培养学生提出问题的能力，教师不但要善于激发学生的问题意识，同时要教会学生提出问题的策略性知识。
2 创设各种有利条件，激发学生的问题意识
问题意识是指一个在认识活动中意识到的一些难以解决的疑惑问题时产生的怀疑、困惑、焦虑、探究的心理状态。心理学研究表明，问题意识是思维的起点，没有问题意识的思维是肤浅的、被动的，只有具备了问题意识，且随着问题意识的增强，会促使人的注意力高度集中，积极探索、思考，激活认知的冲动性和活跃性，发展求异思维和创造思维。
2.1 建立平等的师生关系，营造了民主合谐的教学氛围，使学生敢于提出问题。心理学研究表明，一个人只有在宽松、愉悦、感到心理安全的环境中才能最大限度地发挥其创造力。课堂不是教师个人表演的舞台，而是师生之间交往互动的舞台；课堂不是对学生训练的场所，而是引导学生发展的场所，同样，教学的过程也不应只是知识传递的过程，更应是师生情感交流、思想共鸣的过程。在新课改形势下，教师要积极进行角色的转变，由知识的占有者、传授者、解惑者向课堂的组织者、合作者、引导者转变，树立具有渊博知识和亲和力的人格形象，为学生营造一种宽松、民主、平等、自由、开放的教学氛围，让学生真正成为课堂的主人，体现学生的主体地位。教师鼓励的微笑、温和的教态、高度的热情、亲切的语言、饱满的精神、勇于坦率承认自己的不足，大大缩短了师生之间的心理距离，无不给学生心理上的安全自由，激发学生内心的自信，消除紧张、焦虑、恐怖的因素，使学生敢于张扬自己的个性，勇于提出问题。
2.2 创设丰富问题情境，激发学生的学习兴趣，使学生想提出问题。问题总是在一定的情境中产生的。数学问题情境指一个人在进行数学活动中遇到的对某种数学知识或数学方法不理解、不清楚的情境，它是数学知识产生的背景，有利于激发人的学习兴趣，促使人积极思考、探索。数学问题往往来源于生活、生产实际，又为生活、生产实际服务。因此教师善于从学生熟悉的生活环境中、从学生感兴趣的知识背景中为学生创设有知识性、趣味性、挑战性的问题情境，引起学生的认知冲突，新旧知识结构的失调，使学生处于心欲求而不得，口欲言而不能的“愤悱”状态，激发学生质疑提问的兴趣，引发提出问题→解决问题→再发现提出问题的良性循环。例如在学习“平面与平面的垂直关系”中，提出“为什么一扇门不管开到什么位置，它总是与地面垂直的？”；“如何在河岸边的某地建造一个水泵站，使得到河岸的同侧的两个村庄所用的水管最短？”。
2.3 让学生体验到提出问题的成功喜悦，激发学生乐于提出问题。心理学研究表明，一个人只要体验到一次成功的喜悦，便会激起无休止的追求和力量。问题来自于学生，是体现学生真正要变“要我解决问题”为“我要解决问题”的积极主动的心态。教师要认真对待学生提出的每一个问题，不要以时间不够而搪塞过去，不要以工作太忙而不去考虑，要认真解答学生的每一个问题，让学生意识到他们的问题在教师的眼里是有价值的。对提出有独特性、有个人见解问题的学生，教师要大力赞赏，鼓励其进一步探索，勇于大胆创新；对不善于提出问题的学生，一旦提出问题，教师要善于抓住机会，耐心帮助理清思路，抓住关键点给予点拨；对胆小没有勇气提出问题的学生，要鼓励其尝试从最简单的问题出发。教师要毫不吝啬地用“你的问题很有价值，你的问题很有针对性，我很欣赏你提出的这个问题，你能提出这个问题真不简单”等等赞誉之词，恰当地对每一类学生进行评价，不仅会使学生得到心理上的满足，而且会激发学生更强烈的欲望。学生的每一次提问的成功体验，将成为其下一个问题提出的动力。
