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习题课是数学教学形式之一,通过习题课的教学,可以帮助学生巩固基础知识,深化基本技巧和方法;消除平时学习过程中存在的困惑,纠正存在的问题;梳理知识结构,完善知识系统,达到培养学生的数学思维能力的目标。因此,能否上好习题课非常重要,我认为要做到以下五点。
一、选题要精化
数学家G.波利亚说:“一个专心的认真备课的教师能够拿出一个有意义的但不复杂的题目,去帮助学生发掘问题的各个方面,使得通过这道题,就好像通过了一道门户,把学生引入一个完整的理论领域。”习题课不是题目讲得越多就越好,也不是让学生做得越多就越好,而是要精讲精练,以最少的教学投入,获取最大的教学成果。因此教师在编选习题时要做到以下几点:首先,要吃透教材的重点和难点,把握教学目的和要求。同时要研究学生的学习层次和理解程度,只有吃透了教与学两头,选题才有针对性。第二,选题要着眼于基础知识和基本方法,避免繁琐的运算量,把有限的时间用在“刀刃”上,真正发挥习题课的功能。第三,选题要注重在解题思路和方法上具有典型性,在知识转化为能力上具有代表性。
二、例题讲解要变化
心理学家布鲁纳说:“探索是教学的生命线。”对例题进行分析和解答后,应注意发挥例题以点带面的功能。有意识地将例题的已知和结论进行多方位的演变延伸,挖掘问题的内涵和外延,以点带线,形成“题链”,这不仅可以得到一系列的新题,沟通知识间的相互联系,更重要的是可培养学生在解决问题的同时提出新问题的良好品质,促进创造性思维的发展。
例:p是抛物线y2=8x上的动点,A(1,2)是定点,F为抛物线的焦点,求PF+PA的最小值。
分析:连接PA、PF,过P作PB垂直准线x=-2,垂足为B,由抛物线的定义,则PF=PB,PF+PA=PB+PA≥BA,当且仅当A、P、B三点共线时,取得最小值|AB|=3。
变式1:已知p是抛物线y2=4x上的动点,A(0,2)是定点,F为抛物线的焦点,记P到准线的距离为d,求d+PA的最小值。
变式2:一动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆恒与直线x+2=0相切,求证:动圆恒过定点,并求定点坐标。
通过两道变式的深入,学生对抛物线定义的理解更加深刻。同时,拓宽了学生的视野,逐步加深对问题的理解,提高了分析问题和解决问题的能力。
三、解题思路要优化
以例题作为引子,引导学生从不同的角度和方位进行思考,借此尽可能让学生想出多种解题思路和方法,并引导学生进行归纳和比较,从中找出常规的通用的解决问题的方法,以达到解题思路的最优化。
这三种解法都是利用了均值定理,解法1从函数角度考虑,利用统一思想,化多元为一元,达到解题的目的。对培养学生用函数思想的应用有好处。解法2从三角知识的角度出发,利用换元思想,达到解题目的,是一种很重要的常规方法。解法3巧妙利用已知条件“1”,开阔了学生的视野,有利于培养学生的探索能力。通过对三种解法的比较,提炼出各种解法意义,从而达到优化解题思路的目的,同时又培养了学生思维的发散性和灵活性。
四、知识归类网络化
法国数学家笛卡儿说过:“我们解决的每一个问题,将成为一个模式,以用于解决其他问题。”根据考查同一知识点的需要,可以从不同的角度,结合不同的模型作出多种命题。所以许多问题表面存在差异,但本质结构是相同的,它们都有着共同的解题规律,可称之为同类题。习题课中应挑选代表性的习题进行讲练,以达到举一反三的效果,锻炼学生思维的敏捷性。同时又要引导学生将习题进行归类,并集中精力解决同类问题中的本质问题,总结出这一类问题的解决方法和规律。不同类的问题对应不同的方法和规律,形成解题网络。从而达到解一题会一类,以少胜多的目的。
例1:将一个四棱锥的每个顶点染上同一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,如果只有五种颜色可供使用,共有多少种不同的染色方法。
