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【摘要】 开展“说数学”活动不仅可以落实学生的学习主体地位,而且让学生展现解法、展现思路的寻找过程,从而揭示数学思想和数学方法,提高数学教学实效。本文结合初中数学新课程实践,具体探讨了在不同阶段让学生大胆开口,放飞思维,说出学习数学的思维过程,从而培养学生综合数学能力的问题。
【关键词】 初中数学 过程教学 说数学 内容和途径
【中图分类号】 G42 【文献标识码】 A 【文章编号】 1006-5962(2012)05(a)-0113-02
1 探索新知,说说思维过程
思维活动过程的描述,必须以学生的亲身经历以及参与探索活动为前提。所以教师在新知识的教学阶段,必须精心设计、安排具体的说说学习数学的活动,把新知识还原到具体的实际问题情境中去,在探索过程中为学生提供足够需要的材料,并创设好问题情境,然后引导学生在这理想化的问题情境中展开摸拟探索活动,将隐含于问题中的知识点重新发现、挖掘、整理出来,让学生能真切的体验数学学习中复杂的思维过程,尝试挫折和成功的滋味,那么学生一定有话可说。
例1:某公园的一个梯形湖面,现可以测得四边长度分别是为m、n、f、h,为了游客的交通更加方便,园区准备在图2-1梯形的两腰中点间架一座桥梁,设计要求是要先算出它的长度,那么如果由你来帮助公园进行计算,你能算出来吗?
于是教师在以上的问题情景设置中开展了“梯形中位线性质定理”的教学,并且启发引导学生开展“说数学”活动:
问题1: 它的已知与结论是什么?
问题2:看到这个问题,你首先联想到哪些相关的数学知识点,是由什么要素引发这个联想的?
问题3:请说说本题如果转化为哪种类型的数学问题?
问题4:联想到的知识在这个问题中能直接应用上吗?创造条件后能用上吗?请说说你构造了什么样的条件?
问题5:现在你找到了解题方法吗?得出了什么样的答案,请说明具体的解题过程;
问题6:由解决这个实际问题得到的结论,你能不能推广到一般,猜猜看有什么规律,对于这个猜想,你能进行验证吗?说说具体做法。
通过这样一系列问题的启发、引导和讨论,学生们很自然的跨入到探索知识的学习活动中,全身心的尝试探索、分析,对每个问题都有一个深思熟虑的过程,理清了思路,并通过对问题的逐一回答和语言的组织,学生一般都能比较充分的发表自己的见解,深化了理解,丰富了认识,也体验到了探索发现的乐趣。
2 解决问题,说说思路方法
数学学习离不开解题,每一个数学习题,虽然都给出了条件和结论,或者有的结论是当作问题提出来的,但是并未给出条件与结论间的逻辑联系。教师如果能引导学生自己去分析、探索解题思路和解题方法,这对创新思维的形成无疑是大有助益的。在解题教学中,首先要引导学生认真读题、审题,要求学生明确、清楚的说出习题的全部条件和结论,把用文字语言表达的内容或不适宜直接计算的算式“翻译”成可直接应用的表达式;其次,要根据习题特征所提供的信息,让学生分析、说明自己能预见到的解题主要步骤和主要方法,并能谈谈用这些方法解题,那么习题中现有的条件是否够,若不够,还缺什么条件,习题中是否蕴含了这样的条件,你是如何找到它的;第三,要引导学生开展求异探索,从不同的角度、方面去审视题目,寻找更为简捷、更为新颖的解题方法;最后要引导学生回顾、反思解题思路,总结解题的一般规律,通过进一步的讨论,以题目的已知条件为基础,是否能得到新的结论,如果改变习题的部分已知条件,是不是还能得到现在的结论;如果把条件和结论作适当的修改或变换,那么你是否能改编出一些新题,并且新题和原题之间有什么联系,解法有无异同,这些解法是如何想到的,这种寻找思路的方法能不能用到其他习题上。很显然,经常引导学生从各个不同的方面对习题进行思考、研究、讨论,学生一定会在在掌握习题本身的解题方法、技巧的基础上,也获得了探索创新的训练经验。
例2:甲乙两城间的铁路路程为1600千米,经技术改造,列车实施提速,提速后比提速前速度每小时增加20千米,列车从甲城到乙城的行驶时间减少4小时,这条铁路在现有的条件下安全行驶不得超过每小时140千米,请你用学过的知识,说明在这条铁路现有条件下,列车能否再次提速?