2.4 优化课堂组织形式，给学生充足的时间和空间，使学生能多提出问题。传统的课堂组织形式，主要是教师提问，学生回答，当然也有学生提问，教师解答，但由于受时间、空间等各种因素的影响，学生提问的机会与所问的问题均不多，所以教师要适当改变课堂的组织形式，可实行分组教学和合作学习，给学生充分的时间和空间，在小组内、小组间提出问题，互问互答，逐步深入理解知识，对各小组仍有疑问的题，则可向教师提问，由教师解答。当然，教师也可以提出学生未想到的问题，由学生讨论解答。为了更好的激发学生的提出问题的热情，可采取期末成绩由考试成绩与平时课堂表现挂钩的评价方式，课堂学习成绩占一定的比例，每个学习小组的表现占一定的比例，评出每课谁提出了“最有价值的问题”，给予适当表扬奖励，这样激励学生能有问题则问，且能尽可能多地提出問题。
3 教会学生提出数学问题的策略性知识，培养学生提出问题的能力
为了使学生提出问题时更有目的性、探索性和科学性，教师有必要教会学生提出数学问题的一些策略性知识。策略性的数学知识指的是关于如何获取数学知识的知识，它侧重于知识学习过程的数学思想方法【sup】［5］【/sup】。提出数学问题常用的方法有否定假设法、扩大成果法、改编题目法、归纳猜想法、逆向思考法等。
3.1 否定假设法:否定假设法指对所研究对象的属性进行逐一的否定，从而猜想其发生了什么变化，可能得到什么结论的一种方法。它是提出数学问题的一般方法。具体操作是先确定研究对象，然后对研究对象进行分析，列举出它的各个属性，再就每一个属性进行否定，“如果这一属性不是这样的话，那么它可能是什么样”，由可能性提出问题。例如，在学习同底数幂的除法时得到法则“a【sup】m【/sup】÷a【sup】n【/sup】a【sup】m-n【/sup】（m,n为整数，且m>n,a≠0）”后，对属性指数 进行否定，如果mn，那么a【sup】0【/sup】有意义吗？如果有，那它等于什么？如果m
3.2 扩大成果法:扩大成果法指观察所得到的结论、公式、法则、定理，运用归纳、分析、猜想的方法进行推广、引申得出更一般的规律或事实的一种方法。可以通过引导学生从有限扩大到无限，从低维扩大到高维，从特殊扩大到一般，从低次扩大到高次来提出问题。数学上有很多结论、法则、定理就是通过扩大引申而得到的。
例如：已知：a>0,b>0，求证：
证毕，启发学生进行推广提出问题：
推广一：（个数推广）
对a【sub】i【/sub】>0，（i1,2,3,…,n）,求证：
推广二：（指数推广）
对a【sub】i【/sub】>0，（i1,2,3,4,…,n）,且m,n∈N，有
推广三：（系数推广）
对a【sub】i【/sub】>0，（i1,2,3,…n）且m,n∈N，若++…+1，则
++…+++…+［3］
3.3 改编题目法:改编题目法指指通过改变一道题目中的某一个条件，看看结论可以发生哪些变化；或者改变结论，看看条件需要如何满足才能得到相应的结论，从而提出问题的一种方法。该方法常常被教师用来训练学生的多向思维。学生通过对一道题目的改编来提出问题，能充分理解知识之间的逻辑联系，体验到提出问题的愉快感。
例如：（原题目）已知：在等腰△ABC中，D、E分别是AC、AB的中点（如图1）求证：BD＝CE
（1）改變条件：D、E分别是AC、AB的中点
问题1 已知：在等腰△ABC中，∠B、∠C的平分线交AC于点D，交AB于点E（如图2）
求证：BD＝CE
问题2 已知：在等腰△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足为D、E（如图3）
求证：BD＝CE
（2）改变条件：等腰△ABC
问题3 在正方形ABCD中，从D点分别引AB、BC的中线DE、DF（如图4）
求证：DE＝DF
（2）改变结论：BD＝CE
问题4 已知：在等腰△ABC中，BD、CE分别是AC、AB的中线相交于点F（如图5）