分析:常规解法对点讨论,本例借助数列递推公式解答。逐一考虑每一个的染色方法,A、B、C三点有A53,记作a3=A53,D点与A、C点不同,有3种方法,E先只考虑与A、D不同,也有3种方法按照乘法原理,共有A53*32种方法,但在这个计算中E包含了两种情况,第一,E与B不同色,记为a5,第二,E与B同色,则相当于A、B、C、D四点染色,记为a4,所以得:a5+a4=A53*32,同理,D点染色即为a4+a3=A53*3,解得a5=420。
2.一个地区分为五个行政区域(右图椭圆形区域),现给地图着色要求相邻区域不得使用相同颜色,现有四种颜色可供选择,则不同的着色方法共有种。
分析:初看这是不同的题目:区域染色,没有什么共同的结构。实质它们有两个共同的约束条件:第一,对象相邻与不相邻的关系;第二,多少种颜色或植物供选择,去掉文字的实质意义,它们就是数学分类的直观描述,多少种颜色就是分多少类。例2中的五个区域看作五个点,相邻区域就在对应点之间连一条线段,不相邻区域就不连线段。如:例2图可变为五个行政区域用五个点1、2、3、4、5表示,顶点1、2、3涂色方案有a3=A43种,顶点4有两种涂色方法,顶点5先只考虑与顶点4不同,也有两种涂色方法,按照乘法原理共有A43*22种,但这包含了两种情况:顶点5与顶点2不同色,记作a5,顶点5与顶点2同色,则顶点5与顶点2合并为顶点2,则相当于顶点1、2、3、4涂色,记作a4,所以a5+a4=A43*22,依次,a4+a3=A43*21,求得a5=72。
五、课堂参与互动化
在习题课教学中,教师切忌“一言堂”“满堂灌”,要善于营造宽松、活泼的思考氛围,努力为学生创设活动的机会,最大限度地调动学生参与的积极性,发挥学生的主体作用。
第一,要让学生想。一方面,问题的关键处要让学生想,另一方面,要提出问题促使学生去想。要鼓励学生大胆地说出自己的想法,不要怕学生走弯路,即使是错误的想法也是有益的。这样正好暴露出其错误,对于真正搞懂问题的本质是非常有益的。
第二,要让学生练。练的重点是问题的分析和解决方法,而不是具体的运算。一道例题给出后,教师不要急于读题解题,让学生先读再想后练。教师通过巡视,查看学生练的情况,或提问学生对题目的分析情况,看看学生是否理解了题意,是否找到切入点,在什么地方卡住了,对总体情况有了了解后,再进行讲评,就会有的放矢,效果更佳。
第三,启发要及时、适度。一定要先让学生进入解题状态后,通过观察学生的表情或问一问,探探学生的虚实,揣摩学生的思维动向,寻找启发的最佳时机和着眼点。
作者单位:江苏张家港市南丰中学数学组
一、选题要精化
数学家G.波利亚说:“一个专心的认真备课的教师能够拿出一个有意义的但不复杂的题目,去帮助学生发掘问题的各个方面,使得通过这道题,就好像通过了一道门户,把学生引入一个完整的理论领域。”习题课不是题目讲得越多就越好,也不是让学生做得越多就越好,而是要精讲精练,以最少的教学投入,获取最大的教学成果。因此教师在编选习题时要做到以下几点:首先,要吃透教材的重点和难点,把握教学目的和要求。同时要研究学生的学习层次和理解程度,只有吃透了教与学两头,选题才有针对性。第二,选题要着眼于基础知识和基本方法,避免繁琐的运算量,把有限的时间用在“刀刃”上,真正发挥习题课的功能。第三,选题要注重在解题思路和方法上具有典型性,在知识转化为能力上具有代表性。
二、例题讲解要变化
心理学家布鲁纳说:“探索是教学的生命线。”对例题进行分析和解答后,应注意发挥例题以点带面的功能。有意识地将例题的已知和结论进行多方位的演变延伸,挖掘问题的内涵和外延,以点带线,形成“题链”,这不仅可以得到一系列的新题,沟通知识间的相互联系,更重要的是可培养学生在解决问题的同时提出新问题的良好品质,促进创造性思维的发展。
例:p是抛物线y2=8x上的动点,A(1,2)是定点,F为抛物线的焦点,求PF+PA的最小值。
分析:连接PA、PF,过P作PB垂直准线x=-2,垂足为B,由抛物线的定义,则PF=PB,PF+PA=PB+PA≥BA,当且仅当A、P、B三点共线时,取得最小值|AB|=3。
变式1:已知p是抛物线y2=4x上的动点,A(0,2)是定点,F为抛物线的焦点,记P到准线的距离为d,求d+PA的最小值。
变式2:一动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆恒与直线x+2=0相切,求证:动圆恒过定点,并求定点坐标。
