论文部分内容阅读
1引言
由于静摩擦力和滑动摩擦力是否存在和方向的判斷方法有相似之处，导致许多高中生往往对于习题中两物体之间是否会发生相对滑动的问题或者说两物体之间究竟是静摩擦力还是滑动摩擦力要花费很长的时间去进行判断，而且非常容易出错.那么，是否有一些物理意义清晰，可以准确定量的方法让学生去判断两物体之间是否存在相对滑动，将是接下来要探讨的一个重点问题.
2基本模型及特点
高中物理习题中，通常需要学生判断两物体之间是否相对运动的基本模型如图1所示，也就是木板M与滑块m组成的系统.
（1）若系统中木板M与滑块m之间相对滑动时，两物体间的运动状态和受力情况有以下两个特点：
①两物体之间相对于地面参考性的速度不同，即vM≠vm；
②两物体之间存在滑动摩擦力，滑动摩擦力的大小f=μN；
（2）若系统中木板M与滑块m之间相对静止时，两物体间的运动状态和受力情况有以下三个特点：
①两物体之间相对于地面参考性的速度相同，即vM=vm；
②若系统不受其他外力，两物体之间没有静摩擦力；
③若系统还受到其他外力，两物体相对静止还需要满足aM=am.
综上所述，可以依据上述的五个特点，去判断两物体之间是否相对运动或者相对静止.
3难点剖析
如图2，木板与滑块初始时静止于光滑水平地面，木板与滑块的接触面粗糙，现给木板M一个方向向右，大小为F的力.此时，系统中的两物体究竟是相对静止一起加速，还是两者之间会发生相对滑动？这是首要解决的问题.若是将这个问题解决了，随后两物体的运动状况也就会变得清晰.
由于系统受到外力的作用，且两物体之间的接触面是粗糙的，因此，依据前文所述的该类模型的运动特点可以知道，若两者可以具有相同的加速度，则两者相对静止，若两者无法具有相同的加速度，则两者必然发生相对滑动.通过对两物体进行受力分析，求出木板与滑块加速度，并进行比较就成为了解决这个问题的关键.下面对系统进行受力分析如图3所示.
由于系统初始时静止，且外力作用在M上，因此M必然具有相对于m向右运动的趋势，依据受力分析，可以列出以下方程组，用以求两物体的加速度：
F-f=MaM
f=mam（1）
除了两个要求的加速度aM和am外，方程组中还有一个未知量，即f.要判断究竟f是滑动摩擦力还是静摩擦力，是需要通过两物体的加速度才能知道，而要求的两物体的加速度，根据方程组，又必须知道f的性质，否则两个方程有三个未知量，也没有办法解出来.
为了应对这一种情况，通常假设，两者之间可以具有共同的加速度，从而解出f，若f的大小小于最大静摩擦力的大小，则假设成立，两物体相对静止，共同加速；否则，两物体之间相对滑动.
该方法的好处在于，通过假设法简化了方程中的未知量，求得f，非常方便快捷，通过f的大小与最大静摩擦力的比较来确定f的性质，从而确定两物体之间的相对运动状况.通过受力间接判断物体的运动状况也是物理中很重要的方法之一.但是，在这种情境中，采用假设法，简化方程和物理情境，并通过间接的方法指明物体的运动状况，一方面可能导致学生不能完全理解题目的物理情境及判断依据，另一方面，这种方法有失一般性，如果学生没有理解透彻，则可能会在更复杂的情境（如地面有摩擦，滑块也受到外力等）中，出现依葫芦画瓢，照搬照套导致出错.所以，一个能直接比较的两物体加速度之间关系且具有普遍适用的方法是很有必要的.