求证：△BCF是等腰三角形
问题5 已知：在等腰△ABC中，BD、CE分别是AC、AB的中线相交于点F（如图6）
求证：∠DBC＝∠ECB
3.4 归纳猜想法指对所研究的对象的一定数量的个例、特例，进行观察分析，找出其规律，进而猜想该研究对象的一般情况下所具有的规律的一种方法。这是一种从特殊到一般的思维形式，它从具体的问题情境入手，先列举出简单的情况，经过观察分析、猜想、归纳，形成普遍的命题，然后给予证明。猜想具有一定的科学性和一定的推测性，是以某些已知的事实和一定的经验为依据的，它不是盲目的，它是一种合情推理。例如：
（a+b）【sup】2【/sup】a【sup】2【/sup】+2ab+b【sup】2【/sup】
（a+b）【sup】3【/sup】a【sup】3【/sup】+3a【sup】2【/sup】b+3ab【sup】2【/sup】+b【sup】3【/sup】
（a+b）【sup】4【/sup】a【sup】4【/sup】+4a【sup】3【/sup】b+6a【sup】2【/sup】b【sup】2【/sup】+4ab【sup】3【/sup】+b【sup】4【/sup】
（a+b）【sup】5【/sup】a【sup】5【/sup】+5a【sup】4【/sup】b+10a【sup】3【/sup】b【sup】2【/sup】+10a【sup】2【/sup】b【sup】3【/sup】+5a【sup】2【/sup】b【sup】3【/sup】+5ab【sup】4【/sup】+b【sup】5【/sup】
…
引导学生观察各个式子的特点，从各项的次数、系数、项数去考虑，讨论提出问题。
不难发现，它们是有规律的：（1）右边的项数总比左边的次数多1；（2）右边各项的次数与左边的次数相等，且a的次数依次递减，b的次数依次递增，a与b的次数和刚好等于左边的次数；（3）右边展开式中第1项的次数是都是1，其他各项的系数依次等于以二次项式的次数为元素总数而每次取1，2，3，…个元素的组合数。如果规定：C【sup】0【/sup】【sub】n【/sub】1，那么不难得出下列结论：
（a+b）【sup】n【/sup】C【sup】0【/sup】【sub】n【/sub】a【sup】n【/sup】+C【sup】1【/sup】【sub】n【/sub】a【sup】n-1【/sup】b+C【sup】2【/sup】【sub】n【/sub】a【sup】n-2【/sup】b【sup】2【/sup】+…+C【sup】m【/sup】【sub】n【/sub】a【sup】m【/sup】b【sup】n-m【/sup】+…+c【sup】n【/sup】【sub】n【/sub】b【sup】n【/sup】
这就是著名的牛顿二次项定理。
3.5 逆向思考法:逆向思考法指对所研究的对象从反方向进行思考的一种方法，它往往通过思考一个命题的逆命题是什么？否命题是什么？是真命题或假命题？一个公式或一个法则是否可逆用？
例如：在初中阶段学生对勾股定理很熟悉，即在Rt△ABC中，a,b为直角边，c为斜边，有a【sup】2【/sup】+b【sup】2【/sup】c【sup】2【/sup】，反之问：“如果在△ABC，有a【sup】2【/sup】+b【sup】2【/sup】c【sup】2【/sup】，这个三角形是什么三角形？”通过学生的反问，得出新的问题，经证明它是真命题，这就是勾股定理的逆定理。为了引出高中阶段学习的余弦定理时，可以引导学生进行反向思考提问：在△ABC，如果a【sup】2【/sup】+b【sup】>【/sup】c【sup】2【/sup】，这个三角形是什么三角形？如果a【sup】2【/sup】+b【sup】2【/sup】 “发明千千万，起点是一问”。真正有意义有价值的问题是由学生提出的，是学生积极思考的结果。正如此，一些专家指出：教学的成败，不在于教师讲了多少知识，而在于学生提了多少个为什么；不在于学生从课本接受了多少知识，而在于学生质疑、评判了多少什么……。因此，在教学中，教师也要不断提高自己提出问题的能力和水准，积极培养学生的问题意识，为学生敢问、想问、乐问、多问、善问创造条件，提高学生提出问题的能力，进而培养更多有创新意识和创造才能的人才。