通过两道变式的深入,学生对抛物线定义的理解更加深刻。同时,拓宽了学生的视野,逐步加深对问题的理解,提高了分析问题和解决问题的能力。
三、解题思路要优化
以例题作为引子,引导学生从不同的角度和方位进行思考,借此尽可能让学生想出多种解题思路和方法,并引导学生进行归纳和比较,从中找出常规的通用的解决问题的方法,以达到解题思路的最优化。
这三种解法都是利用了均值定理,解法1从函数角度考虑,利用统一思想,化多元为一元,达到解题的目的。对培养学生用函数思想的应用有好处。解法2从三角知识的角度出发,利用换元思想,达到解题目的,是一种很重要的常规方法。解法3巧妙利用已知条件“1”,开阔了学生的视野,有利于培养学生的探索能力。通过对三种解法的比较,提炼出各种解法意义,从而达到优化解题思路的目的,同时又培养了学生思维的发散性和灵活性。
四、知识归类网络化
法国数学家笛卡儿说过:“我们解决的每一个问题,将成为一个模式,以用于解决其他问题。”根据考查同一知识点的需要,可以从不同的角度,结合不同的模型作出多种命题。所以许多问题表面存在差异,但本质结构是相同的,它们都有着共同的解题规律,可称之为同类题。习题课中应挑选代表性的习题进行讲练,以达到举一反三的效果,锻炼学生思维的敏捷性。同时又要引导学生将习题进行归类,并集中精力解决同类问题中的本质问题,总结出这一类问题的解决方法和规律。不同类的问题对应不同的方法和规律,形成解题网络。从而达到解一题会一类,以少胜多的目的。
例1:将一个四棱锥的每个顶点染上同一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,如果只有五种颜色可供使用,共有多少种不同的染色方法。
分析:常规解法对点讨论,本例借助数列递推公式解答。逐一考虑每一个的染色方法,A、B、C三点有A53,记作a3=A53,D点与A、C点不同,有3种方法,E先只考虑与A、D不同,也有3种方法按照乘法原理,共有A53*32种方法,但在这个计算中E包含了两种情况,第一,E与B不同色,记为a5,第二,E与B同色,则相当于A、B、C、D四点染色,记为a4,所以得:a5+a4=A53*32,同理,D点染色即为a4+a3=A53*3,解得a5=420。
2.一个地区分为五个行政区域(右图椭圆形区域),现给地图着色要求相邻区域不得使用相同颜色,现有四种颜色可供选择,则不同的着色方法共有种。
分析:初看这是不同的题目:区域染色,没有什么共同的结构。实质它们有两个共同的约束条件:第一,对象相邻与不相邻的关系;第二,多少种颜色或植物供选择,去掉文字的实质意义,它们就是数学分类的直观描述,多少种颜色就是分多少类。例2中的五个区域看作五个点,相邻区域就在对应点之间连一条线段,不相邻区域就不连线段。如:例2图可变为五个行政区域用五个点1、2、3、4、5表示,顶点1、2、3涂色方案有a3=A43种,顶点4有两种涂色方法,顶点5先只考虑与顶点4不同,也有两种涂色方法,按照乘法原理共有A43*22种,但这包含了两种情况:顶点5与顶点2不同色,记作a5,顶点5与顶点2同色,则顶点5与顶点2合并为顶点2,则相当于顶点1、2、3、4涂色,记作a4,所以a5+a4=A43*22,依次,a4+a3=A43*21,求得a5=72。
五、课堂参与互动化
在习题课教学中,教师切忌“一言堂”“满堂灌”,要善于营造宽松、活泼的思考氛围,努力为学生创设活动的机会,最大限度地调动学生参与的积极性,发挥学生的主体作用。
第一,要让学生想。一方面,问题的关键处要让学生想,另一方面,要提出问题促使学生去想。要鼓励学生大胆地说出自己的想法,不要怕学生走弯路,即使是错误的想法也是有益的。这样正好暴露出其错误,对于真正搞懂问题的本质是非常有益的。
第二,要让学生练。练的重点是问题的分析和解决方法,而不是具体的运算。一道例题给出后,教师不要急于读题解题,让学生先读再想后练。教师通过巡视,查看学生练的情况,或提问学生对题目的分析情况,看看学生是否理解了题意,是否找到切入点,在什么地方卡住了,对总体情况有了了解后,再进行讲评,就会有的放矢,效果更佳。
第三,启发要及时、适度。一定要先让学生进入解题状态后,通过观察学生的表情或问一问,探探学生的虚实,揣摩学生的思维动向,寻找启发的最佳时机和着眼点。
作者单位:江苏张家港市南丰中学数学组