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摘 要：2011年版的《义务教育数学课程标准》将“双基”变成“四基”，其中的基本思想具有重要作用。此处，基本思想与数学思想意义重叠。小学数学教学中，数学思想的教学与另外三基不同，其更多地以缄默知识的形态出现，在学生的实际学习中起着隐性的支撑作用。因此，数学思想重在渗透，重在“悟”。数学思想的渗透需要教师对思想、数学思想的概念理解基本到位，需要在常态教学中以实例的方式进行研究，数学思想与数学素养及数学教师的专业成长密切相关。常态教学中，用“润物无声”来描述数学思想的渗透具有形象性，能够引发共同认知。
关键词：小学数学；数学思想；渗透；有效途径
2011版的《义务教育数学课程标准》相对于实验稿而言，变化之一就是从传统意义上的基础知识与基本技能，变成除此二者之外的基本思想以及基本活动经验。就基本思想而言，主要当指数学思想，在小学数学教学中，数学思想的教学对教师的挑战相对更大，因为在习惯了教授知识的背景下，数学思想的教学可谓是一个新命题。尽管课程改革推进至今已经十多年，但应当看到近几年来，课程改革的火苗已经相对微弱，课堂某种程度上正在向原来的状态回归，这其中固然有新课程改革实践之后的些许不足，同时也存在着教师教学习惯对教学行为有着决定性的影响。在这样的背景之下，笔者以为在小学数学教学中实现数学思想的有效教学显得更为可贵。只是作为具有一定哲学含义的数学思想，其不可能像知识教学那样显性且“可教”，更多的应当是在知识传授的过程中进行渗透，而渗透的境界之一就是润物无声。对此理解，笔者进行了梳理。
一、数学思想的概念理解
课程标准指出，“数学思想蕴含在数学知识形成、发展、应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等”。通过这样的描述，你会发现数学思想与数学知识与方法的关系，也可以推理出其与基本的数学活动体验之间的关系，同时还可以看出，数学思想与常规的思维方法之间也有诸多重合之处。《义务教育课程标准解读》也指出，数学思想重在“悟”，并且给出了具体的指导，如反复理解、螺旋上升等。
对数学思想的理解当然不止这些，但应当看到的是，只要建立了类似于这些的数学思想的概念理解，对数学思想的教学才有可能寻找到正确的道路。如同一个“悟”字所给出的启示一样，对于小学生而言，数学思想不是教师教出来的，而是在数学知识建构的过程中“悟”出来的，而既然是悟，那就只能是一种润物无声的过程，因此笔者以为润物无声是小学数学思想教学的重要途径，某种程度上讲还是一种教学的境界。
二、数学思想的有效渗透
渗透，也是要讲究有效性的。润物无声其实是一个形容词，意指小学数学教学中的数学思想渗透要像春雨滋润小苗一样，虽然无声，但却有效。下面通过两例来说明。
“自然数的认识”是小学数学教学的基础性内容，因为内容基础，所以数学思想的渗透似乎没有很好的抓手，也因为基础，数学教师对数学思想在教学中的渗透又似乎缺少意识。而在笔者看来，在这一类知识的学习中，更需要引导学生参与数学体验，以更好地实现数学思想的渗透。
一般情况下，认识自然数都是从向学生提供与数有关的实物或者图片开始的，一般教学中以图片居多。在某教学实例当中，教师向学生呈现了：三个苹果、两个苹果；三个橘子、两个橘子；三个梨、两个梨。这样的情境创设的目的在于让学生通过分类去认识2和3两个自然数。这样的认知过程与学生在学前阶段的识数不同，那个时候往往是抽象的数的灌输，而这里是具体情境中从实际向数学的抽象，以及“等数性”观念的渗透。这里可以说得更为详细一些：从三个苹果、两个苹果到3和2，需要的是学生剥离了具体的苹果等事物之后，剩下的关于数的观念，知道3和2分别可以描述三个苹果、两个苹果，如果通过演绎，还可以知道同样可以描述其他具有3和2个事物。