参考文献
［1］ 郑金洲.教育碎思［M］. 上海.华东师范大学出版社.2004.10
［2］ 任樟辉.数学思维论［M］.广西.广西师范大学出版社.1996.12
［3］ 郑毓信,肖柏荣,熊萍.数学思维与数学方法论［M］.四川.四川教育出版社.2001.4
［4］ 何世峰.关于数学问题情境的认识与思考［J］.巢湖学院学报.2006第8卷第3期
［5］ 任伯许,王春玲,国洪文.数学教学中学生问题意识的培养［J］.泰山学院学报.2006.5
［6］ 吕传汉,汪秉彝.论“中小学数学情境与提出问题”数学学习［J］.数学教育学报.2001.11
［7］ 欧健.对学生自已提出问题的几点思考［J］.中学数学教学参考.2001.6
［8］ 曾小平, 吕传汉,汪秉彝.初中生提出数学问题的现状与对策［J］.2006.8
【关键词】数学；问题；提出问题；培养
【中图分类号】G622【文献标识码】A【文章编号】1001-4128（2011）04-0173-03
新一轮的教学改革的核心任务之一是培养学生的创新精神，而创新源于问题。创造、发明往往是在实践或理论中发现了问题，进而引发人们去探索解决问题。问题是数学的心脏，提出问题是数学活动的显著特点。爱因斯坦说过：“提出一个问题，往往比解决问题更重要。”可见科学家对提出问题的重视。因此作为数学教育工作者，如何在教学中培养学生的问题意识，提高学生提出数学问题的能力是一项迫切的任务。笔者在对目前教学状况分析的基础上，结合中学数学教学实践，进行了培养学生提出数学问题能力的探讨。
1 目前的教学状况
虽然新课改已如火如荼的进行了好几年，但在目前的数学教学课堂中仍然普遍存在学生问题意识的淡薄，不愿或不敢提出问题的现象。究其原因分析，主要有以下几种。
1.1 主观上，学生不愿或不敢提出问题，主要有以下几个因素。其一是学生怕在课堂上冒然提出问题，打断教师的正常教学秩序，引起教师的反感，被教师批评；其二是学生的自尊心比较强，怕提出的问题太简单或与课堂无关，被其他同学嘲笑打击；其三是即使学生有问题想提，但不知如何用清晰准确的语言表达出来；其四是学生胆小，缺乏提出问题的勇气，对提出问题有紧张感；其五是学生个人由于储备的知识和能力不够，根本无从可问。
1.2 教师忽视对学生问题意识的培养。教师习惯以自我为中心，以课本为中心，用自已对教学内容的理解化成的问题代替学生自我发现的问题，在课堂上只需要学生进行解答，不提倡或不喜欢学生提出问题，久而久之，学生的问题意识淡化了。
1.3 现在的数学教学状况普遍存在重数学结果，轻数学过程；重标准答案，轻潜力开发；重基础知识，轻实践活动的现象。教师在教学活动中，比较重视学生分析问题和解决问题的训练与培养，忽视提出问题的能力培养与训练，学生缺乏提出数学问题的策略性知识，从而使大多数学生不会提出数学问题。【sup】［5］【/sup】
为了培养学生提出问题的能力，教师不但要善于激发学生的问题意识，同时要教会学生提出问题的策略性知识。
2 创设各种有利条件，激发学生的问题意识
