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“任意角的三角函数”一节是人教版高一数学（下册·必修）第四章第3节的内容.笔者根据自己的教学实践，谈谈对该节的教材分析及教学建议，仅供参考。
一、教材编写特点
教材的编写是以锐角三角函数为基础，角的概念的推广为前提，利用平面直角坐标系为工具定义了任意角的正弦、余弦、正切函數，并利用与单位圆有关的有向线段研究了正弦、余弦、正切函数的一种几何表示——正弦线、余弦线、正切线；然后定义任意角的余切、正割、余割函数，研讨了正弦、余弦、正切函数的定义域，用例1、例2巩固任意角的三角函数的概念；最后研究正弦、余弦、正切函数值在平面直角坐标系中的各象限内的符号及“终边相同的角的同一三角函数值相等”这一公式（即公式一），并给出了3个例题（例3、例4、例5）加以巩固。
二、教学目的、重点、难点及关键
1、教学目的。本节教学目的是：掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义，了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；了解余切、正割、余割函数的定义；掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种三角函数值在各象限内的符号；掌握公式一及其应用.
2、教学重点。任意角的正弦、余弦、正切函数的定义及其定义域，函数值在各象限内的符号、公式一及其应用是本节的教学重点。
3、教学难点。如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来，是学习本节的难点所在。
4、教学关键。掌握单位圆的概念，了解三种线段的正、负与坐标轴正、反方向之间的对应及三种有向线段（的数量）与三种三角函数值之间的对应是解决本节难点的关键.
三、教学建议
1、课时划分与内容安排。本节教学建议用3课时完成，并且对教材内容顺序作适当的整合，具体情况如下。
第一，第1课时及教学内容。以锐角三角函数、角的概念的推广等知识为生长点，以平面直角坐标系为研究工具，一气呵成地定义了任意角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割函数；并研究正弦、余弦、正切函数的定义域；最后讲解例1、例2加以巩固。
第二，第2课时及教学内容。根据任意角的三角函数的定义，研究六种三角函数值在平面直角坐标中各象限的符号及“终边相同的角的同一三角函数值相等”（即诱导公式一），最后讲解例3、例4、例5加以巩固。
第三，第3课时及教学内容。根据任意角的三角函数的定义，引入单位圆的概念，在单位圆中研究正弦、余弦、正切函数的一种几何表示——三角函数线（这里仅研究正弦线、余弦线和正切线），由于教材中设有相应的例题，建议补充适量例题加以巩固。
2、案例呈现。根据不同班级学生的实际情况，以下案例可供选择。
案例1：已知角的终边上一点P（x，-2）（x≠0），且cos，求sin 和tan的值.
解题分析：由r =|OP|=.由三角函数的定义有：cos=，∵x∴.=3，∴x=±.当x=时，点P（，-2），此时sin=，tan=；
当x=-时，点P（-，-2），此时sin=，tan=.
点评：严格按照任意角的三角函数定义进行示范，重视数学符号语言的应用及分类讨论思想的渗透.
案例2：sin2·cos3·tan4的值（ ）.
A大于0 B小于0 C 等于0 D不能确定
解题分析：∵sin2>0， cos3<0，tan4>0，∴sin2·cos3·tan4<0， ∴选B.
点评：重视弧度制下，任意角的三角函数值在各象限的符号.
案例3：函数y=
的值域是（ ）.
A﹛-2，4﹜； B﹛-2，0，4﹜
C﹛-2，0，2，4﹜；D﹛-4，-2，0，﹜
解题分析：先求出该函数的定义域为﹛x|x≠ ﹜；再用分类分类讨论的思想，按角所在象限讨论相应的三角函数的符号，从而脱去绝对值符号，当x为第一象限角时，y=4；当x为第二象限角时，y=-2；当x为第三象限角时，y=0；当x为第四象限角时，=-2. ∴ 函数的值域为﹛-2，0，4﹜. 选 B.
点评：值域也可用列举法表示。
案例4 ：解不等式sinx≥ （0≤x≤2）.
解题分析：由于正弦线在单位圆中是用方向平行于y轴的有向线段来表示.因此，先在y轴的正半轴上取一点P使得|OP|=，恰好表示角x的正弦值sinx=.作x轴的平行线交单位圆于P1、P2（如图1），在〔0，2〕内，OP1、OP2分别对应角、的终边，要使sinx>，只需将弦P1P2沿y轴正向平移，使OP1与OP2所扫过的范围即图中的阴影部分即为所求.
∴原不等式的解集为[、].
案例5：若<<，则sin，cos，tan的大小顺序为______（用“<”连接）.
解题分析：如图2所示，在单位圆中作出的正弦线MP、余弦线OM、正切线AT.
∵OM 点评：师生共同研讨此结论后，如“sin750，cos750，tan750的大小关系是（用“<”连接）这种题目便迎刃而解了！
案例6：已知0 解题分析：如图3，设角x的终边与单位圆交于点P﹝xp，yp﹞，单位圆交x轴的非负半轴于A（1，0），过点P作PMOA于M，过点A作单位圆的切线交OP的延长线于T，连结PA.