教师:请仔细阅读例题,然后从类型、分析表格、求解三个方面进行分析。
学生阅读、讨论中……
学生1:这是一道行程问题的习题,所以它主要和路程、速度、时间有关。
学生2:我认为这个题目说明了两行程之间的关系一个是改造前的行程问题,一个是改造后的行程问题,所以设列车原来的速度为x千米/时,那么分析表格可以这样列:(表1)
由题中“提速后列车从甲城到乙城的行驶时间减少4小时”可知,所以可列出方程
教师:问题关健抓得很准确,分析透彻,可以换个角度再分析试试。
学生3:我认为也可以设列车提速后的速度为x千米/时,那么我可以列出分析表格为(表2)
由,同样可以列出方程
学生4:我觉得在这三个量中,只有路程是确定的,没有变化,速度和时间是有变化的,所以也可以从时间这个角度去分析。比如设列车原来的所用时间为x 小时,那么表格可列为(表3)
由题意可得,列方程为;如果设列车提速后所用时间为x小时,那么就可列方程为
教师:同学们分析的非常好,那么在解题过程中,要注意什么?
学生5:一是这些方程都是分式方程,所以一定要检验;二是用间接设法的同学不要忘记求出速度再比较;三是解题过程要完整。
教师:解这类问题有什么规律?按什么步骤进行?
学生6:一是定问题类型,知道是哪几个量之间的关系问题;二是列出表示量与量之间关系的分析表格,寻找是路程之间的关系,还是速度、时间之间的关系,只要是变化的量,一般来说都可以用来设,只不过是直接设和间接设的问题;三是解题步骤要完整,检验时要从方程的解和实际意义两个方面进行。 数学应用题是学生头疼的问题,虽然常见,可是大多数学生面对它们还是没有思路,有一部分原因是数学教学生活化程度、模式化程度不够。如果能把学生的生活经验课堂化,化抽象的数学为有趣、生动、易于理解的事物,真正的让学生在学习数学的过程中感受数学与生活的联系,学生就能比较容易的抓住研究什么量的问题;同时在教学中,对数学解题中一类规律进行总结,通过对行程类应用题的形式化解法的归纳与应用让学生体验数学解题中形式化方法的有效性,使教学活动收到事半功倍的效果。把这些内容让学生通过思考、分析、讨论,理顺了思路再说出来,除了让学生体验了探索过程以外,也让学生进行了一次数学化表达和思维和训练。
3 学习受阻,说说疑难困惑
在学习数学的过程中,教师往往会有意设置一些综合性较强、难度比较大的问题,对于这样的问题,学生在解答时可能会根本没有思路,不知从何入手。面对这种情况,教师此时不宜把解题方法直接告诉学生,而应指导学生学会提问。可以先引导学生认真分析自己在哪些方面存在困难,并且在理解题意、探索思路上还存在哪些疑问,然后将自己的困难和疑问作为问题提交出来进行分析。对学生来说,提出问题是解决问题的前提。如果能在学生提出一系列的问题后,再引导学生去找出问题的关键所在,并围绕本质问题进行探索,指导学生善于从自己思维活动中捕捉产生的“灵感”或者突然冒出来的“想法”、“念头”,鼓励学生把它清晰的表达出来,再根据这个“想法”、“念头”顺藤摸瓜,逐层深挖,在学生们的不断调整和补充完善中,逐步理清解题思路,形成相应的解题技巧。
4 课堂小结,说说收获体会
当一堂课快要结束的时候,学生的学习情绪也会随之低落,这时教师就要想办法重新唤起学生说数学的积极性。虽是一节课的小结,但说的内容不一定要面面俱到,可以根据每堂课、每个学生的学习特点,或侧重于某一个方面总结,或让学生谈自己最大的收获、最深的体会。我们可以经常开展这样的课堂小结活动:
(1)数学学习除了学习数学的基拙知识、基本技能外,还要学习怎样思考,在今天在这节课上你运用了什么思想方法?学到了什么思想方法?