问题意识是指一个在认识活动中意识到的一些难以解决的疑惑问题时产生的怀疑、困惑、焦虑、探究的心理状态。心理学研究表明，问题意识是思维的起点，没有问题意识的思维是肤浅的、被动的，只有具备了问题意识，且随着问题意识的增强，会促使人的注意力高度集中，积极探索、思考，激活认知的冲动性和活跃性，发展求异思维和创造思维。
2.1 建立平等的师生关系，营造了民主合谐的教学氛围，使学生敢于提出问题。心理学研究表明，一个人只有在宽松、愉悦、感到心理安全的环境中才能最大限度地发挥其创造力。课堂不是教师个人表演的舞台，而是师生之间交往互动的舞台；课堂不是对学生训练的场所，而是引导学生发展的场所，同样，教学的过程也不应只是知识传递的过程，更应是师生情感交流、思想共鸣的过程。在新课改形势下，教师要积极进行角色的转变，由知识的占有者、传授者、解惑者向课堂的组织者、合作者、引导者转变，树立具有渊博知识和亲和力的人格形象，为学生营造一种宽松、民主、平等、自由、开放的教学氛围，让学生真正成为课堂的主人，体现学生的主体地位。教师鼓励的微笑、温和的教态、高度的热情、亲切的语言、饱满的精神、勇于坦率承认自己的不足，大大缩短了师生之间的心理距离，无不给学生心理上的安全自由，激发学生内心的自信，消除紧张、焦虑、恐怖的因素，使学生敢于张扬自己的个性，勇于提出问题。
2.2 创设丰富问题情境，激发学生的学习兴趣，使学生想提出问题。问题总是在一定的情境中产生的。数学问题情境指一个人在进行数学活动中遇到的对某种数学知识或数学方法不理解、不清楚的情境，它是数学知识产生的背景，有利于激发人的学习兴趣，促使人积极思考、探索。数学问题往往来源于生活、生产实际，又为生活、生产实际服务。因此教师善于从学生熟悉的生活环境中、从学生感兴趣的知识背景中为学生创设有知识性、趣味性、挑战性的问题情境，引起学生的认知冲突，新旧知识结构的失调，使学生处于心欲求而不得，口欲言而不能的“愤悱”状态，激发学生质疑提问的兴趣，引发提出问题→解决问题→再发现提出问题的良性循环。例如在学习“平面与平面的垂直关系”中，提出“为什么一扇门不管开到什么位置，它总是与地面垂直的？”；“如何在河岸边的某地建造一个水泵站，使得到河岸的同侧的两个村庄所用的水管最短？”。
2.3 让学生体验到提出问题的成功喜悦，激发学生乐于提出问题。心理学研究表明，一个人只要体验到一次成功的喜悦，便会激起无休止的追求和力量。问题来自于学生，是体现学生真正要变“要我解决问题”为“我要解决问题”的积极主动的心态。教师要认真对待学生提出的每一个问题，不要以时间不够而搪塞过去，不要以工作太忙而不去考虑，要认真解答学生的每一个问题，让学生意识到他们的问题在教师的眼里是有价值的。对提出有独特性、有个人见解问题的学生，教师要大力赞赏，鼓励其进一步探索，勇于大胆创新；对不善于提出问题的学生，一旦提出问题，教师要善于抓住机会，耐心帮助理清思路，抓住关键点给予点拨；对胆小没有勇气提出问题的学生，要鼓励其尝试从最简单的问题出发。教师要毫不吝啬地用“你的问题很有价值，你的问题很有针对性，我很欣赏你提出的这个问题，你能提出这个问题真不简单”等等赞誉之词，恰当地对每一类学生进行评价，不仅会使学生得到心理上的满足，而且会激发学生更强烈的欲望。学生的每一次提问的成功体验，将成为其下一个问题提出的动力。
2.4 优化课堂组织形式，给学生充足的时间和空间，使学生能多提出问题。传统的课堂组织形式，主要是教师提问，学生回答，当然也有学生提问，教师解答，但由于受时间、空间等各种因素的影响，学生提问的机会与所问的问题均不多，所以教师要适当改变课堂的组织形式，可实行分组教学和合作学习，给学生充分的时间和空间，在小组内、小组间提出问题，互问互答，逐步深入理解知识，对各小组仍有疑问的题，则可向教师提问，由教师解答。当然，教师也可以提出学生未想到的问题，由学生讨论解答。为了更好的激发学生的提出问题的热情，可采取期末成绩由考试成绩与平时课堂表现挂钩的评价方式，课堂学习成绩占一定的比例，每个学习小组的表现占一定的比例，评出每课谁提出了“最有价值的问题”，给予适当表扬奖励，这样激励学生能有问题则问，且能尽可能多地提出問题。