4判断两物体之间是否相对滑动的一般方法
由前文可知，要想判断两物体之间是否相对滑动，如果可以知道方程中f的值就能求解出两物体相对于地面的加速度，从而确定两物体间有无相对滑动.虽然f的性质是静摩擦力还是滑动摩擦力需要通过运动状态才能知道，但是f的大小的取值范围却是可以知道，在该类模型中，f的性质只可能是静摩擦力或者滑动摩擦力，而静摩擦力大小的可能值即从零到最大静摩擦力，即
f静∈（0，f静max]（2）
滑动摩擦力的大小则
f动=μN（3）
有题目中通常会指明，最大静摩擦的大小等于滑动摩擦力的大小，即
f静max=μN（4）
因此，f的取值范围为
f=f静∩f动∈（0，μN]（5）
这个范围也等同于静摩擦力的取值范围，这个集合的右端点μN既是滑动摩擦力的值也是最大静摩擦力大的值.当f的取值范围确定了，如果系统其它力的大小已知，那么物体加速度大小的范围就可以知道了.为方便起见，下面仍以图3的情境进行分析，根据情境和方程（1），μN=μmg；则f的取值范围为（0，μmg]；求得：
aM∈[F-μmg1M，F1M）（6）
am∈（0，μg]（6）
aM与am的取值范围确定以后，两者之间的关系将有以下三种可能，下面将这三种可能的物理意义进行阐述：
（1）aM与am的取值范围有交集，有交集的物理意义就是，在f∈（0，μmg]的情况下，aM与am可以出现相等的情况，由于f的取值范围实际上就是静摩擦力的范围，也就是说，在静摩擦力的可能范围内，两物体能有共同加速度，所以两者必然相对静止，两物体之间的是静摩擦力.
（2）aM与am的取值范围没有交集，说明在静摩擦力的可能范围内，两物体不可能有共同加速度，两者必然相对滑动，两物体之间的是滑动摩擦力.
（3）aM与am的取值范围有交集，但交集的只有一个点，即am的右端点和aM的左端点，此时f的值就是最大静摩擦力或者滑动摩擦力的值，那么此时究竟两物体是相对滑动还是相对静止？这里，还要考虑实际情况，实际中，最大静摩擦力会略大于滑动摩擦力，在这种情况下，两物体应该仍是相对静止的. 有了上述的计算，比较和判断方法，在所有类似的的木板或者滑块组成的系统中，只要对物体进行受力分析，确定f的取值范围，从而确定每一个物体的加速度的取值范围，通过比较加速度范围是否有交集，来判断两物体间是相对滑动还是相对静止.
该方法虽然比假设法略微复杂，但是物理意义明确，直接比较两物体加速的取值范围，而且具有更好的一般性.
5典型题目分析
典型例题1（2010年海南）图4中，质量为m的物块叠放在质量为2m的足够长的木板上方右侧，木板放在光滑的水平地面上，物块与木板之间的动摩擦因数为μ=0.2.在木板上施加一水平向右的拉力F，在0～3 s內F的变化如图5所示，图中F以mg为单位，重力加速度g=190 m/s2.整个系统开始时静止.（1）求1 s、1.5 s、2 s、3 s末木板的速度以及2 s、3 s末物块的速度；（2）在同一坐标系中画出0～3 s内木板和物块的 图象，据此求0～3 s内物块相对于木板滑过的距离.
解析这道高考题的模型几乎与前文所举的模型完全一样，无论要完成第（1）问还是第（2）问，首先要解决的就是两个物体间是否会发生相对滑动的问题.根据前文所述方法，列出方程组：
F-f=2ma板，
f=ma块（8）
f的取值范围为（0，0.2mg]，因此a块∈（0，0.2g]，a板∈[0.4 g，0.5 g），两个加速度没有交集，所以，所以两个物体之间必然相对滑动.