在这里，润物无声、内化无痕实际上是通过“等数性”来体现的。当不同事物具有3或2这个“数”量的时候，3和2所表现出来的一种代表性，等数的背后是数对不同性质的事物的数量特征的描述。在这个过程中，从实际向数学的抽象，自然数所具有的概括性特征，其实就是自然数背后的数学思想。
实际教学中，要通过不断重复，让学生去体验这种数学思想，这也是为什么一些名师的课堂上，常常用3和2的多个事物不断地向学生呈现的原因。不过对于“外行”（准确地说是不知道其中数学思想的部分数学教师）来说，还可能认为是无意义的重复，这实际上忽视了数学抽象、等数性等思想所支撑的自然数的教学规律。
又如数学思维方法的教学。数学思维方法是数学思想的另一种体现，数学思维方法往往在基于教材且高于教材的教学中，能够高度吸引学生的注意力。如笔者在教学中给学生一道经典的数学题：在一个由9个方格组成的正方形中填入1-9个数，如何保证横、纵及斜（对角线）上三个数字之和均相等？
不出意外，通常情况下学生都会通过尝试的方法去进行，这个过程中必然会经历一些错误，因此尝试的过程实际上就是试错的过程。这对于数学问题解决来说是一条重要的思路，但学生肯定是不会满足于这种方法的。在学生的这种心理之下，再与学生逐步解决这样的一些问题：是不是能够知道横、纵、斜三个数字之和是多少？横、纵、斜求和的时候都会“遇”到哪一个空格？这个空格的数字最大可能是哪个？
这些问题的逐步解决，实际上是给学生一种思维方法的启发，即将主目标演绎成次目标；对题设与问题采取两边向中间“走”的分析方法；最后通过寻找关键一格的方法破解难题。
这个过程中，学生的思维依次经历了演绎、推理、确定重点等过程，这些过程的名称学生不清楚，但过程本身的经历已经决定了学生经历了一个数学思想方法的运用过程，显然这是一个隐性的、润物无声的内化过程。
这里既然强调渗透，那就意味着数学思想的体现只能是隐性的，只能是让学生在面对形象的生活对象进行自然数的认识过程中体验数学抽象，只能是让学生在对同量不同性的事物的比较中体验自然数。在这里，体验与比较是有形的，数学抽象与等数性的认识是无形的，这也就是数学思想强调渗透的关键所在。
三、润物无声的数学思想
再回到润物无声这一关键词上，作为修饰小学数学教学中数学思想渗透的关键词，其隐喻是用数学思想去滋润学生的数学学习过程，在这个过程中，知识的积累是有形的，知识的应用与问题解决思路的形成也是有形的，但数学思想却是无形的。不过这个无形是相对于学生来说的，也就是说我们要让学生在数学体验的过程中，在运用具体的数学思维方法的过程中，逐步生成关于数学思想的认识，这种数学思想对于学生来说一般是一种缄默知识，是不为学生所知的，但却能够对学生的数学学习过程与数学知识的运用过程产生影响的知识。需要指出的是，“润物无声”这样的描述，可以在常态的小学数学教学中获得更多的共同认知。
而相对于数学教师而言，其又应当是有形的，任何一个数学知识的教学中，可以采用哪些具体的有形的方式，可以让学生收获数学思想，那是数学教师需要思考的问题，且在课程改革的背景下应当成为主要问题之一，这样才能推动学生数学知识构建有一个新的高度，而对于数学教师来说，通过数学思想的研究来提升自身的教学技艺，也是一条“捷径”。从这个角度来看，研究数学思想的有效渗透途径，研究如何才能让数学思想有润物无声的效果，实际上就关系到学生的数学素养以及教师自身的教学素养的提升。