3 教会学生提出数学问题的策略性知识，培养学生提出问题的能力
为了使学生提出问题时更有目的性、探索性和科学性，教师有必要教会学生提出数学问题的一些策略性知识。策略性的数学知识指的是关于如何获取数学知识的知识，它侧重于知识学习过程的数学思想方法【sup】［5］【/sup】。提出数学问题常用的方法有否定假设法、扩大成果法、改编题目法、归纳猜想法、逆向思考法等。
3.1 否定假设法:否定假设法指对所研究对象的属性进行逐一的否定，从而猜想其发生了什么变化，可能得到什么结论的一种方法。它是提出数学问题的一般方法。具体操作是先确定研究对象，然后对研究对象进行分析，列举出它的各个属性，再就每一个属性进行否定，“如果这一属性不是这样的话，那么它可能是什么样”，由可能性提出问题。例如，在学习同底数幂的除法时得到法则“a【sup】m【/sup】÷a【sup】n【/sup】a【sup】m-n【/sup】（m,n为整数，且m>n,a≠0）”后，对属性指数 进行否定，如果mn，那么a【sup】0【/sup】有意义吗？如果有，那它等于什么？如果m
例如：已知：a>0,b>0，求证：
证毕，启发学生进行推广提出问题：
推广一：（个数推广）
对a【sub】i【/sub】>0，（i1,2,3,…,n）,求证：
推广二：（指数推广）
对a【sub】i【/sub】>0，（i1,2,3,4,…,n）,且m,n∈N，有
推广三：（系数推广）
对a【sub】i【/sub】>0，（i1,2,3,…n）且m,n∈N，若++…+1，则
++…+++…+［3］
3.3 改编题目法:改编题目法指指通过改变一道题目中的某一个条件，看看结论可以发生哪些变化；或者改变结论，看看条件需要如何满足才能得到相应的结论，从而提出问题的一种方法。该方法常常被教师用来训练学生的多向思维。学生通过对一道题目的改编来提出问题，能充分理解知识之间的逻辑联系，体验到提出问题的愉快感。
例如：（原题目）已知：在等腰△ABC中，D、E分别是AC、AB的中点（如图1）求证：BD＝CE
（1）改變条件：D、E分别是AC、AB的中点
问题1 已知：在等腰△ABC中，∠B、∠C的平分线交AC于点D，交AB于点E（如图2）
求证：BD＝CE
问题2 已知：在等腰△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足为D、E（如图3）
求证：BD＝CE
（2）改变条件：等腰△ABC
问题3 在正方形ABCD中，从D点分别引AB、BC的中线DE、DF（如图4）
求证：DE＝DF
（2）改变结论：BD＝CE
问题4 已知：在等腰△ABC中，BD、CE分别是AC、AB的中线相交于点F（如图5）
求证：△BCF是等腰三角形
问题5 已知：在等腰△ABC中，BD、CE分别是AC、AB的中线相交于点F（如图6）
求证：∠DBC＝∠ECB
3.4 归纳猜想法指对所研究的对象的一定数量的个例、特例，进行观察分析，找出其规律，进而猜想该研究对象的一般情况下所具有的规律的一种方法。这是一种从特殊到一般的思维形式，它从具体的问题情境入手，先列举出简单的情况，经过观察分析、猜想、归纳，形成普遍的命题，然后给予证明。猜想具有一定的科学性和一定的推测性，是以某些已知的事实和一定的经验为依据的，它不是盲目的，它是一种合情推理。例如：