典型例题2（2008年广东）如图6所示，固定的凹槽水平表面光滑，其内放置U形滑板N，滑板两端为半径R=0.45 m的1/4圆弧面.A和D分别是圆弧的端点，BC段表面粗糙，其余段表面光滑.小滑块P1和P2的质量均为m.滑板的质量M=4m，P1和P2与BC面的动摩擦因数分别为μ1=0.10和μ2=0.40，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力.开始时滑板紧靠槽的左端，P2静止在粗糙面的B点，P1以v0=4.0 m/s的初速度从A点沿弧面自由滑下，与P2发生弹性碰撞后，P1处在粗糙面B点上.当P2滑到C点时，滑板恰好与槽的右端碰撞并与槽牢固粘连，P2继续滑动，到达D点时速度为零.P1与P2视为质点，取g=10 m/s2. 问：（1）P2在BC段向右滑动时，滑板的加速度为多大？（2）BC长度为多少？N、P1和P2最终静止后，P1与P2间的距离为多少？
解析这道题比之前那一道题更为复杂，涉及到三个物体，同样的，要解这道题，第一步还是要判断P1，P2与U形滑块N是否会发生相对滑动，由于碰撞后P1与P2速度交换，所以P2与N之间必然有相对滑动，两者之间存在着滑动摩擦力；而P1碰撞后对地速度为零，因此 与N之间是否会发生相对滑动，仍可以用前文所述方法判断，依据受力分析列出以下方程组
fP2-fp1=Ma板
fP1=maP1（9）
fP2=0.4mg，fP1的取值范围为（0，0.1mg]，M=4m；解得aP1∈（0，1]，a板∈[0.75，1），P1与N加速度的取值范围有交集，因此，两物体之间保持相对静止，受到静摩擦力作用.
以上两道高考题，用本文所述方法进行是否相对运动的判断均可以得到清晰直接的的结果，并且这样进行判断后再去解题，物理情境会更加清晰，可以保证解题的准确性.
6小结
本文就高考题中常出现的判断两物体间是否相对运动的问题进行了探讨.而本文提出的通过加速度取值范围的比较进行判断的方法，更加具有一般性，能更加清楚地展现物理情境.在物理习题教学中，应该多注重这类具有一般性而且直观的方法.
由于静摩擦力和滑动摩擦力是否存在和方向的判斷方法有相似之处，导致许多高中生往往对于习题中两物体之间是否会发生相对滑动的问题或者说两物体之间究竟是静摩擦力还是滑动摩擦力要花费很长的时间去进行判断，而且非常容易出错.那么，是否有一些物理意义清晰，可以准确定量的方法让学生去判断两物体之间是否存在相对滑动，将是接下来要探讨的一个重点问题.
2基本模型及特点
高中物理习题中，通常需要学生判断两物体之间是否相对运动的基本模型如图1所示，也就是木板M与滑块m组成的系统.
（1）若系统中木板M与滑块m之间相对滑动时，两物体间的运动状态和受力情况有以下两个特点：
①两物体之间相对于地面参考性的速度不同，即vM≠vm；
②两物体之间存在滑动摩擦力，滑动摩擦力的大小f=μN；
（2）若系统中木板M与滑块m之间相对静止时，两物体间的运动状态和受力情况有以下三个特点：
①两物体之间相对于地面参考性的速度相同，即vM=vm；
②若系统不受其他外力，两物体之间没有静摩擦力；
③若系统还受到其他外力，两物体相对静止还需要满足aM=am.
综上所述，可以依据上述的五个特点，去判断两物体之间是否相对运动或者相对静止.
3难点剖析
如图2，木板与滑块初始时静止于光滑水平地面，木板与滑块的接触面粗糙，现给木板M一个方向向右，大小为F的力.此时，系统中的两物体究竟是相对静止一起加速，还是两者之间会发生相对滑动？这是首要解决的问题.若是将这个问题解决了，随后两物体的运动状况也就会变得清晰.
由于系统受到外力的作用，且两物体之间的接触面是粗糙的，因此，依据前文所述的该类模型的运动特点可以知道，若两者可以具有相同的加速度，则两者相对静止，若两者无法具有相同的加速度，则两者必然发生相对滑动.通过对两物体进行受力分析，求出木板与滑块加速度，并进行比较就成为了解决这个问题的关键.下面对系统进行受力分析如图3所示.