需要提醒的是，在“四基”当中，唯有基本思想是隐性特征较为明显的一个内容，相对于基础知识、基本技能和基本活动经验而言，基本思想其实最具有统领性、暗示性的作用，某种程度上讲，另外的三基都是基本思想作用的结果。因此研究这一暗线对于其他内容的教学来说，具有杠杆意义，实际教学中不可轻视。
关键词：小学数学；数学思想；渗透；有效途径
2011版的《义务教育数学课程标准》相对于实验稿而言，变化之一就是从传统意义上的基础知识与基本技能，变成除此二者之外的基本思想以及基本活动经验。就基本思想而言，主要当指数学思想，在小学数学教学中，数学思想的教学对教师的挑战相对更大，因为在习惯了教授知识的背景下，数学思想的教学可谓是一个新命题。尽管课程改革推进至今已经十多年，但应当看到近几年来，课程改革的火苗已经相对微弱，课堂某种程度上正在向原来的状态回归，这其中固然有新课程改革实践之后的些许不足，同时也存在着教师教学习惯对教学行为有着决定性的影响。在这样的背景之下，笔者以为在小学数学教学中实现数学思想的有效教学显得更为可贵。只是作为具有一定哲学含义的数学思想，其不可能像知识教学那样显性且“可教”，更多的应当是在知识传授的过程中进行渗透，而渗透的境界之一就是润物无声。对此理解，笔者进行了梳理。
一、数学思想的概念理解
课程标准指出，“数学思想蕴含在数学知识形成、发展、应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等”。通过这样的描述，你会发现数学思想与数学知识与方法的关系，也可以推理出其与基本的数学活动体验之间的关系，同时还可以看出，数学思想与常规的思维方法之间也有诸多重合之处。《义务教育课程标准解读》也指出，数学思想重在“悟”，并且给出了具体的指导，如反复理解、螺旋上升等。
对数学思想的理解当然不止这些，但应当看到的是，只要建立了类似于这些的数学思想的概念理解，对数学思想的教学才有可能寻找到正确的道路。如同一个“悟”字所给出的启示一样，对于小学生而言，数学思想不是教师教出来的，而是在数学知识建构的过程中“悟”出来的，而既然是悟，那就只能是一种润物无声的过程，因此笔者以为润物无声是小学数学思想教学的重要途径，某种程度上讲还是一种教学的境界。
二、数学思想的有效渗透
渗透，也是要讲究有效性的。润物无声其实是一个形容词，意指小学数学教学中的数学思想渗透要像春雨滋润小苗一样，虽然无声，但却有效。下面通过两例来说明。
“自然数的认识”是小学数学教学的基础性内容，因为内容基础，所以数学思想的渗透似乎没有很好的抓手，也因为基础，数学教师对数学思想在教学中的渗透又似乎缺少意识。而在笔者看来，在这一类知识的学习中，更需要引导学生参与数学体验，以更好地实现数学思想的渗透。
一般情况下，认识自然数都是从向学生提供与数有关的实物或者图片开始的，一般教学中以图片居多。在某教学实例当中，教师向学生呈现了：三个苹果、两个苹果；三个橘子、两个橘子；三个梨、两个梨。这样的情境创设的目的在于让学生通过分类去认识2和3两个自然数。这样的认知过程与学生在学前阶段的识数不同，那个时候往往是抽象的数的灌输，而这里是具体情境中从实际向数学的抽象，以及“等数性”观念的渗透。这里可以说得更为详细一些：从三个苹果、两个苹果到3和2，需要的是学生剥离了具体的苹果等事物之后，剩下的关于数的观念，知道3和2分别可以描述三个苹果、两个苹果，如果通过演绎，还可以知道同样可以描述其他具有3和2个事物。