（a+b）【sup】2【/sup】a【sup】2【/sup】+2ab+b【sup】2【/sup】
（a+b）【sup】3【/sup】a【sup】3【/sup】+3a【sup】2【/sup】b+3ab【sup】2【/sup】+b【sup】3【/sup】
（a+b）【sup】4【/sup】a【sup】4【/sup】+4a【sup】3【/sup】b+6a【sup】2【/sup】b【sup】2【/sup】+4ab【sup】3【/sup】+b【sup】4【/sup】
（a+b）【sup】5【/sup】a【sup】5【/sup】+5a【sup】4【/sup】b+10a【sup】3【/sup】b【sup】2【/sup】+10a【sup】2【/sup】b【sup】3【/sup】+5a【sup】2【/sup】b【sup】3【/sup】+5ab【sup】4【/sup】+b【sup】5【/sup】
…
引导学生观察各个式子的特点，从各项的次数、系数、项数去考虑，讨论提出问题。
不难发现，它们是有规律的：（1）右边的项数总比左边的次数多1；（2）右边各项的次数与左边的次数相等，且a的次数依次递减，b的次数依次递增，a与b的次数和刚好等于左边的次数；（3）右边展开式中第1项的次数是都是1，其他各项的系数依次等于以二次项式的次数为元素总数而每次取1，2，3，…个元素的组合数。如果规定：C【sup】0【/sup】【sub】n【/sub】1，那么不难得出下列结论：
（a+b）【sup】n【/sup】C【sup】0【/sup】【sub】n【/sub】a【sup】n【/sup】+C【sup】1【/sup】【sub】n【/sub】a【sup】n-1【/sup】b+C【sup】2【/sup】【sub】n【/sub】a【sup】n-2【/sup】b【sup】2【/sup】+…+C【sup】m【/sup】【sub】n【/sub】a【sup】m【/sup】b【sup】n-m【/sup】+…+c【sup】n【/sup】【sub】n【/sub】b【sup】n【/sup】
这就是著名的牛顿二次项定理。
3.5 逆向思考法:逆向思考法指对所研究的对象从反方向进行思考的一种方法，它往往通过思考一个命题的逆命题是什么？否命题是什么？是真命题或假命题？一个公式或一个法则是否可逆用？
例如：在初中阶段学生对勾股定理很熟悉，即在Rt△ABC中，a,b为直角边，c为斜边，有a【sup】2【/sup】+b【sup】2【/sup】c【sup】2【/sup】，反之问：“如果在△ABC，有a【sup】2【/sup】+b【sup】2【/sup】c【sup】2【/sup】，这个三角形是什么三角形？”通过学生的反问，得出新的问题，经证明它是真命题，这就是勾股定理的逆定理。为了引出高中阶段学习的余弦定理时，可以引导学生进行反向思考提问：在△ABC，如果a【sup】2【/sup】+b【sup】>【/sup】c【sup】2【/sup】，这个三角形是什么三角形？如果a【sup】2【/sup】+b【sup】2【/sup】
参考文献
［1］ 郑金洲.教育碎思［M］. 上海.华东师范大学出版社.2004.10
［2］ 任樟辉.数学思维论［M］.广西.广西师范大学出版社.1996.12
［3］ 郑毓信,肖柏荣,熊萍.数学思维与数学方法论［M］.四川.四川教育出版社.2001.4
［4］ 何世峰.关于数学问题情境的认识与思考［J］.巢湖学院学报.2006第8卷第3期
［5］ 任伯许,王春玲,国洪文.数学教学中学生问题意识的培养［J］.泰山学院学报.2006.5
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