(2)你对老师刚才讲解的方法完全认同吗?你有没有用过教师没讲过的求解方法呢?
(3)在解题的时候,你有没有想过题目是不是还有其他的结论呢?如果不用这些例题的条件,却换上一些新条件,这样你还能推出这样的结论吗?你自己能改编出哪些新题目?
(4)在今天的学习中遇到困难后,你做了什么样的努力,是否在这样的过程中产生过“灵感”?
(5)在今天的学习中,你自己猜想发现了什么结论,后来结果如何?
总之,学生开口说说数学学习的各方面内容,是积极参与数学学习的具体体现,是落实学生学习主体地位,彰显过程教学的有效途径。当然,学生在表述发言时,有时难免会出现在叙述时思维受到阻碍、言语阻塞的情况,此时要耐心等待,指导学生慢慢从碰壁处绕开,另辟蹊径;如果学生是在推理过程中出错,甚至得出荒谬不可能的结论,教师也不要毫不留情加以否定,更不要急于以先知的身份给出解答,要从保护学生积极性的角度出发,听学生把话说完整,再引导学生去分析、发现自己的错误,培养学生验证的习惯。所以要想让学生说好数学,关键还在教师的启发引导上。教师一定要给学生提供足够需要的材料,创设较为真实的问题情境,把握学生的思维特点,并且能故意制造一些麻烦,随时根据学生的回答、阐述和疑问及时调节对学生的启发引导,用最简洁的启示,唤起学生最丰富的思维活动,通过最简捷的问题去引发学生最热烈的讨论,在过程教学中让学生学会思考。
【关键词】 初中数学 过程教学 说数学 内容和途径
【中图分类号】 G42 【文献标识码】 A 【文章编号】 1006-5962(2012)05(a)-0113-02
1 探索新知,说说思维过程
思维活动过程的描述,必须以学生的亲身经历以及参与探索活动为前提。所以教师在新知识的教学阶段,必须精心设计、安排具体的说说学习数学的活动,把新知识还原到具体的实际问题情境中去,在探索过程中为学生提供足够需要的材料,并创设好问题情境,然后引导学生在这理想化的问题情境中展开摸拟探索活动,将隐含于问题中的知识点重新发现、挖掘、整理出来,让学生能真切的体验数学学习中复杂的思维过程,尝试挫折和成功的滋味,那么学生一定有话可说。
例1:某公园的一个梯形湖面,现可以测得四边长度分别是为m、n、f、h,为了游客的交通更加方便,园区准备在图2-1梯形的两腰中点间架一座桥梁,设计要求是要先算出它的长度,那么如果由你来帮助公园进行计算,你能算出来吗?
于是教师在以上的问题情景设置中开展了“梯形中位线性质定理”的教学,并且启发引导学生开展“说数学”活动:
问题1: 它的已知与结论是什么?
问题2:看到这个问题,你首先联想到哪些相关的数学知识点,是由什么要素引发这个联想的?
问题3:请说说本题如果转化为哪种类型的数学问题?
问题4:联想到的知识在这个问题中能直接应用上吗?创造条件后能用上吗?请说说你构造了什么样的条件?