∵S△OAP =|OA||MP|，
Slr =，
而S 点评：该案例的引入，不仅使三角函数线及相关知识得到综合的应用，而且使数形结合的思想在潜移默化中渗入学生的脑海。
3、注意引导学生归纳总结。由于本小节内容在教材中具有承上启下的作用，本节有许多结论易于（也值得）归纳、总结.例如：关于六种三角函数值在平面直角坐标中的各个象限的符号可归纳为：“一全正，二正弦，三两切，四余弦”——即第一象限角的六种三角函数值全部为正，第二象限只有正弦（余割）为正；第三象限只有正切、余切为正，第四象限只有余弦（正割）为正。又如：0
一、教材编写特点
教材的编写是以锐角三角函数为基础，角的概念的推广为前提，利用平面直角坐标系为工具定义了任意角的正弦、余弦、正切函數，并利用与单位圆有关的有向线段研究了正弦、余弦、正切函数的一种几何表示——正弦线、余弦线、正切线；然后定义任意角的余切、正割、余割函数，研讨了正弦、余弦、正切函数的定义域，用例1、例2巩固任意角的三角函数的概念；最后研究正弦、余弦、正切函数值在平面直角坐标系中的各象限内的符号及“终边相同的角的同一三角函数值相等”这一公式（即公式一），并给出了3个例题（例3、例4、例5）加以巩固。
二、教学目的、重点、难点及关键
1、教学目的。本节教学目的是：掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义，了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；了解余切、正割、余割函数的定义；掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种三角函数值在各象限内的符号；掌握公式一及其应用.
2、教学重点。任意角的正弦、余弦、正切函数的定义及其定义域，函数值在各象限内的符号、公式一及其应用是本节的教学重点。
3、教学难点。如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来，是学习本节的难点所在。
4、教学关键。掌握单位圆的概念，了解三种线段的正、负与坐标轴正、反方向之间的对应及三种有向线段（的数量）与三种三角函数值之间的对应是解决本节难点的关键.
三、教学建议
1、课时划分与内容安排。本节教学建议用3课时完成，并且对教材内容顺序作适当的整合，具体情况如下。
第一，第1课时及教学内容。以锐角三角函数、角的概念的推广等知识为生长点，以平面直角坐标系为研究工具，一气呵成地定义了任意角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割函数；并研究正弦、余弦、正切函数的定义域；最后讲解例1、例2加以巩固。
第二，第2课时及教学内容。根据任意角的三角函数的定义，研究六种三角函数值在平面直角坐标中各象限的符号及“终边相同的角的同一三角函数值相等”（即诱导公式一），最后讲解例3、例4、例5加以巩固。
第三，第3课时及教学内容。根据任意角的三角函数的定义，引入单位圆的概念，在单位圆中研究正弦、余弦、正切函数的一种几何表示——三角函数线（这里仅研究正弦线、余弦线和正切线），由于教材中设有相应的例题，建议补充适量例题加以巩固。
2、案例呈现。根据不同班级学生的实际情况，以下案例可供选择。
案例1：已知角的终边上一点P（x，-2）（x≠0），且cos，求sin 和tan的值.
解题分析：由r =|OP|=.由三角函数的定义有：cos=，∵x∴.=3，∴x=±.当x=时，点P（，-2），此时sin=，tan=；
当x=-时，点P（-，-2），此时sin=，tan=.
点评：严格按照任意角的三角函数定义进行示范，重视数学符号语言的应用及分类讨论思想的渗透.
案例2：sin2·cos3·tan4的值（ ）.
A大于0 B小于0 C 等于0 D不能确定
解题分析：∵sin2>0， cos3<0，tan4>0，∴sin2·cos3·tan4<0， ∴选B.
点评：重视弧度制下，任意角的三角函数值在各象限的符号.
案例3：函数y=
的值域是（ ）.
A﹛-2，4﹜； B﹛-2，0，4﹜
C﹛-2，0，2，4﹜；D﹛-4，-2，0，﹜
解题分析：先求出该函数的定义域为﹛x|x≠ ﹜；再用分类分类讨论的思想，按角所在象限讨论相应的三角函数的符号，从而脱去绝对值符号，当x为第一象限角时，y=4；当x为第二象限角时，y=-2；当x为第三象限角时，y=0；当x为第四象限角时，=-2. ∴ 函数的值域为﹛-2，0，4﹜. 选 B.
点评：值域也可用列举法表示。
案例4 ：解不等式sinx≥ （0≤x≤2）.
解题分析：由于正弦线在单位圆中是用方向平行于y轴的有向线段来表示.因此，先在y轴的正半轴上取一点P使得|OP|=，恰好表示角x的正弦值sinx=.作x轴的平行线交单位圆于P1、P2（如图1），在〔0，2〕内，OP1、OP2分别对应角、的终边，要使sinx>，只需将弦P1P2沿y轴正向平移，使OP1与OP2所扫过的范围即图中的阴影部分即为所求.
∴原不等式的解集为[、].
案例5：若<<，则sin，cos，tan的大小顺序为______（用“<”连接）.
解题分析：如图2所示，在单位圆中作出的正弦线MP、余弦线OM、正切线AT.
∵OM
案例6：已知0
∵S△OAP =|OA||MP|，
Slr =，
而S
3、注意引导学生归纳总结。由于本小节内容在教材中具有承上启下的作用，本节有许多结论易于（也值得）归纳、总结.例如：关于六种三角函数值在平面直角坐标中的各个象限的符号可归纳为：“一全正，二正弦，三两切，四余弦”——即第一象限角的六种三角函数值全部为正，第二象限只有正弦（余割）为正；第三象限只有正切、余切为正，第四象限只有余弦（正割）为正。又如：0
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