由于系统初始时静止，且外力作用在M上，因此M必然具有相对于m向右运动的趋势，依据受力分析，可以列出以下方程组，用以求两物体的加速度：
F-f=MaM
f=mam（1）
除了两个要求的加速度aM和am外，方程组中还有一个未知量，即f.要判断究竟f是滑动摩擦力还是静摩擦力，是需要通过两物体的加速度才能知道，而要求的两物体的加速度，根据方程组，又必须知道f的性质，否则两个方程有三个未知量，也没有办法解出来.
为了应对这一种情况，通常假设，两者之间可以具有共同的加速度，从而解出f，若f的大小小于最大静摩擦力的大小，则假设成立，两物体相对静止，共同加速；否则，两物体之间相对滑动.
该方法的好处在于，通过假设法简化了方程中的未知量，求得f，非常方便快捷，通过f的大小与最大静摩擦力的比较来确定f的性质，从而确定两物体之间的相对运动状况.通过受力间接判断物体的运动状况也是物理中很重要的方法之一.但是，在这种情境中，采用假设法，简化方程和物理情境，并通过间接的方法指明物体的运动状况，一方面可能导致学生不能完全理解题目的物理情境及判断依据，另一方面，这种方法有失一般性，如果学生没有理解透彻，则可能会在更复杂的情境（如地面有摩擦，滑块也受到外力等）中，出现依葫芦画瓢，照搬照套导致出错.所以，一个能直接比较的两物体加速度之间关系且具有普遍适用的方法是很有必要的.
4判断两物体之间是否相对滑动的一般方法
由前文可知，要想判断两物体之间是否相对滑动，如果可以知道方程中f的值就能求解出两物体相对于地面的加速度，从而确定两物体间有无相对滑动.虽然f的性质是静摩擦力还是滑动摩擦力需要通过运动状态才能知道，但是f的大小的取值范围却是可以知道，在该类模型中，f的性质只可能是静摩擦力或者滑动摩擦力，而静摩擦力大小的可能值即从零到最大静摩擦力，即
f静∈（0，f静max]（2）
滑动摩擦力的大小则
f动=μN（3）
有题目中通常会指明，最大静摩擦的大小等于滑动摩擦力的大小，即
f静max=μN（4）
因此，f的取值范围为
f=f静∩f动∈（0，μN]（5）
这个范围也等同于静摩擦力的取值范围，这个集合的右端点μN既是滑动摩擦力的值也是最大静摩擦力大的值.当f的取值范围确定了，如果系统其它力的大小已知，那么物体加速度大小的范围就可以知道了.为方便起见，下面仍以图3的情境进行分析，根据情境和方程（1），μN=μmg；则f的取值范围为（0，μmg]；求得：
aM∈[F-μmg1M，F1M）（6）
am∈（0，μg]（6）
aM与am的取值范围确定以后，两者之间的关系将有以下三种可能，下面将这三种可能的物理意义进行阐述：
（1）aM与am的取值范围有交集，有交集的物理意义就是，在f∈（0，μmg]的情况下，aM与am可以出现相等的情况，由于f的取值范围实际上就是静摩擦力的范围，也就是说，在静摩擦力的可能范围内，两物体能有共同加速度，所以两者必然相对静止，两物体之间的是静摩擦力.
（2）aM与am的取值范围没有交集，说明在静摩擦力的可能范围内，两物体不可能有共同加速度，两者必然相对滑动，两物体之间的是滑动摩擦力.