问题5:现在你找到了解题方法吗?得出了什么样的答案,请说明具体的解题过程;
问题6:由解决这个实际问题得到的结论,你能不能推广到一般,猜猜看有什么规律,对于这个猜想,你能进行验证吗?说说具体做法。
通过这样一系列问题的启发、引导和讨论,学生们很自然的跨入到探索知识的学习活动中,全身心的尝试探索、分析,对每个问题都有一个深思熟虑的过程,理清了思路,并通过对问题的逐一回答和语言的组织,学生一般都能比较充分的发表自己的见解,深化了理解,丰富了认识,也体验到了探索发现的乐趣。
2 解决问题,说说思路方法
数学学习离不开解题,每一个数学习题,虽然都给出了条件和结论,或者有的结论是当作问题提出来的,但是并未给出条件与结论间的逻辑联系。教师如果能引导学生自己去分析、探索解题思路和解题方法,这对创新思维的形成无疑是大有助益的。在解题教学中,首先要引导学生认真读题、审题,要求学生明确、清楚的说出习题的全部条件和结论,把用文字语言表达的内容或不适宜直接计算的算式“翻译”成可直接应用的表达式;其次,要根据习题特征所提供的信息,让学生分析、说明自己能预见到的解题主要步骤和主要方法,并能谈谈用这些方法解题,那么习题中现有的条件是否够,若不够,还缺什么条件,习题中是否蕴含了这样的条件,你是如何找到它的;第三,要引导学生开展求异探索,从不同的角度、方面去审视题目,寻找更为简捷、更为新颖的解题方法;最后要引导学生回顾、反思解题思路,总结解题的一般规律,通过进一步的讨论,以题目的已知条件为基础,是否能得到新的结论,如果改变习题的部分已知条件,是不是还能得到现在的结论;如果把条件和结论作适当的修改或变换,那么你是否能改编出一些新题,并且新题和原题之间有什么联系,解法有无异同,这些解法是如何想到的,这种寻找思路的方法能不能用到其他习题上。很显然,经常引导学生从各个不同的方面对习题进行思考、研究、讨论,学生一定会在在掌握习题本身的解题方法、技巧的基础上,也获得了探索创新的训练经验。
例2:甲乙两城间的铁路路程为1600千米,经技术改造,列车实施提速,提速后比提速前速度每小时增加20千米,列车从甲城到乙城的行驶时间减少4小时,这条铁路在现有的条件下安全行驶不得超过每小时140千米,请你用学过的知识,说明在这条铁路现有条件下,列车能否再次提速?
教师:请仔细阅读例题,然后从类型、分析表格、求解三个方面进行分析。
学生阅读、讨论中……
学生1:这是一道行程问题的习题,所以它主要和路程、速度、时间有关。
学生2:我认为这个题目说明了两行程之间的关系一个是改造前的行程问题,一个是改造后的行程问题,所以设列车原来的速度为x千米/时,那么分析表格可以这样列:(表1)
由题中“提速后列车从甲城到乙城的行驶时间减少4小时”可知,所以可列出方程
教师:问题关健抓得很准确,分析透彻,可以换个角度再分析试试。
学生3:我认为也可以设列车提速后的速度为x千米/时,那么我可以列出分析表格为(表2)
由,同样可以列出方程
学生4:我觉得在这三个量中,只有路程是确定的,没有变化,速度和时间是有变化的,所以也可以从时间这个角度去分析。比如设列车原来的所用时间为x 小时,那么表格可列为(表3)
由题意可得,列方程为;如果设列车提速后所用时间为x小时,那么就可列方程为
教师:同学们分析的非常好,那么在解题过程中,要注意什么?
学生5:一是这些方程都是分式方程,所以一定要检验;二是用间接设法的同学不要忘记求出速度再比较;三是解题过程要完整。
教师:解这类问题有什么规律?按什么步骤进行?