在这里，润物无声、内化无痕实际上是通过“等数性”来体现的。当不同事物具有3或2这个“数”量的时候，3和2所表现出来的一种代表性，等数的背后是数对不同性质的事物的数量特征的描述。在这个过程中，从实际向数学的抽象，自然数所具有的概括性特征，其实就是自然数背后的数学思想。
实际教学中，要通过不断重复，让学生去体验这种数学思想，这也是为什么一些名师的课堂上，常常用3和2的多个事物不断地向学生呈现的原因。不过对于“外行”（准确地说是不知道其中数学思想的部分数学教师）来说，还可能认为是无意义的重复，这实际上忽视了数学抽象、等数性等思想所支撑的自然数的教学规律。
又如数学思维方法的教学。数学思维方法是数学思想的另一种体现，数学思维方法往往在基于教材且高于教材的教学中，能够高度吸引学生的注意力。如笔者在教学中给学生一道经典的数学题：在一个由9个方格组成的正方形中填入1-9个数，如何保证横、纵及斜（对角线）上三个数字之和均相等？
不出意外，通常情况下学生都会通过尝试的方法去进行，这个过程中必然会经历一些错误，因此尝试的过程实际上就是试错的过程。这对于数学问题解决来说是一条重要的思路，但学生肯定是不会满足于这种方法的。在学生的这种心理之下，再与学生逐步解决这样的一些问题：是不是能够知道横、纵、斜三个数字之和是多少？横、纵、斜求和的时候都会“遇”到哪一个空格？这个空格的数字最大可能是哪个？
这些问题的逐步解决，实际上是给学生一种思维方法的启发，即将主目标演绎成次目标；对题设与问题采取两边向中间“走”的分析方法；最后通过寻找关键一格的方法破解难题。
这个过程中，学生的思维依次经历了演绎、推理、确定重点等过程，这些过程的名称学生不清楚，但过程本身的经历已经决定了学生经历了一个数学思想方法的运用过程，显然这是一个隐性的、润物无声的内化过程。
这里既然强调渗透，那就意味着数学思想的体现只能是隐性的，只能是让学生在面对形象的生活对象进行自然数的认识过程中体验数学抽象，只能是让学生在对同量不同性的事物的比较中体验自然数。在这里，体验与比较是有形的，数学抽象与等数性的认识是无形的，这也就是数学思想强调渗透的关键所在。
三、润物无声的数学思想
再回到润物无声这一关键词上，作为修饰小学数学教学中数学思想渗透的关键词，其隐喻是用数学思想去滋润学生的数学学习过程，在这个过程中，知识的积累是有形的，知识的应用与问题解决思路的形成也是有形的，但数学思想却是无形的。不过这个无形是相对于学生来说的，也就是说我们要让学生在数学体验的过程中，在运用具体的数学思维方法的过程中，逐步生成关于数学思想的认识，这种数学思想对于学生来说一般是一种缄默知识，是不为学生所知的，但却能够对学生的数学学习过程与数学知识的运用过程产生影响的知识。需要指出的是，“润物无声”这样的描述，可以在常态的小学数学教学中获得更多的共同认知。
而相对于数学教师而言，其又应当是有形的，任何一个数学知识的教学中，可以采用哪些具体的有形的方式，可以让学生收获数学思想，那是数学教师需要思考的问题，且在课程改革的背景下应当成为主要问题之一，这样才能推动学生数学知识构建有一个新的高度，而对于数学教师来说，通过数学思想的研究来提升自身的教学技艺，也是一条“捷径”。从这个角度来看，研究数学思想的有效渗透途径，研究如何才能让数学思想有润物无声的效果，实际上就关系到学生的数学素养以及教师自身的教学素养的提升。
需要提醒的是，在“四基”当中，唯有基本思想是隐性特征较为明显的一个内容，相对于基础知识、基本技能和基本活动经验而言，基本思想其实最具有统领性、暗示性的作用，某种程度上讲，另外的三基都是基本思想作用的结果。因此研究这一暗线对于其他内容的教学来说，具有杠杆意义，实际教学中不可轻视。