（3）aM与am的取值范围有交集，但交集的只有一个点，即am的右端点和aM的左端点，此时f的值就是最大静摩擦力或者滑动摩擦力的值，那么此时究竟两物体是相对滑动还是相对静止？这里，还要考虑实际情况，实际中，最大静摩擦力会略大于滑动摩擦力，在这种情况下，两物体应该仍是相对静止的. 有了上述的计算，比较和判断方法，在所有类似的的木板或者滑块组成的系统中，只要对物体进行受力分析，确定f的取值范围，从而确定每一个物体的加速度的取值范围，通过比较加速度范围是否有交集，来判断两物体间是相对滑动还是相对静止.
该方法虽然比假设法略微复杂，但是物理意义明确，直接比较两物体加速的取值范围，而且具有更好的一般性.
5典型题目分析
典型例题1（2010年海南）图4中，质量为m的物块叠放在质量为2m的足够长的木板上方右侧，木板放在光滑的水平地面上，物块与木板之间的动摩擦因数为μ=0.2.在木板上施加一水平向右的拉力F，在0～3 s內F的变化如图5所示，图中F以mg为单位，重力加速度g=190 m/s2.整个系统开始时静止.（1）求1 s、1.5 s、2 s、3 s末木板的速度以及2 s、3 s末物块的速度；（2）在同一坐标系中画出0～3 s内木板和物块的 图象，据此求0～3 s内物块相对于木板滑过的距离.
解析这道高考题的模型几乎与前文所举的模型完全一样，无论要完成第（1）问还是第（2）问，首先要解决的就是两个物体间是否会发生相对滑动的问题.根据前文所述方法，列出方程组：
F-f=2ma板，
f=ma块（8）
f的取值范围为（0，0.2mg]，因此a块∈（0，0.2g]，a板∈[0.4 g，0.5 g），两个加速度没有交集，所以，所以两个物体之间必然相对滑动.
典型例题2（2008年广东）如图6所示，固定的凹槽水平表面光滑，其内放置U形滑板N，滑板两端为半径R=0.45 m的1/4圆弧面.A和D分别是圆弧的端点，BC段表面粗糙，其余段表面光滑.小滑块P1和P2的质量均为m.滑板的质量M=4m，P1和P2与BC面的动摩擦因数分别为μ1=0.10和μ2=0.40，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力.开始时滑板紧靠槽的左端，P2静止在粗糙面的B点，P1以v0=4.0 m/s的初速度从A点沿弧面自由滑下，与P2发生弹性碰撞后，P1处在粗糙面B点上.当P2滑到C点时，滑板恰好与槽的右端碰撞并与槽牢固粘连，P2继续滑动，到达D点时速度为零.P1与P2视为质点，取g=10 m/s2. 问：（1）P2在BC段向右滑动时，滑板的加速度为多大？（2）BC长度为多少？N、P1和P2最终静止后，P1与P2间的距离为多少？
解析这道题比之前那一道题更为复杂，涉及到三个物体，同样的，要解这道题，第一步还是要判断P1，P2与U形滑块N是否会发生相对滑动，由于碰撞后P1与P2速度交换，所以P2与N之间必然有相对滑动，两者之间存在着滑动摩擦力；而P1碰撞后对地速度为零，因此 与N之间是否会发生相对滑动，仍可以用前文所述方法判断，依据受力分析列出以下方程组
fP2-fp1=Ma板
fP1=maP1（9）
fP2=0.4mg，fP1的取值范围为（0，0.1mg]，M=4m；解得aP1∈（0，1]，a板∈[0.75，1），P1与N加速度的取值范围有交集，因此，两物体之间保持相对静止，受到静摩擦力作用.
以上两道高考题，用本文所述方法进行是否相对运动的判断均可以得到清晰直接的的结果，并且这样进行判断后再去解题，物理情境会更加清晰，可以保证解题的准确性.
6小结
本文就高考题中常出现的判断两物体间是否相对运动的问题进行了探讨.而本文提出的通过加速度取值范围的比较进行判断的方法，更加具有一般性，能更加清楚地展现物理情境.在物理习题教学中，应该多注重这类具有一般性而且直观的方法.