学生6:一是定问题类型,知道是哪几个量之间的关系问题;二是列出表示量与量之间关系的分析表格,寻找是路程之间的关系,还是速度、时间之间的关系,只要是变化的量,一般来说都可以用来设,只不过是直接设和间接设的问题;三是解题步骤要完整,检验时要从方程的解和实际意义两个方面进行。 数学应用题是学生头疼的问题,虽然常见,可是大多数学生面对它们还是没有思路,有一部分原因是数学教学生活化程度、模式化程度不够。如果能把学生的生活经验课堂化,化抽象的数学为有趣、生动、易于理解的事物,真正的让学生在学习数学的过程中感受数学与生活的联系,学生就能比较容易的抓住研究什么量的问题;同时在教学中,对数学解题中一类规律进行总结,通过对行程类应用题的形式化解法的归纳与应用让学生体验数学解题中形式化方法的有效性,使教学活动收到事半功倍的效果。把这些内容让学生通过思考、分析、讨论,理顺了思路再说出来,除了让学生体验了探索过程以外,也让学生进行了一次数学化表达和思维和训练。
3 学习受阻,说说疑难困惑
在学习数学的过程中,教师往往会有意设置一些综合性较强、难度比较大的问题,对于这样的问题,学生在解答时可能会根本没有思路,不知从何入手。面对这种情况,教师此时不宜把解题方法直接告诉学生,而应指导学生学会提问。可以先引导学生认真分析自己在哪些方面存在困难,并且在理解题意、探索思路上还存在哪些疑问,然后将自己的困难和疑问作为问题提交出来进行分析。对学生来说,提出问题是解决问题的前提。如果能在学生提出一系列的问题后,再引导学生去找出问题的关键所在,并围绕本质问题进行探索,指导学生善于从自己思维活动中捕捉产生的“灵感”或者突然冒出来的“想法”、“念头”,鼓励学生把它清晰的表达出来,再根据这个“想法”、“念头”顺藤摸瓜,逐层深挖,在学生们的不断调整和补充完善中,逐步理清解题思路,形成相应的解题技巧。
4 课堂小结,说说收获体会
当一堂课快要结束的时候,学生的学习情绪也会随之低落,这时教师就要想办法重新唤起学生说数学的积极性。虽是一节课的小结,但说的内容不一定要面面俱到,可以根据每堂课、每个学生的学习特点,或侧重于某一个方面总结,或让学生谈自己最大的收获、最深的体会。我们可以经常开展这样的课堂小结活动:
(1)数学学习除了学习数学的基拙知识、基本技能外,还要学习怎样思考,在今天在这节课上你运用了什么思想方法?学到了什么思想方法?
(2)你对老师刚才讲解的方法完全认同吗?你有没有用过教师没讲过的求解方法呢?
(3)在解题的时候,你有没有想过题目是不是还有其他的结论呢?如果不用这些例题的条件,却换上一些新条件,这样你还能推出这样的结论吗?你自己能改编出哪些新题目?
(4)在今天的学习中遇到困难后,你做了什么样的努力,是否在这样的过程中产生过“灵感”?
(5)在今天的学习中,你自己猜想发现了什么结论,后来结果如何?
总之,学生开口说说数学学习的各方面内容,是积极参与数学学习的具体体现,是落实学生学习主体地位,彰显过程教学的有效途径。当然,学生在表述发言时,有时难免会出现在叙述时思维受到阻碍、言语阻塞的情况,此时要耐心等待,指导学生慢慢从碰壁处绕开,另辟蹊径;如果学生是在推理过程中出错,甚至得出荒谬不可能的结论,教师也不要毫不留情加以否定,更不要急于以先知的身份给出解答,要从保护学生积极性的角度出发,听学生把话说完整,再引导学生去分析、发现自己的错误,培养学生验证的习惯。所以要想让学生说好数学,关键还在教师的启发引导上。教师一定要给学生提供足够需要的材料,创设较为真实的问题情境,把握学生的思维特点,并且能故意制造一些麻烦,随时根据学生的回答、阐述和疑问及时调节对学生的启发引导,用最简洁的启示,唤起学生最丰富的思维活动,通过最简捷的问题去引发学生最热烈的讨论,在过程教学中让学生学会思考。